概率论与数理统计 公式大全

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一 概率论的基本概念

• 加法公式
  
  • $$\begin{split} P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=&\sum_{i=1}^{n}P(A_i)- \sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_iA_j)+\\&\sum_{1\leq i<j<k\leq n}P(A_i A_j A_k)+...+(-1)^{n-1}P(A_1 A_2 ... A_n) \end{split}$$
• 条件概率
  
  • $$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
• 全概率公式
  
  • $$P(A)=\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)$$
• 贝叶斯公式
  
  • $$P(B_i|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}​$$

二 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布

• 概率密度
  
  • $$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$$
• 常见分布及期望和方差
  
  • $0-1$ 分布 $$P(X=k)=p^k(1-p)^{n-k}$$
  • $$X\sim 0-1(p),E(X)=p,D(X)=p(1-p)$$
  • 泊松分布 $$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\ (k=0,1,2,...)$$
  • $$X\sim \pi(\lambda),E(X)=\lambda,D(X)=\lambda$$
  • 正态分布 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
  • $$X\sim N(\mu,\sigma^2),E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2$$
  • 指数分布 $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\ x>0$$
  • $$X\sim E(\lambda),E(X)=\frac{1}{\mu},D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$$
  • 二项分布 $$P(X=k)=C_n^k\cdot P^k\cdot (1-p)^{n-k}$$
  • $$X\sim B(n,p),E(X)=np,D(X)=np(1-p)$$
  • 均匀分布 $$f(x)=\frac{1}{b-a}\ a\leq x<b$$
  • $$X\sim U(a,b),E(X)=\frac{a+b}{2},D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$$
• 随机变量函数的概率密度
  
  • 若 $Y=g(x)$，$g'(x)>0$ 或 $g'(x)<0$
  • $$f_Y(y)=f_x(h(y))\cdot |h'(y)|\ \alpha<y<\beta$$
  • $h(y)$ 是 $g(x)$ 的反函数

三 二元随机变量

• 当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，若 $Z=X+Y$
  
  • $$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy$$
• 二元连续型随机变量的条件概率密度
  
  • $$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}​$$

• $Z=X+Y$的分布

  • $$F_Z(z)=P(Z\leq z)=\iint_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy$$
  • $$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$$

  • 正态分布

  • $c_0+c_1 X_1+c_2 X_2+...+c_n X_n\sim N(c_0+c_1\mu_1+...+c_n\mu_n,c_1^2\sigma_1^2+c_2^2\sigma_2^2+...+c_n^2\sigma_n^2)$

  • 二项分布
  • $$X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$$
  • 泊松分布
  • $$X+Y\sim \pi(\lambda_1+\lambda_2)$$
• $max (X,Y)$和$min (X,Y)$的分布
  
  • $$f_{max}(z)=f_X(z)f_Y(z)$$
  • $$f_{min}(z)=1-(1-f_X(z))(1-f_Y(z))$$

四 期望与方差

• 数学期望
  
  • $$E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_k p_k$$
  • $$E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_k p_k$$
  • $$E(Y)=E[g(X)]=\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k$$
  • $$E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$$
  • $$E(Z)=E[h(X,Y)]=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}h(x_i,y_j)p_{ij}$$
  • $$E(Z)=E[h(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}h(x,y)f(x,y)dxdy$$
  • $E(cX)=xE(X)$
  • $E(XY)=E(X)E(Y)$ （要求独立）
• 方差
  
  • $$D(X)=\sum_{i=1}^{+\infty}[x_i-E(X)]^2p_2$$
  • $$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx$$
  • $$D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X)^2]\}=E(X^2)-[E(X)]^2$$
  • $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\cdot Cov$
  • $$E(X^*)=0$$
  • $$D(X^*)=1$$
• 协方差
  
  • $$Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$$
  • $$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$
  • $$Cov(aX,bY)=ab\cdot Cov(X,Y)$$
  • $$Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$$
  • $$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$$
  • $$\rho_{XY}=Cov(X^*,Y^*)$$

• 不相关与独立

  • 不相关：$\rho_{XY}=0$
  • 独立： $$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j),\quad f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

• 常见分布及期望和方差

  • $0-1$ 分布 $$P(X=k)=p^k(1-p)^{n-k}$$
  • $$X\sim 0-1(p),E(X)=p,D(X)=p(1-p)$$
  • 泊松分布 $$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\ (k=0,1,2,...)$$
  • $$X\sim \pi(\lambda),E(X)=\lambda,D(X)=\lambda$$
  • 正态分布 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
  • $$X\sim N(\mu,\sigma^2),E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2$$
  • 指数分布 $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\ x>0$$
  • $$X\sim E(\lambda),E(X)=\frac{1}{\mu},D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$$
  • 二项分布 $$P(X=k)=C_n^k\cdot P^k\cdot (1-p)^{n-k}$$
  • $$X\sim B(n,p),E(X)=np,D(X)=np(1-p)$$
  • 均匀分布 $$f(x)=\frac{1}{b-a}\ a\leq x<b$$
  • $$X\sim U(a,b),E(X)=\frac{a+b}{2},D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$$

五 切比雪夫不等式，大数定律中心极限定理

• 切比雪夫不等式 Chebyshev's inequality
  
  • $$P\{|X-\mu|\geq \epsilon\}< \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$$
• 伯努利大数定律
  
  • $$\lim_{n\to +\infty}P\{|\frac{n_A}{n}-p|\geq\epsilon\}=0$$
• 独立同分布的中心极限定理（CLT）
  
  • 设 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 相互独立且同分布，$E(X_i)=\mu,D(X_i)=\sigma^2,i=1,2,...$ 则对于充分大 $n$ 的，有
  • $$\sum_{i=1}^nX_i\sim^{近似}N(n\mu,n\sigma^2)$$
• 德莫弗-拉普拉斯定理
  
  • 即二项分布可以用正态分布逼近
  • $$n_A\sim^{近似}N(np,np(1-p))$$

六 统计量与抽样分布

• 样本均值
  
  • $$\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$
  • $$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$$
  • $$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$
• 样本方差
  
  • $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$$
  • $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$$
  • $E(S^2)=\sigma^2$
  • $$D(S^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}$$
• 样本矩
  
  • $$A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k$$
  • $$B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^k$$
• $\chi^2$分布
  
  • $$\chi^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2$$
  • $E(\chi^2)=n$
  • $D(\chi^2)=2n$
  • $Y_1+Y_2\sim\chi^2(n_1+n_2)$
• $t$分布
  
  • $$T=\frac{X}{\sqrt{(Y/n)}},X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)$$
• $F$ 分布
  
  • $$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2},X\sim \chi^2(n_1),Y\sim\chi^2(n_2)$$
• 两个正态总体的抽样分布
  
  • $$F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}=\frac{S_1^2}{S_2^2}\Big/\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$
  • $$\frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$$
  • $$\frac{(\bar X-\bar Y)-\mu_1-\mu_2}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$$
  • 其中 $$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$

七 参数估计

• 极大似然估计
  
  • $$L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}p(x_i;\theta)$$
  • $$L(\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta)​$$
  • $X\sim N(\mu,\sigma^2),\quad\hat\mu=\bar X,\quad\hat\sigma^2=B_2$
  • $X\sim U(a,b),\quad\hat a=\min\{X_1,...,X_n\},\quad\hat b=\max\{X_1,...,X_n\}$
• 置信区间
  
  • $P\{\hat\theta_L(X_1,...,X_n)<\theta<\hat\theta_U(X_1,...,X_2)\}\geq 1-\alpha$

八 假设检验

• 拟合优度检验
  
  • $$\sum_{i=1}^k\frac{(n_i-np_i)^2}{np_i}\sim^{近似}\chi^2(k-r-1)$$
  • $n_i$ 为实际频数，$np_i$ 为理论频数

本章最后修订时间：2018.1.21 如有错误欢迎前往知乎指正

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