Burnside 引理

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若$G$是群，$S$是任意集合，$G\times S$到$S$的映射$(g,s) \rightarrow g*s$满足$e*s=s$，$g_1g_2*s=g_1*(g_2*s)$，则称$G$在$S$上定义了一个作用，$S$是一个$G-\text{集合}$

以下也将$g*s$简记为$gs$

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对于一个$G-\text{集合} S$，$x \in S$，定义$G_x=\{gx|g \in G\}$，称为$x$的轨道。

$$G_x \cap G_y \neq \emptyset \\ \exists g_1,y \rightarrow g_1x=g_2y \\ \forall u,v \in G,ux=ug_1^{-1}g1x=ug_1^-1g_2y \\ G_x=G_y$$

$$\forall x \in S,x=ex \in G_x$$

所以$S$上的所有轨道构成了$S$的一个划分。

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对于一个$G-\text{集合} S$，$x \in S$，定义$Stab \text{ }x=\{g|gx=x\}$，称为$x$的稳定化子。容易验证$Stab \text{ }x$是$G$的子群。

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引理:

$$[G:Stab \text{ }x]=|G_x|$$

令$H=Stab \text{ }x$，定义$f(gx)=gH$，如$g_1x=g_2x$，则$g_1^{-1}g_2x=x \Rightarrow g_1^{-1}g_2 \in H \Rightarrow g_1H=g_2H$，因此$f$是合理的。

显然$f$是满射，$f(ux)=f(vx) \Rightarrow uH=vH,u^{-1}v \in H,uH=uu^{-1}vH=vH$，于是$f$是单射，于是$[G:H]=|G_x|$,Q.E.D

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Burnside 引理：

令$n$是$S$的轨道数量，$S_g=\{x|gx=x\}$，则$n=\frac{1}{|G}\sum_{g \in G} |S_g|$

定义特征函数$\chi_g(x)=[x \in S_g]$

$$\sum_{g \in G} |S_g|=\sum_{g \in G} \sum_{x \in S} \chi_g(x)=\sum_{x \in S} \sum_{g \in G} \chi_g(x)=\sum_{x \in S} |Stab \text{ } x|=\sum_{x \in S} \frac{|G|}{|G_x|}=n|G|\\ n=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |S_g|$$

Q.E.D