@wjcper2008
2017-02-24T02:52:01.000000Z
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机器学习基础
矩阵迹
矩阵求导
机器学习中经常要涉及到,比如最小二乘的求解,矩阵分解等问题,故此整理,以备查阅。
矩阵的迹定义如下: 一个方阵的迹是指:的主对角线上各元素的总和,即
, , ,
定理1:
证明: 由于迹为矩阵主对角线的元素和,而矩阵的第个主对角线元素可表示为: . 即的行元素与的列元素的向量积。 因此,由如下结论:
定理2:
证明: 或当作整体,证明与定理1相同.
定理3:
证明: 由于
那么,. 因此,
定理4:
定理5:
证明: 对于存在多处情况,利用分步求导公式
并基于定理1、定理3和4,可得,
定理6: 一个矩阵的范数是 等价于 的所有元素的平方和 等价于
证明:
而的第个主对角线元素为的第i行与的第列的向量积,因此,而 ,因此,。
进而,。
又得,。
例子1: 关于的导数
解: 根据分步求导和定理2,得