能量项链

NOIP 题解

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【问题描述】
在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n （Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：
(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

【输入文件】
输入文件energy.in的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

【输出文件】
输出文件energy.out只有一行，是一个正整数E（$E\leq2.1*10^9$），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

【输入样例】
4
2 3 5 10

【输出样例】
710

【分析】
这道题是不是看着有点面熟呢？没错！他就是石子合并。

环形的处理

例如输入1 2 3 4 5，我们可以把他复制一遍，变成1 2 3 4 5 1 2 3 4 5。 这样我们切开的时候，会方便很多，也会降低时间复杂度。
像是这样:
|1 2 3 4 5| 1 2 3 4 5
1 |2 3 4 5 1| 2 3 4 5

状态转移

用b[i][j]来表示合并从第i堆石子到第j堆石子所能得到的最大能量,a[i]是第i颗珠子的头标记，a[i+1]是第i颗珠子的尾标记同时也是第i+1颗珠子的头标记,k是从哪儿断开。

$b[i][j]=max(b[i][k]+b[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);$

【AC程序】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,e=0,a[230]={0},b[230][230]={0};
int main(){
    freopen("energy.in","r",stdin);
    freopen("energy.out","w",stdout);
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        a[i+n]=a[i];   //复制一遍
    }
    for (int j=2;j<=n+n;j++){
        for (int i=j-1;i>=1&&j-i<n;i--){
            int maxn=0;
            for (int k=i;k<j;k++){
                maxn=max(maxn,b[i][k]+b[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);
            }
            b[i][j]=maxn;
            e=max(e,maxn);
        }
    }
    cout<<e;
    return 0;
}