Intel MKL数学库BLAS和稀疏BLAS模块简介

MKL Fortran CFD

---

MKL数学库简介

英特尔数学内核库（Intel Math Kernel Library，MKL）是一套经过高度优化的多线程数学函数库，可大幅提高运行于英特尔平台上工程、科学及金融等领域应用程序的性能。此函数库的功能领域包括：线性代数运算（BLAS与LAPACK）、线性系统求解（直接求解、迭代求解）、快速傅立叶变换 (FFTs)、矢量数学库 (VML) 以及矢量随机数生成器(VSL)等。本篇文档只关注BLAS和稀疏BLAS模块中关于双精度实数的部分且只针对Fortran语言。

---

BLAS中函数$\verb+function+$和子例行程序$\verb+subroutine+$的命名约定

BLAS模块中function和subroutine的名称具有如下结构：

$$\color{teal}{\verb+<character>+}\color{fuchsia}{\verb+<name>+}\color{maroon}{\verb+<mod>+}$$
其中$\color{teal}{\verb+<character>+}$部分用于区分数据类型：

$\color{teal}{\verb+<character>+}$	类型	对应Fortran数据类型
$\color{teal}{\verb+s+}$	单精度实数	real
$\color{teal}{\verb+d+}$	双精度实数	real*8或real(kind=8)
$\color{teal}{\verb+c+}$	单精度复数	complex
$\color{teal}{\verb+z+}$	双精度复数	complex*8或complex(kind=8)

有些时候$\color{teal}{\verb+<character>+}$会使用这四种类型的复合形式，例如$\color{teal}{\verb+sc+}$或者$\color{teal}{\verb+dz+}$。以函数$\color{teal}{\verb+sc+}\color{fuchsia}{\verb+asum+}$为例，其用于计算一组单精度复数$\color{teal}{\verb+c+}$模的和，返回值为一个单精度实数$\color{teal}{\verb+s+}$。

$\color{fuchsia}{\verb+<name>+}$在BLAS一级运算中表示操作类型，在二级三级运算中表示作为参数的矩阵类型。

如果指定了$\color{maroon}{\verb+<mod>+}$，则用来提供此操作的额外信息。在BLAS一级运算中，有:

$\color{maroon}{\verb+<mod>+}$	含义
$\color{maroon}{\verb+c+}$	共轭向量
$\color{maroon}{\verb+u+}$	非共轭向量

在二级运算中有：

$\color{maroon}{\verb+<mod>+}$	含义
$\color{maroon}{\verb+mv+}$	矩阵—向量乘积
$\color{maroon}{\verb+sv+}$	求解单未知量的线性代数方程组

在三级运算中有：

$\color{maroon}{\verb+<mod>+}$	含义
$\color{maroon}{\verb+mm+}$	矩阵—矩阵乘积
$\color{maroon}{\verb+sm+}$	求解多未知量的线性代数方程组

---

BLAS运算

BLAS运算分为三级，第一级只限于向量(vector-vector operations)，第二级为矩阵—向量相关运算(matrix-vector operations)，第三级为矩阵—矩阵相关运算(matrix-matrix operations)。

BLAS一级运算 Level 1 Routines and Functions

这里只关心双精度实数相关函数和子例行程序，单精度和复数不予讨论，可参考MKL用户手册以获得更多信息。

函数function部分:

• $\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+asum+}\color{gray}{\verb+()+}$ 向量元素绝对值累加

res = dasum(n, x, incx)

$res = \left| x_1 \right| + \left| x_2 \right| + \cdots + \left| x_n \right|$
$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad x \Rightarrow \text{向量} \quad incx \Rightarrow \text{指定向量的索引增量，即进行操作元素的间隔}$

• $\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+dot+}\color{gray}{\verb+()+}$ 两组向量点乘

res = ddot(n, x, incx, y, incy)

$res = \sum_{i=1}^{n}{x_i y_i}$
$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad x, y \Rightarrow \text{向量} \quad incx, incy \Rightarrow \text{指定向量的索引增量}$

• $\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+nrm2+}\color{gray}{\verb+()+}$ 向量的2范数

res = dnrm2(n, x, incx)

$res = \| x \|$
$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad x \Rightarrow \text{向量} \quad incx \Rightarrow \text{指定向量的索引增量}$

• $\color{fuchsia}{\verb+i+}\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+amax+}\color{gray}{\verb+()+}$ 向量绝对值最大元素的索引

index = idamax(n, x, incx)

$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad x \Rightarrow \text{向量} \quad incx \Rightarrow \text{指定向量的索引增量}$

• $\color{fuchsia}{\verb+i+}\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+amin+}\color{gray}{\verb+()+}$ 向量绝对值最小元素的索引

index = idamin(n, x, incx)

$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad x \Rightarrow \text{向量} \quad incx \Rightarrow \text{指定向量的索引增量}$

子例行程序subroutine部分:

• $\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+axpy+}\color{gray}{\verb+()+}$ 计算向量—实数乘法并将结果与另一向量相加

call daxpy(n, a, x, incx, y, incy)

$y := ax + y$
$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad a \Rightarrow \text{实数} \quad x, y \Rightarrow \text{向量} \quad incx, incy \Rightarrow \text{指定向量的索引增量}$

• $\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+copy+}\color{gray}{\verb+()+}$ 将向量拷贝至另一向量

call dcopy(n, x, incx, y, incy)

$y = x$
$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad x, y \Rightarrow \text{向量} \quad incx, incy \Rightarrow \text{指定向量的索引增量}$

• $\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+scal+}\color{gray}{\verb+()+}$ 计算向量—实数乘法

call dscal(n, a, x, incx)

$x = a x$
$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad a \Rightarrow \text{实数} \quad x \Rightarrow \text{向量} \quad incx \Rightarrow \text{指定向量的索引增量}$

• $\color{teal}{\verb+d+}\color{fuchsia}{\verb+swap+}\color{gray}{\verb+()+}$ 交换两组向量

call dswap(n, x, incx, y, incy)

$n \Rightarrow \text{向量维度} \quad x, y \Rightarrow \text{向量} \quad incx, incy \Rightarrow \text{指定向量的索引增量}$

---

Sparse BLAS模块

Sparse BLAS中的稀疏矩阵存储格式

这里只讨论用于CFD以及其他网格计算技术应用中的稀疏矩阵，不关心稠密实矩阵的相关操作，可参考MKL用户手册以获得更多信息。

MKL中适用于迭代求解技术的稀疏存储格式有：

存储格式	中文名
CSR(Compressed Sparse Row)	压缩行格式
CSC(Compressed Sparse Column)	压缩列格式
COO(Coordinate)	坐标格式

以稀疏矩阵$\mathbf{A}$为例：

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & * & -3 & * \\ -2 & -5 & * & * & * \\ * & * & 4 & 6 & 4 \\ -4 & * & 2 & 7 & * \\ * & 8 & * & * & -5 \end{pmatrix}$$

其结构以及CSR格式如下图所示：

在MKL库中，CSR格式分为4数组形式和3数组形式(CSR3)。除了存储元素数值的数组values，4数组形式具有三个辅助数组columns，pointerB以及pointerE，3数组形式具有两组辅助数组columns和rowIndex。

持续更新中...

---

感谢您的阅读，欢迎讨论和批评指正。

作者：戴得志
2016年5月20日