量子力学：双缝实验,Qubit

概述

量子力学的特点可以用“不确定性”一个词来概括。在量子力学的范畴下，我们无法同时准确确定一个粒子在某个时刻的位置与速度，我们不能提类似“粒子从A到B的轨迹是什么”类似的问题……

然而，量子力学并不是远离我们的生活。经过差不多一个世纪的努力，量子力学的理论不断完善，量子力学可以解释金属的导电性、颜色的形成、玻璃的透明性等与我们生活息息相关的东西。

粒子性	波动性
Newton	Young
Planck	Maxwell
Einstein

关于光是粒子还是波的问题一直争辩到二十世纪初。杨氏双缝实验是一个简单但是十分重要的实验，它说明了光既有粒子性，而且也有波动性（波粒二象性）。双缝实验体现出的关于量子力学测量问题，也足足说明了量子力学不同于经典力学的一面。

双缝实验

双缝实验非常简单。让光从左边投射到右边的屏幕上，在中间增加一个带有两个缝的挡板。如果光是粒子，那么屏幕上的结果将是光通过每个缝的叠加，将观测到一个双缝。从数学上说，如果单独从1，2缝射入的光粒子用

$$P_1(x), P_2(x)$$

来表示它们达到在右方屏幕的光强密度，则通过双缝的光强密度将是

$$P(x) = P_1(x)+P_2(x)$$

这是一个双缝函数。然而实验结果出现了类似波动干涉的干涉条纹。

物理学家猜测，可能是由于光粒子相互作用，导致了干涉的现象。于是他们设计实验让光粒子一个个单独通过，这样就消除了光粒子相互作用的可能。然而，实验得到了相同的干涉景象。

为了弄清楚事情的原因，人们又在双缝处安装了粒子探测器，来记录通过缝隙的每个粒子。令人惊讶的是，这时，屏幕却出现了双峰！光表现出了粒子性。有人猜测这是由于测量仪器对粒子产生了作用，紧接着有人设计了实验，打开探测仪器，只是不收集数据，这时，屏幕上又出现了干涉景象！

这个实验似乎告诉我们：如果我们有信息表明穿过双缝的是粒子，那么它就表现出粒子性。“信息”才是最重要的东西。

当人们做测量的时候，便将概率波变成了粒子(collapsed to a particle)。

在一些列实验的基础上，Heisenberg归纳出不确定性原理，他认为，不可能设计出一个能够观测粒子从哪一个缝穿过并且不影响这个系统的测量仪器。这个原理也表明，我们无法预测粒子的运动轨迹，否则我们可以根据粒子的初始状态预测该粒子会从哪个缝穿过。

Qubit

Qubit(quantum bit)是描述粒子不确定性的一种记号，它是狄拉克发明的。

我们知道，电子绕原子核旋转的轨道是离散分布的，叫做能级。我们把基态记为|0>, 第一能级记为|1>，我们可以用

$$\alpha |0\rangle +\beta|1\rangle, \alpha,\beta\in C, |\alpha|^2+|\beta|^2=1$$

来描述这种不确定性的状态。

当我们以$\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$为基测量粒子的能级时，我们将以概率$|\alpha|^2$测量到$\left|0\right\rangle$，我们将以概率$|\beta|^2$测量到$\left|1\right\rangle$。

从几何上看，Qubit就是$C^2$空间中的单位向量。

上图中，$\left|v\right\rangle$可以写作

$$\left|v\right\rangle = \cos \phi \left|0\right\rangle + \sin \phi \left|1\right\rangle$$

于是测量得到结果$\left|0\right\rangle$的概率为$\cos^2\phi$，及其与$\left|0\right\rangle$夹脚余弦的平方：待测量向量与基向量约相近，其测量的精度约高。

我们也可以更换基向量。例如图中的$\left|u\right\rangle,\left|u^\bot\right\rangle$，此时测量得到$\left|u\right\rangle$的概率为$\cos^2\psi$。

一个例子：偏振光

光是有极性的(polarization)。我们也可以用Qubit来描述这个极性。将光的垂直成分记做$\left|\uparrow\right\rangle$，水平成分记做$\left|\rightarrow\right\rangle$,于是我们就可以用上一节的方法来描述光。

偏振片只允许某个特定方向的光通过。

在第一幅图中，偏振光经过第一片偏振片变成$\left|\uparrow\right\rangle$，经过第二个偏振片能量完全丢失。而在第二幅图中，$\left|\uparrow\right\rangle$通过倾斜45度的偏振片时将有$\frac{1}{2}$的概率通过，因此会保留$\frac{1}{2}$的能量。有趣的是，如果我们在第一种放置方法的两块偏振片之间放置一块倾斜45度的偏振片，我们就可以重新看到偏振光，其过程为

$$\left|\uparrow\right\rangle \rightharpoonup \frac{1}{\sqrt2}\left|\uparrow\right\rangle +\frac{1}{\sqrt2}\left|\rightarrow\right\rangle \rightharpoonup \left|\rightarrow\right\rangle$$

测不准原理

Heisenberg是这样表述测不准原理的：

One can never know with perfect accurracy both of those two important factors which determine the movement of one of the smallest particles -- its position and its velocity.

事实上，这个原理可以用Dirac记号下的粒子状态简要解释。假定要确定一个粒子的动量与位置：

位置 $\Rightarrow\left|0\right\rangle$或$\left|1\right\rangle$
动量 $\Rightarrow\frac{1}{\sqrt2} \left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt2} \left|1\right\rangle$或$\frac{1}{\sqrt2} \left|0\right\rangle-\frac{1}{\sqrt2} \left|1\right\rangle$

而我们前面提到，为了准确确定一个量，需要让基向量尽可能靠近真实向量，然而，由于位置向量与动量向量夹角为45度，因此当基向量靠近位置或动量得到高的测量精度时，必将“测不准”另外一个物理量。这就是测不准原理的简要解释。