小题

Note

1.（2017提高组初赛T11）

如果$F[0] = 0$, $F[1] = 1$; 且$F[i] = (F[i - 1] + F[i - 2]) / 2$
那么随着$i$的增大，$F[i]$将趋近于?

我们知道$F[i] = (F[i - 1] + F[i - 2]) / 2$那么
$F[i + 1] = (F[i] - F[i - 1]) / 2$
$F[i + 1] - F[i] = (F[i - 1] - F[i]) / 2$
我们令$G[i] = F[i] - F[i - 1]$
那么$G[i + 1] / G[i] = \frac{F[i + 1] - F[i]}{F[i]- F[i - 1]} = - \frac{1}{2}$
$\frac{(F[i] + F[i - 1]) / 2 - (F[i - 1] - F[i - 2]) / 2}{(F[i - 2] + F[i - 1]) / 2 - F[i - 2] + F[i - 3]) / 2}$ = $\frac{(F[i] + F[i - 1]) - (F[i - 1] - F[i - 2])}{(F[i - 2] + F[i - 1]) - F[i - 2] + F[i - 3])}$ = $\frac{F[i] - F[i - 2]}{F[i - 1] + F[i - 3]} = - \frac{1}{2}$
且$G[1] = F[1] - F[0] = 1$
$\therefore G[i + 1] = (- \frac{1}{2}) ^ i$
$\therefore$
$F[i + 1] - F[i] = (- \frac{1}{2}) ^ i$
$F[i] - F[i - 1] = (- \frac{1}{2}) ^ {i - 1}$
$...$
$...$
$F[1] - F[0] = (- \frac{1}{2}) ^ {0}$
上式相加可得：
$F[i + 1] = 1+\frac{-1}{2}+(\frac{-1}{2})^2+...+(\frac{-1}{2})^i$
$=\frac{[1 - (\frac{-1}{2})^{i + 1}]}{[1-\frac{-1}{2}]}$
$=\frac{2}{3}[1-(\frac{-1}{2})^{n+1}]$

那么当$i \to \infty$时，$F[i] = \frac{2}{3}。$