最优控制-习题2.3

最优控制 练习

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设Hamilton函数如下：

$$H(x,u,\lambda,t) = x^2(t)+u^2(t)+\lambda(t)^T[x(t)+u(t)]$$

最优控制条件如下：

$$\left\{ \begin{aligned} \dot{x} &= \frac{\partial{H}}{\partial\lambda} = x + u \\ \dot{\lambda} &= -\frac{\partial{H}}{\partial x} = -2x - \lambda \\ \ 0 &= \frac{\partial{H}}{\partial{u}} = 2u + \lambda \end{aligned} \right.$$

因此可得，

$$u(t) = -\frac{\lambda(t)}{2}$$

带入状态方程和协态方程，

$$\left\{ \begin{aligned} \dot{x} &= x - \frac{\lambda}{2} \\ \dot{\lambda} &= -2x - \lambda \end{aligned} \right.$$

对第二个求导，

$$\frac{d^2\lambda}{dt^2} = -2\dot{x} - \dot{\lambda}$$

将$\dot{x}=x-\lambda/2$带入，

$$\frac{d^2\lambda}{dt^2} = -2x+\lambda - \dot{\lambda}$$

再将协态方程$\dot{\lambda}=-2x-\lambda$变形后带入，

$$\frac{d^2\lambda}{dt^2} = \dot{\lambda} + \lambda +\lambda - \dot{\lambda}=2\lambda$$

即，

$$\frac{d^2\lambda}{dt^2} =2\lambda$$

求特征方程，

$$s^2 - 2 = 0$$
解得，
$$s_1 =\sqrt 2, s_2 =-\sqrt 2$$

设解为，

$$\lambda(t) = c_1e^{\sqrt 2t} + c_2e^{-\sqrt 2t}$$

将$\lambda(2)=0$带入得一方程，

$$c_1e^{2\sqrt 2}+c_2e^{-2\sqrt 2}=0$$

为了利用x的初值条件，对$\lambda(t)$求导，得，

$$\dot{\lambda} = c_1\sqrt 2 e^{\sqrt 2 t} - c_2\sqrt 2 e^{-\sqrt 2 t}$$

带回协态方程，可得，

$$c_1\sqrt 2 e^{\sqrt 2 t} - c_2\sqrt 2 e^{-\sqrt 2 t} = -2x - c_1e^{\sqrt 2 t} - c_2e^{-\sqrt 2 t}$$

即，

$$2x(t) = -(\sqrt 2 + 1）c_1e^{\sqrt 2 t}+(\sqrt 2-1)c_2e^{-\sqrt 2 t}$$

又$\because x(0)=1$，可得

$$\left\{ \begin{aligned} -(\sqrt 2 + 1）c_1+(\sqrt 2-1)c_2 = 2 \\ e^{2\sqrt 2}c_1+e^{-2\sqrt 2}c_2=0 \end{aligned} \right.$$