第二章第一节，习题答案

1.1
不是，不结合。

1.2
不是，逆元不存在。

1.3
是。

1.4
是。

1.5
不是。

1.6
是。

2.1
使用归纳法，n=1的情况是显然的，否则，$(ab)^n=(ab)^{n-1}ab=a^{n-1}b^{n-1}ab$，又$ab=ba$，于是$a^{n-1}b^{n-1}ab=b^{n-1}ba^{n-1}a=b^na^n=a^nb^n$，Q.E.D

2.2 考虑两个置换$a=(3,5,7),b=(5,3,1)$，容易验证$(ab)^2(5)=(5),a^2b^2(5)=1$。

三

3.1
四个矩阵分别编号为$a$、$b$、$c$、$d$。
单位元为a，且结合性是显然的。
又：$aa,ab,ac,ad$是自明的，$ba=b,bb=a,bc=d,bd=c,ca=c,cb=d,cc=a,cd=b,da=d,db=c,dc=b,dd=a$。这论证同时给出了逆元的存在性。
Q.E.D。