在这里，我们给出势函数(potential function)的定义，并展示如何通过势函数给出Splay操作的均摊时间复杂度的一个上界，尽管这上界并不是紧的。

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势函数$\Phi$定义为数据结构到实数集的一个映射。

在这里，我们假设势函数$\Phi$已经良定义，设$T(i)$为第i次操作的实际耗时,$\Phi (i)$代表第i次操作结束时系统的势函数值。定义$A(i)=T(i)-\Phi(i-1)+\Phi(i)$。

移项，得$A(i)+\Phi(i-1)+\Phi(i)=T(i)$，即

• $T(1)=A(1)+\Phi(1)-\Phi(0)$
• $T(2)=A(2)+\Phi(2)-\Phi(1)$
• ......
• $T(n)=A(n)+\Phi(n)-\Phi(n-1)$

求和，得$\sum T(i) = \sum A(i) + \Phi(n)- \Phi(0)$

于是，若$\Phi$良定义，我们只需给出$\sum A(i)与 \Phi(n)- \Phi(0)$的一个上界，即可给出$\sum T(i)$的一个上界。

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这部分我们显式地给出势函数，定义$S(x)$代表以x为根的子树，$\mu(V)=\log |V|$，$\mu (x) = \log |S(x)|$，定义势函数$\Phi=\sum_v mu(v)$。

显然，$\Phi(n)-\Phi(0) =O(n \log n)$，于是我们只需要给出$\sum A(i)$的一个上界。

以下我们也将$对于点的\mu函数记作\Phi，这是富有提示性的$。

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考虑Zig操作。

在这里我们仅仅讨论Zig，所有的推论可以等价地推广到Zag上。我们称x节点Zig后的点为X'。

Zig的T(i)显然是1，而

$$\Delta \Phi=\Phi(x')+\Phi(y')-\Phi(x)-\Phi(y) =\Phi(y')-\Phi(x) \le \Phi(x')-\Phi(x)$$

于是$A(i)=1+ \Delta \Phi \le 1+3[\Phi(x')-\Phi(x)]$

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接下来我们考虑Zig-Zag与Zig-Zig

对于一次Zig-Zag，$\Delta \Phi=\Phi(x')+\Phi(y')+\Phi(z')-\Phi(x)-\Phi(y)-\Phi(z)$

于是$\Delta \Phi=\Phi(y')+\Phi(z')-\Phi(x)-\Phi(y)\le \Phi(y')+\Phi(z')-2\Phi(x)$

我们又有$\Phi(z')+\Phi(y')-2\Phi(x')\le -2$,这是因为对数函数是凸的。

于是立即推得一次Zig-Zag对应的A有

$2+\Delta \Phi \le 2+(-2)-[\Phi(z')+\Phi(y')-2\Phi(x')]+\Phi(y')+\Phi(z')-2\Phi(x)$成立。

即一次操作对应的$A(i)\le 2\Phi(x')-2\Phi(x) \le 3\Phi(x')-3\Phi(x)$成立。

考虑Zig-Zig

对于一次Zig-Zig，$\Delta \Phi=\Phi(x')+\Phi(y')+\Phi(z')-\Phi(x)-\Phi(y)-\Phi(z)$。

于是$\Delta \Phi=\Phi(y')+\Phi(z')-\Phi(x)-\Phi(y) \le \Phi(y')+\Phi(z')-2\Phi(x)$依然成立。

类似地,就可推得一次操作对应的$A(i)\le 2\Phi(x')-2\Phi(x) \le 3\Phi(x')-3\Phi(x)$成立。

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我们已经论述了三种操作的上界，同时注意到，每次操作结束后的x'恰是下次操作的x，于是不考虑Zig/Zag的情况下，我们可以对Zig-Zag和Zig-Zig的操作分别求和，即$3[\Phi(x_{Son of root})-\Phi(x_{begin})]$。

又仅有一次Zig/Zag操作，于是$A(i)\le 3[\Phi(x_{root})-\Phi(x_{begin})]+1=O(log n)$

于是显然，m次操作下的$\sum A(i)=O(m \log n)$

那么$\sum T(i) =O(m \log n+ n \log n）$

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参考文献：

• 均摊分析简介,陈胤伯,2014
• 伸展树的基本操作与应用,杨思雨,2004
• splay和link cut tree的时间复杂度的均摊分析,高宇,2012