用计算方法中的外推法来计算π的近似值

思考

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如上图所示，单位圆的内接正$n$边形的周长为$2nsin(\frac{\pi}{n})$，而单位圆的周长为$2\pi$，因此，我们有：

$$\pi=\lim_{n\to\infty}nsin(\frac{\pi}{n})$$

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由$sin(x)$在$x$处的泰勒展开式$sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$可知：

$$\begin{align} \pi &=\lim\_{n\to\infty}nsin(\frac{\pi}{n}) \\\ &=\lim\_{n\to\infty}n(\frac{\pi}{n}-\frac{\pi^3}{3!n^3}+\frac{\pi^5}{5!n^5}-\cdots) \\\ &=\lim\_{n\to\infty}(\pi-\frac{\pi^3}{3!n^2}+\frac{\pi^5}{5!n^4}-\cdots) \label{eq:T00} \\\ &=\pi+O((\frac{1}{n})^2) \end{align}$$

我们记其为$T\_{0}^{(0)}$
在上述正$n$变形的基础上，将圆继续用正$2n$变形割细，则可得正$2n$变形的周长为$4nsin(\frac{\pi}{2n})$，所以：

$$\begin{align} \pi &=\lim\_{n\to\infty}2nsin(\frac{\pi}{2n}) \\\ &=\lim\_{n\to\infty}（\pi-\frac{\pi^3}{3!(2n)^2}+\frac{\pi^5}{5!(2n)^4}-\cdots） \\\ &=\pi+\lim\_{n\to\infty}（-\frac{\pi^3}{3!4n^2}+\frac{\pi^5}{5!16n^4}-\cdots）\label{eq:T01} \\\ &=\pi+O((\frac{1}{n})^2) \end{align}$$
上式记为$T\_{0}^{(1)}$。
做运算$\frac{\eqref{eq:T01}×4-\eqref{eq:T00}}{3}$可得：
$$\begin{align} \pi &=\pi+\lim\_{n\to\infty}（-\frac{\pi^5}{5!4n^4}-\cdots） \label{eq:T11} \\\ &=\pi+O((\frac{1}{n})^4) \end{align}$$
上式记为$T\_{1}^{(1)}$。由上述计算过程可知，利用理查森（Richardson）外推算法将$\pi$的误差阶由$O((\frac{1}{n})^2)$提高到$O((\frac{1}{n})^4)$，从而提高计算精度。重复上述过程可得：

$T_{m}^{(k)}$	$m=0$	$m=1$	$m=2$
$k=0$	$2.5981$	$3.1340$	$3.1416$
$k=1$	$3.0000$	$3.1411$
$k=2$	$3.1058$

其中：

$$\begin{align} &T\_{0}^{(0)} = 3sin(\frac{\pi}{3}) \\\ &T\_{0}^{(1)} = 6sin(\frac{\pi}{6}) \\\ &T\_{0}^{(2)} = 12sin(\frac{\pi}{12}) \\\ &T\_{1}^{(0)} = \frac{1}{3}(4T\_{0}^{(1)}-T\_{0}^{(0)})\\\ &T\_{1}^{(1)} = \frac{1}{3}(4T\_{0}^{(2)}-T\_{0}^{(1)})\\\ &T\_{2}^{(0)} = \frac{1}{15}(16T\_{1}^{(1)}-T\_{1}^{(0)}) \end{align}$$

所以可得$\pi$的近似值为:3.14158。