【读书笔记】线性代数——李尚志

读书笔记, 线性代数

行列式为什么要这样定义？矩阵为什么要这样相乘？向量到底是有方向大小的量，还是数组，还是定义了加法和数乘的任意非空集合中的元素？线性相关、现行无关是什么意思，有什么用处？

前言

从不同的事情中发现共同点，研究共同点，得到放之四海而皆准的真理，用到更多的不同事物中去，这就是抽象。这样的抽象不是没有用处，反而神通广大。数学由低级到高级的过程，就是抽象的程度由低到高的过程，也就是应用的范围由狭窄到广泛的过程。

书上为什么要写这些内容？不写可不可以？书上为什么要写矩阵和向量空间？为什么要写线性相关和无关？可不可以删去？

数学建模的过程：将所要解决的问题（实际问题或者理论问题）用适当的数学语言加以描述，转换为数学问题（即数学模型），用一定的数学工具（已有的工具或发明新的工具）来加以解决，再将所得到的数学解翻译成原来问题的解。

代数和几何相互渗透不可分割，这是线性代数的一个基本特点。线性代数名曰代数，其实也是几何。在某种意义上可以说：空间解析几何是3维空间的线性代数，而线性代数是n维空间的解析几何。线性代数的主要内容，可以用“空间为体，矩阵为用”来概括。它研究的对象是由向量组成的线性空间，这是几何对象。研究的工具则是矩阵，这是代数工具。

线性方程组的解法

线性代数就是“一次”代数，一个重要论题就是解多元一次方程组。

线性组合与同解变形——初等变换

矩阵消元法

线性空间

线性代数处理的最重要的对象是线性空间，线性空间由向量组成。

什么是向量?

• 最初，我们将有方向有大小的量称为向量。向量按照平行四边形法则相加，向量乘实数是向量在原方向或相反方向的伸长或缩短。
• 后来用坐标表示向量，向量的运算转化为坐标的运算。坐标就是有序数组，按分量相加以及与数相乘。
• 线性方程也可以相加，可以乘常数，可以用数组表示，线性方程的加法与数乘也可以转化为数组的运算。

凡是可以进行加法和数乘的都是向量。当然，加法和数乘必须满足我们熟悉的那些运算律。