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@fuheimao 2014-08-09T02:51:39.000000Z 字数 3040 阅读 53

传纸条

NOIP 题解


【问题描述】
小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中,班上同学安排做成一个m行n列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标(1,1),小轩坐在矩阵的右下角,坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用0表示),可以用一个0-100的自然数来表示,数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

【输入】
输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n,表示班里有m行n列(1<=m,n<=50)。
接下来的m行是一个m*n的矩阵,矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

【输出】
输出文件message.out共一行,包含一个整数,表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

【输入输出样例】
message.in
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

message.out
34

【限制】
30%的数据满足:1<=m,n<=10
100%的数据满足:1<=m,n<=50

【分析】
第一眼看到这个题感觉跟数字三角形很相像,觉得只要第一次找到最大路径后,把最大路径设为假,再找一次最大路径,他们两个的和就是最后结果,但结果就是:

Wrong Answer!



分两次找不行的话,那就合二为一,一次找出来回好心程度的最大值。

这样我们需要一个四维数组f[i][j][k][l]来表示传过来传到i,j,传回去传到k,l时最大的好心程度。

虽说题目中传过来只能往右或下走,传回去只能往上或左走,但是为了简化问题,我们完全可以把他看成两次都往右或下走,这完全是相同的。

题目中说到第一次帮助传纸条的人第二次就不会再帮忙,关于这个的处理也很简单,当i=kj=l的时候直接进行下一次循环就可以了。

每走到一个位置,我们都要比较一下

  • f[i][j1][k][l1] 第一二次都从左边
  • f[i][j1][k1][l]第一次从左边,第二次从上边
  • f[i1][j][k1][l]第一二次都从上面
  • f[i1][j][k][l1]第一次从上边,第二次从左边

  • 中哪一个大?

    我们可以得到状态转移方程式:

    f[i][j][k][l]=rect[i][j]+rect[k][l]+maxf[i1][j][k1][l],f[i][j1][k][l1],f[i1][j][k][l1],f[i][j1][k1][l]

    要注意的是如何输出最后的结果,由于我们上面判断i=kj=l时,就进行下一次循环,这样f[m][n][m][n]是不会保存最后的结果的,f[m][n][m][n]只可能由f[m1][n][m][n1]f[m][n1][m1][n](终点的左边或上边)得到,所以我们只要比较一下f[m1][n][m][n1]f[m][n1][m1][n]哪一个大就能得出最后的结果。

    【AC程序】

    1. #include<iostream>
    2. using namespace std;
    3. int rect[52][52]={0};
    4. int f[52][52][52][52]={0};
    5. int m,n;
    6. int max(int a,int b){
    7. return ((a>b)?a:b);
    8. }
    9. int main(){
    10. cin>>m>>n;
    11. for (int i=1;i<=m;i++){
    12. for (int j=1;j<=n;j++){
    13. cin>>rect[i][j];
    14. }
    15. }
    16. for (int i=1;i<=m;i++){
    17. for (int j=1;j<=n;j++){
    18. for (int k=1;k<=m;k++){
    19. for (int l=1;l<=n;l++){
    20. if (i==k||j==l) continue;
    21. f[i][j][k][l]=rect[i][j]+rect[k][l]+max(max(f[i-1][j][k-1][l],f[i][j-1][k][l-1]),max(f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k-1][l]));
    22. }
    23. }
    24. }
    25. }
    26. cout<<max(f[m][n-1][m-1][n],f[m-1][n][m][n-1]);
    27. /*cout<<f[m][n][m][n]; f[m][n][m][n]中是不会储存最后结果的*/
    28. return 0;
    29. }

    【优化】
    我们很容易知道,两次传递走的路程是相同的,我们可以得到一个等式 i+j=k+l
    变形可得 l=i+jk
    这样我们可以省掉一重循环,把时间复杂度从O(n4)降到O(n3).
    当然空间也可以压缩,但是我没写~

    【优化后程序】

    1. #include<iostream>
    2. using namespace std;
    3. int rect[52][52]={0};
    4. int f[52][52][52][52]={0};
    5. int m,n;
    6. int max(int a,int b){
    7. return ((a>b)?a:b);
    8. }
    9. int main(){
    10. cin>>m>>n;
    11. for (int i=1;i<=m;i++){
    12. for (int j=1;j<=n;j++){
    13. cin>>rect[i][j];
    14. }
    15. }
    16. for (int i=1;i<=m;i++){
    17. for (int j=1;j<=n;j++){
    18. for (int k=1;k<=m;k++){
    19. int l=i+j-k;
    20. if (l<=0) continue;
    21. if (i==k||j==l) continue;
    22. f[i][j][k][l]=rect[i][j]+rect[k][l]+max(max(f[i-1][j][k-1][l],f[i][j-1][k][l-1]),max(f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k-1][l]));
    23. }
    24. }
    25. }
    26. cout<<max(f[m][n-1][m-1][n],f[m-1][n][m][n-1]);
    27. return 0;
    28. }

    End.

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