各种排序算法总结

排序算法 数据结构

排序算法是最基本最常用的算法，不同的排序算法在不同的场景或应用中会有不同的表现，我们需要对各种排序算法熟练才能将它们应用到实际当中，才能更好地发挥它们的优势。今天，来总结下各种排序算法。

下面这个表格总结了各种排序算法的复杂度与稳定性：

冒泡排序

冒泡排序可谓是最经典的排序算法了，它是基于比较的排序算法，时间复杂度为O(n^2)，其优点是实现简单，n较小时性能较好。

• 算法原理
  相邻的数据进行两两比较，小数放在前面，大数放在后面，这样一趟下来，最小的数就被排在了第一位，第二趟也是如此，如此类推，直到所有的数据排序完成

• c++代码实现

  void bubble_sort(int arr[], int len)
  {
      for (int i = 0; i < len - 1; i++)
      {
          for (int j = len - 1; j >= i; j--)
          {
              if (arr[j] < arr[j - 1])
              {
                  int temp = arr[j];
                  arr[j] = arr[j - 1];
                  arr[j - 1] = temp;
              }
          }
      }
  }

选择排序

• 算法原理
  先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

• c++代码实现

  void select_sort(int arr[], int len)
  {
      for (int i = 0; i < len; i++)
      {
          int index = i;
          for (int j = i + 1; j < len; j++)
          {
              if (arr[j] < arr[index])
                  index = j;
          }
          if (index != i)
          {
              int temp = arr[i];
              arr[i] = arr[index];
              arr[index] = temp; 
          }
      }
  }

插入排序

• 算法原理
  将数据分为两部分，有序部分与无序部分，一开始有序部分包含第1个元素，依次将无序的元素插入到有序部分，直到所有元素有序。插入排序又分为直接插入排序、二分插入排序、链表插入等，这里只讨论直接插入排序。它是稳定的排序算法，时间复杂度为$O(n^2)$

• c++代码实现

  void insert_sort(int arr[], int len)
  {
      for (int i = 1; i < len; i ++)
      {
          int j = i - 1;
          int k = arr[i];
          while (j > -1 && k < arr[j] )
          {
              arr[j + 1] = arr[j];
              j --;
          }
          arr[j + 1] = k;
      }
  }

快速排序

• 算法原理
  快速排序是目前在实践中非常高效的一种排序算法，它不是稳定的排序算法，平均时间复杂度为$O(nlogn)$，最差情况下复杂度为$O(n^2)$。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

• c++代码实现

  void quick_sort(int arr[], int left, int right)
  {
  if (left < right)
  {
      int i = left, j = right, target = arr[left];
      while (i < j)
      {
          while (i < j && arr[j] > target)
              j--;
          if (i < j)
              arr[i++] = arr[j];
          while (i < j && arr[i] < target)
              i++;
          if (i < j)
              arr[j] = arr[i];
      }
      arr[i] = target;
      quick_sort(arr, left, i - 1);
      quick_sort(arr, i + 1, right);
  }
  }

归并排序

• 算法原理
  归并排序具体工作原理如下（假设序列共有n个元素）：

  • 将序列每相邻两个数字进行归并操作（merge)，形成floor(n/2)个序列，排序后每个序列包含两个元素
  • 将上述序列再次归并，形成floor(n/4)个序列，每个序列包含四个元素
  • 重复步骤2，直到所有元素排序完毕

  归并排序是稳定的排序算法，其时间复杂度为$O(nlogn)$，如果是使用链表的实现的话，空间复杂度可以达到$O(1)$，但如果是使用数组来存储数据的话，在归并的过程中，需要临时空间来存储归并好的数据，所以空间复杂度为$O(n)$

• c++代码实现

  void merge(int arr[], int temp_arr[], int start_index, int mid_index, int end_index)
  {
      int i = start_index, j = mid_index + 1;
      int k = 0;
      while (i < mid_index + 1 && j < end_index + 1)
      {
          if (arr[i] > arr[j])
              temp_arr[k++] = arr[j++];
          else
              temp_arr[k++] = arr[i++];
      }
      while (i < mid_index + 1)
      {
          temp_arr[k++] = arr[i++];
      }
      while (j < end_index + 1)
          temp_arr[k++] = arr[j++];
      for (i = 0, j = start_index; j < end_index + 1; i ++, j ++)
          arr[j] = temp_arr[i];
  }
  void merge_sort(int arr[], int temp_arr[], int start_index, int end_index)
  {
      if (start_index < end_index)
      {
          int mid_index = (start_index + end_index) / 2;
          merge_sort(arr, temp_arr, start_index, mid_index);
          merge_sort(arr, temp_arr, mid_index + 1, end_index);
          merge(arr, temp_arr, start_index, mid_index, end_index);
      }
  }

堆排序

二叉堆

二叉堆是完全二叉树或者近似完全二叉树，满足两个特性

• 父结点的键值总是大于或等于(小于或等于)任何一个子节点的键值
• 每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。一般二叉树简称为堆。

堆的存储

一般都是数组来存储堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。存储结构如图所示：

堆排序原理

• 算法原理（以最大堆为例）

  • 先将初始数据R[1..n]建成一个最大堆，此堆为初始的无序区
  • 再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
  • 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。
  • 重复2、3步骤，直到无序区只有一个元素为止。

• c++代码实现

  /**
   * 将数组arr构建大根堆
   * @param arr 待调整的数组
   * @param i   待调整的数组元素的下标
   * @param len 数组的长度
   */
  void heap_adjust(int arr[], int i, int len)
  {
      int child;
      int temp;
      for (; 2 * i + 1 < len; i = child)
      {
          child = 2 * i + 1;  // 子结点的位置 = 2 * 父结点的位置 + 1
          // 得到子结点中键值较大的结点
          if (child < len - 1 && arr[child + 1] > arr[child])
              child ++;
          // 如果较大的子结点大于父结点那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点
          if (arr[i] < arr[child])
          {
              temp = arr[i];
              arr[i] = arr[child];
              arr[child] = temp;
          }
          else
              break;
      }
  }
  /**
   * 堆排序算法
   */
  void heap_sort(int arr[], int len)
  {
      int i;
      // 调整序列的前半部分元素，调整完之后第一个元素是序列的最大的元素
      for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
      {
          heap_adjust(arr, i, len);
      }
      for (i = len - 1; i > 0; i--)
      {
          // 将第1个元素与当前最后一个元素交换，保证当前的最后一个位置的元素都是现在的这个序列中最大的
          int temp = arr[0];
          arr[0] = arr[i];
          arr[i] = temp;
          // 不断缩小调整heap的范围，每一次调整完毕保证第一个元素是当前序列的最大值
          heap_adjust(arr, 0, i);
      }
  }

  未完待续