范数&条件数

范数 条件数 线性代数 数值方法

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向量范数

理解

三维空间中向量长度的推广

定义

正定性（非负性）

$$\|x\|\geqslant0 （当且仅当x=0时\|x\|=0）$$

齐次性（均匀性）

$$\|\alpha x\|=|\alpha| \|x\|$$

次可加性（三角不等式）

$$\|x+y\|\leqslant\|x\|+\|y\|$$

向量的范数

p-范数

$$\|x\|_p=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{1/p}$$

1-范数

$$\|x\|_1=\sum_{i=1}^{n}|x_i|$$

2-范数(欧式范数)

$$\|x\|_2=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2)^{1/2}$$

∞-范数(最大范数)

$$\|x\|_\infty=\lim_{p\rightarrow\infty}(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{1/p}=\max_{1\leqslant i \leqslant n}|x_i|$$

证明:
记$t=\max_{1\leqslant i \leqslant n}|x_i|$，则有:

$$\begin{align} \eqalign{ \|x\|_\infty& =\lim_{p\rightarrow\infty}(|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}\\ & =t\lim_{p\rightarrow\infty}(|\frac{x_1}{t}|^p+|\frac{x_2}{t}|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}\\ & =t } \end{align}$$
上式中，运用到了夹逼准则：
$$\lim_{p\rightarrow\infty}1^{1/p}\leqslant\lim_{p\rightarrow\infty}(|\frac{x_1}{t}|^p+|\frac{x_2}{t}|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}\leqslant\lim_{p\rightarrow\infty}n^{1/p}$$
而
$$\lim_{p\rightarrow\infty}1^{1/p}=\lim_{p\rightarrow\infty}n^{1/p}=1$$

性质与应用

向量范数的等价性

$$c_1\leqslant\frac{\|x\|_s}{\|x\|_t}\leqslant c_2 (c_1,c_2>0)$$

证明
只要就$\|x\|_s=\|x\|_\infty$证明上式成立即可，即证明存在常数$c_1,c_2>0$，使

$$c_1\leqslant\frac{\|x\|_s}{\|x\|_\infty}\leqslant c_2 (对一切x\in R^n且x\neq0)$$
考虑函数

向量的极限

$$\lim_{k\rightarrow\infty}x_i^{(k)}=x_i^{*}$$

向量范数的连续性

证明