我们假设读者有基本的代数知识，包括群、环的定义，循环群。

需要用到进一步代数知识的地方都做了标注并将这部分的证明放在附录。

我们总是假设以字母$p$或$q$代表的数是素数。

假设$k$是定值，记$f(m)$是模$m$意义下不同的$x^k$的数量。

首先，由中国剩余定理$f$是积性的，于是只需要计算$m=p^n$的情况。[1]下面假设$m=p^n$。

设$b$和$p$互素，注意到$bp^k$模$m$下是一个$k$次方幂当且仅当$b$是一个模$p^{n-k}$下的$k$次方幂。（对于当，设$b=x^k+tp^{n-k},gcd(t,p)=1$，则$(px)^k=p^kx^k+tp^{n-k}p^k$，在模$m$下它就是$b$，仅当是类似的。）

于是$f(p^n)=\sum_{i=1}^{ik\le n} \psi(p^{n-ik})$，其中$\psi(x)$指的是模$x$下与$x$互素的$k$次方幂数量。这个和式来自于分不同的$c$对形如$(xp^c)^k，gcd(x,m)=1$的$k$次幂的统计。

问题归结于计算$\sum_{i} \psi(p^{n-ik})$，对$p\ne 2$，熟知$Z_{p^{n-ik}}$的乘法群是循环的，于是它同构于$Z_{\phi(p_{n-ik})}$，计算$Z_{p^{n-ik}}$中的$k$次幂也就是计算$Z_{\phi(p_{n-ik})}$中$k$的倍数，由此可以知道$\psi(p^{n-ik})=\frac{\phi(p^{n-ik})}{\gcd\phi(p^{n-ik},k))}$[2]。对$p= 2$，情况类似。

注意到$\phi(p^{n-ik})=p\phi(p^{n-(i+1)k})$，从而数列$a_i=\frac{\phi(p^{n-ik})}{\gcd\phi(p^{n-ik},k))}$对前几项是长数列，对之后的项是等比数列，它的和不难求出。