SVD解析以及用其实现推荐算法

推荐算法

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首先介绍一下SVD，是对一个$m*n$规模矩阵进行奇异值分解，最后得到的为：

$$A = U∑V^T$$
其中$V$是$n*n$的正交矩阵，$U$是$m*m$的正交矩阵，$∑$是$m*n$的对角矩阵

特征值分解和奇异值分解两者有着很紧密的关系，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧

1. 特征值分解

如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

$$Av = \lambda v$$

这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：

$$A = Q∑Q^{-1}$$
其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。
分解得到的Σ矩阵是一个对角阵，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向（从主要的变化到次要的变化排列）
当矩阵是高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换，这个线性变化可能没法通过图片来表示，但是可以想象，这个变换也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。也就是之前说的：提取这个矩阵最重要的特征。

总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情.不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。

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2. 奇异值分解

下面重点谈谈奇异值分解。特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的，在现实的世界中，我们看到的大部分矩阵都不是方阵，比如说有N个学生，每个学生有M科成绩，这样形成的一个N * M的矩阵就不可能是方阵，我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征呢？奇异值分解可以用来干这个事情，奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法：

$$A=U∑V^T$$
假设A是一个M * N的矩阵，那么得到的U是一个M * M的方阵（里面的向量是正交的，U里面的向量称为左奇异向量），Σ是一个M * N的矩阵（除了对角线的元素都是0，对角线上的元素称为奇异值），V’(V的转置)是一个N * N的矩阵，里面的向量也是正交的，V里面的向量称为右奇异向量），如下：
$$A_{M*N}=U_{M*M}∑_{M*N}V_{N*N}$$

那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢？首先，我们将一个矩阵A的转置 * A，将会得到一个方阵，我们用这个方阵求特征值可以得到：

$$(A^TA)v_i=\lambda_iv_i$$
这里得到的v，就是我们上面的右奇异向量。此外我们还可以得到：
$$\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$$
$$u_i=\frac1\sigma_iAv_i$$
这里的σ就是上面说的奇异值，u就是上面说的左奇异向量。奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵，这里定义一下部分奇异值分解：
$$A_{m*n}≈U_{m*r}∑_{r*r}V^T_{r*n}$$
r是一个远小于m、n的数，这样矩阵的乘法看起来像是下面的样子：
$$A_{m*n}=U_{m*r}∑_{r*r}V^T_{r*n}$$

右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵，在这儿，r越接近于n，则相乘的结果越接近于A。而这三个矩阵的面积之和（在存储观点来说，矩阵面积越小，存储量就越小）要远远小于原始的矩阵A，我们如果想要压缩空间来表示原矩阵A，我们存下这里的三个矩阵：U、Σ、V就好了。

最后，我再举了例子：

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3. 将SVD应用于推荐系统

数据集中行代表用户user，列代表物品item，其中的值代表用户对物品的打分。基于SVD的优势在于：用户的评分数据是稀疏矩阵，可以用SVD将原始数据映射到低维空间中，然后计算物品item之间的相似度，可以节省计算资源。

整体思路：先找到用户没有评分的物品，然后再经过SVD“压缩”后的低维空间中，计算未评分物品与其他物品的相似性，得到一个预测打分，再对这些物品的评分从高到低进行排序，返回前N个物品推荐给用户。

具体代码如下，主要分为5部分：

第1部分：加载测试数据集；

第2部分：定义三种计算相似度的方法；

第3部分：通过计算奇异值平方和的百分比来确定将数据降到多少维才合适，返回需要降到的维度；

第4部分：在已经降维的数据中，基于SVD对用户未打分的物品进行评分预测，返回未打分物品的预测评分值；

第5部分：产生前N个评分值高的物品，返回物品编号以及预测评分值。

优势在于：用户的评分数据是稀疏矩阵，可以用SVD将数据映射到低维空间，然后计算低维空间中的item之间的相似度，对用户未评分的item进行评分预测，最后将预测评分高的item推荐给用户。

这里是代码：

# coding=utf-8
from numpy import *
from numpy import linalg as la
'''加载测试数据集'''
def loadExData():
    return mat([[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],
                [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],
                [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
                [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
                [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],
                [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],
                [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],
                [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
                [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],
                [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],
                [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]])
'''以下是三种计算相似度的算法，分别是欧式距离、皮尔逊相关系数和余弦相似度,
注意三种计算方式的参数inA和inB都是列向量'''
#这段代码在机器学习实战书中P259
#（注意传入的inA,inB都是列向量，行向量会报错）
def ecludSim(inA, inB):
    return 1.0 / (1.0 + la.norm(inA - inB))  # 范数的计算方法linalg.norm()，这里的1/(1+距离)表示将相似度的范围放在0与1之间
def pearsSim(inA, inB):
    if len(inA) < 3: return 1.0
    return 0.5 + 0.5 * corrcoef(inA, inB, rowvar=0)[0][
        1]  # 皮尔逊相关系数的计算方法corrcoef()，参数rowvar=0表示对列求相似度，这里的0.5+0.5*corrcoef()是为了将范围归一化放到0和1之间
def cosSim(inA, inB):
    num = float(inA.T * inB)
    denom = la.norm(inA) * la.norm(inB)
    return 0.5 + 0.5 * (num / denom)  # 将相似度归一到0与1之间
'''按照前k个奇异值的平方和占总奇异值的平方和的百分比percentage来确定k的值,
后续计算SVD时需要将原始矩阵转换到k维空间'''
def sigmaPct(sigma, percentage):
    sigma2 = sigma ** 2  # 对sigma求平方
    sumsgm2 = sum(sigma2)  # 求所有奇异值sigma的平方和
    sumsgm3 = 0  # sumsgm3是前k个奇异值的平方和
    k = 0
    for i in sigma:
        sumsgm3 += i ** 2
        k += 1
        if sumsgm3 >= sumsgm2 * percentage:
            return k
'''函数svdEst()的参数包含：数据矩阵、用户编号、物品编号和奇异值占比的阈值，
数据矩阵的行对应用户，列对应物品，函数的作用是基于item的相似性对用户未评过分的物品进行预测评分'''
def svdEst(dataMat, user, simMeas, item, percentage):
    n = shape(dataMat)[1]
    simTotal = 0.0;
    ratSimTotal = 0.0
    u, sigma, vt = la.svd(dataMat)
    k = sigmaPct(sigma, percentage)  # 确定了k的值
    sigmaK = mat(eye(k) * sigma[:k])  # 构建对角矩阵
    xformedItems = dataMat.T * u[:, :k] * sigmaK.I  # 根据k的值将原始数据转换到k维空间(低维),xformedItems表示物品(item)在k维空间转换后的值
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        if userRating == 0 or j == item: continue
        similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)  # 计算物品item与物品j之间的相似度
        simTotal += similarity  # 对所有相似度求和
        ratSimTotal += similarity * userRating  # 用"物品item和物品j的相似度"乘以"用户对物品j的评分"，并求和
    if simTotal == 0:
        return 0
    else:
        return ratSimTotal / simTotal  # 得到对物品item的预测评分
'''函数recommend()产生预测评分最高的N个推荐结果，默认返回5个；
参数包括：数据矩阵、用户编号、相似度衡量的方法、预测评分的方法、以及奇异值占比的阈值；
数据矩阵的行对应用户，列对应物品，函数的作用是基于item的相似性对用户未评过分的物品进行预测评分；
相似度衡量的方法默认用余弦相似度
'''
def recommend(dataMat, user, N=5, simMeas=cosSim, estMethod=svdEst, percentage=0.9):
    unratedItems = nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1]  # 建立一个用户未评分item的列表
    if len(unratedItems) == 0: return 'you rated everything'  # 如果都已经评过分，则退出
    itemScores = []
    for item in unratedItems:  # 对于每个未评分的item，都计算其预测评分
        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item, percentage)
        itemScores.append((item, estimatedScore))
    itemScores = sorted(itemScores, key=lambda x: x[1], reverse=True)  # 按照item的得分进行从大到小排序
    return itemScores[:N]  # 返回前N大评分值的item名，及其预测评分值
#下面来调用一下：
testdata = loadExData()
top = recommend(testdata, 1, N=3, percentage=0.8) # 对编号为1的用户推荐评分较高的3件商品
for Top in top :
    item , estimatedScore = Top
    print(item  , estimatedScore)

最后，强烈推荐去看机器学习实战这本书上有关SVD的解析，讲的很清楚(本文代码框架来源于该书)

（注：本文是我在博客上学习是所记的笔记，这里感谢一下两位博主并贴上两位博主文章链接：
第一位
第二位
）