过河问题题解

NOIP 题解

【问题描述】
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

【输入文件】
输入文件river.in的第一行有一个正整数L（$1 \le L \le 10^9$），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中$1 \le S \le T \le 10，1 \le M \le 100$。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

【输出文件】
输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

【样例输入】
10
2 3 5
2 3 5 6 7

【样例输出】
2

【数据规模】
对于30%的数据，$L \le 10000$；
对于全部的数据，$L \le 10^9$。

【分析】
又是青蛙……

这道题首先想到可以用搜索来做，但是由于$10^9$数据量太大，肯定会超时。所以我们可以这样想，终点位置为L，终点时踩到的最少石子数用stone[L]来表示，第i个位置上是否有石子用st[i]来表示，st[i]=1表示有石子，st[i]=0表示没有石子，stone[L]最小，那么stone[L-1]也就是在它跳到L-1位置的时候的石子数也要最小，以此类推，从开始推到终点，每一个位置存储的都是跳到当前位置时所踩的最少的石子数。这样的算法就是动态规划。

我们可以写出它的状态转移方程式。
$stone[i]=stone[i-s]+st[i]$

如果用数组来存储某个位置的最小石子数，那么我们需要一个$10^9$的数组，但是实际上我们是开不出这么大的数组的，这时候我们就要想到优化。

石子数最多只有100，也就是说，中间会有很大的空白没有石子，而我们却按部就班的一个一个算，这样既浪费空间又浪费时间，那么该如何把这些空白忽略呢？如果两个石子之间的距离很大，我们可以把他们之间的距离缩短成100，反正结果都是一样的不是吗╮(╯▽╰)╭

还有种特殊情况，就是输入的s与t相等，这时候青蛙只有一种跳法，所以我们可以做一下特殊的处理。如果某处的石子的位置 Mod s 为0，那么踩到的石子数+1，最后输出结果就可以了。
【AC程序】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int l,s,t,m;
int stone[101]={0};
int st[10101]={0};
int bridge[10101]={0};
int main (){
    freopen("river.in","r",stdin);
    freopen("river.out","w",stdout);
    cin>>l>>s>>t>>m;
    int i,j,k;
    for (i=1;i<=m;i++){
        cin>>stone[i];
    }
    if (s==t){   //特殊情况的处理 
        int ans=0;
        for (i=1;i<=m;i++){
            if (stone[i]%s==0){
                ans++;
            }
        }
        cout<<ans;
        return 0;
    }
    //状态压缩
    sort(stone,stone+m+1);
    for (i=1,j=0;i<=m;i++){        //j储存的是压缩后的长度
        int dis=stone[i]-stone[i-1];
        if (dis>100){
            j+=100;
            st[j]=1;
        }else{
            j+=dis;
            st[j]=1;
        }
    } 
    k=j+100;
    for (i=1;i<=k;i++){
        bridge[i]=99999;
        for (j=s;j<=t;j++){
            if (i-j<0){
                break;
            }
            bridge[i] = min(bridge[i],bridge[i - j] + st[i]);
        }
    }
    cout<<bridge[k];
    return 0;
}