第一章 线性方程组

课程学习 线性代数 C.Lay线代 所有文稿

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* 主要知识点

• 掌握行变换，阶梯形→简化阶梯形
• 掌握行化简算法解线性方程组
• 判断线性方程组的解的三种情况，存在和唯一性定理
• 掌握向量方程、线性组合、Span{}
• 掌握矩阵方针、向量方程、线性方程组的联系，理解定理4
• 掌握相容方程组解集表示为参数向量形式
• 掌握线性相关与线性无关
• 理解线性变换与标准矩阵

1.行化简和阶梯性矩阵

• 阶梯形（行阶梯形）性质之一：某一行的先导元素所在的列，位于前一行先导元素的右边；某一现代元素所在列的下方元素都是0。向前步骤产生。
• 化简阶梯形RREF：每一先导元素1是该（主元）列的唯一非零元素。向后步骤产生。
  

  通解形式为 $$x_1=1+5x_3$$ $$x_2=4-x_3$$ 其中，$x_1$和$x_2$为基本变量，$x_3$为自由变量

2.$Ax=b$

• $A(u+v)=Au+Av$

• 定理：$A$ 是$m*n$矩阵，各列为$a_1,\ldots,a_n$，$b$属于$\Bbb{R}^m$，则矩阵方程

  $$Ax=b$$ 向量方程 $$x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b$$ 增广矩阵为 $$[a_1\quad a_2 \ldots \ a_n \quad b]$$ 的线性方程组有相同的解集

3.定理4（总结）

设$A$ 是$m*n$ （系数）矩阵，下列命题逻辑上是等价的

a. $Ax=b$有解
b. $b$是$A$的各列的线性组合
c. $A$的各列生成$\Bbb{R}^m$（$Span\{v_1,\ldots,v_p\}=\Bbb{R}^m$）
d. $A$的每一行都有一个主元位置
e.
f.
g.
h.
m.
n.

4.线性方程组

• 相容：有一个或无穷多个解；不相容：无解
• 线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列
• 齐次：可以写成$Ax=0$的形式，至少有一个平凡解$x=0$
• 通解的向量形式

线性方程组的解

齐次线性方程组的解

$$x=x_2\begin{bmatrix}0 \\8 \\2\end{bmatrix}$$

其中，$x_2$为自由变量。可表示为参数向量形式$x=su+tv$（s,t为实数）

非齐次线性方程组的解

$$x=\begin{bmatrix}1 \\4 \\7\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}0 \\8 \\2\end{bmatrix}$$

其中，$x_2$为自由变量。可表示为参数向量形式$x=p+tv$（s,t为实数），即$Ax=b$的解可以由特解$p$（对应$t=0$）加上$Ax=0$的解得到，$Ax=b$的解集是一条通过$p$而平行于$Ax=0$的解集的直线

5.向量方程

线性相关与线性无关

若向量方程
$$x_1v_1+x_2v_2+\ldots+x_pv_p=0$$
仅有平凡解$x=\begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ \vdots \\0\end{bmatrix}=0$，则这组向量称为线性无关的（$Ax=b$仅有平凡解）.

若存在不全为$0$的权$c_1,\ldots,c_p$使

$$c_1v_1+c_2v_2+\ldots+c_pv_p=0$$
则这组向量称为线性相关的，该方程称为向量$v_1,\ldots,v_p$之间的线性相关关系.

定理（线性相关集的特征）

集合$S=\{v_1,\ldots,v_p\}$（$\Bbb{R}^n$中）线性相关则：
a. 当且仅当$S$中至少有一个向量是其他向量的线性组合
b. $p>n$
c. 包含$0$向量

证明略

6.线性变换

$x\mapsto T(x)$

$x\in \Bbb{R}^n$，$T$的定义域
$T(x)\in \Bbb{R}^m$,$T$的余定义域（取值空间）
$T(x)$成为$x$在$T$作用下的像，集合$T(x)$称为$T$的值域

定义：线性变换

对于$T$定义域中的一切$u,v$和数$c$
（i）$T(u+v)=T(u)+T(v),T(0)=0$
（ii）$T(cu)=cT(u)$

• 矩阵变换都是线性变换：$x\mapsto Ax$

线性变换$T$的标准矩阵$A$的求法

$$T(x)=[T(e_1)\quad T(e_2)]\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=Ax$$

例子：$T(x)=3x,x\in \Bbb{R}^2$，求标准矩阵$A$

解：
$$a_1=T(e_1)=3e_1=\begin{bmatrix}3 \\ 0\end{bmatrix},a_2=T(e_2)=3e_2=\begin{bmatrix}0 \\ 3\end{bmatrix}$$
$$A=[a_1\quad a_2]=\begin{bmatrix}3&0\\ 0&3\end{bmatrix}$$

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