Homework 04 - Nuclei Decay

ComputationalPhysics_HW 岳绍圣2013301020033

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CONTENT:

• Homework 04 - Nuclei Decay
  • 摘要
  • 背景介绍
  • 正文
    • 实现原理
      • 常微分方程组的数值近似解
      • 参数设置
      • 作图工具
    • 程序实现
    • 结果分析
  • 结论
  • 致谢

摘要

以第一章中的习题1.4为任务，给出了包含两类核子的简单级联衰变模型，探究了不同 $ratio = \tau_A/\tau_B$ 下的结果。

背景介绍

这里我们考虑简单的级联衰变：

$$A\to B\to C \tag{1}$$
我们知道，A的衰变服从指数规律，而B一方面不断衰变成C，另一当面却又不断从A处获得补充。该简单模型的微分表示为：

$$\left\{\begin{matrix} \frac{\text{dN}_A}{\text{dt}}=-\frac{N_A}{\tau _A}\\ \frac{\text{dN}_B}{\text{dt}}=\frac{N_A}{\tau _A}-\frac{N_B}{\tau _B} \end{matrix}\right. \tag{2}$$

解析解为：

$$\left\{\begin{matrix} N_A(t)\to N_{\text{A0}} e^{-\frac{t}{\tau _A}}\\ N_B(t)\to \frac{N_{\text{A0}} \tau _B \left(e^{-\frac{t}{\tau _A}}-e^{-\frac{t}{\tau _B}}\right)}{\tau _A-\tau _B} \end{matrix}\right. \tag{3}$$

And as a simple case, we assume that the initial number of nuclei B is 0, i.e. $N_{B0} = 0$.

In a special case where $\tau_A >> \tau_B$, From (3), when $t >> \tau_B$, we have:

$$N_B(t)\approx N_{\text{A0}}\frac{ \tau _B }{\tau _A-\tau _B}e^{-\frac{t}{\tau _A}} \tag{4}$$

so we can see that nuclei B decay in the same exponential way as nuclei A.

This indicates a excellent way for us to solve the problem of presevering nuclei of short life.

正文

实现原理

常微分方程组的数值近似解

级联衰变模型对应的常微分方程可写成

$$\left\{\begin{matrix} N_A(t+dt) = N_A - \frac{N_A}{\tau_A}\cdot dt\\ N_B(t+dt) = N_B + \left (\frac{N_A}{\tau_A} - \frac{N_B}{\tau_B} \right )\cdot dt \end{matrix}\right. \tag{5}$$
若取dt为某一足够小的近似值，当已知N的初值N(t₀)后多次迭代，便可得到之后所有的数值近似解。

参数设置

• 这里简单得假设B的初始数量为0，$tau_B=1$, $raio = \tau_A/\tau_B$
• 对于此方程，需要设置的参数有$ratio$，$\tau_A$，N_A (t₀)，dt，time。

作图工具

本次作业使用作图工具为matplotlib库。

程序实现

python源码地址： Nuclei Decay

结果分析

when $\tau_A >> \tau_B$, and $t >> \tau_B$, we have: nuclei B decay in the same exponential way as nuclei A.

点击动图查看代码

结论

当$t >> \tau_B$，即子核寿命远小于母核寿命时，子核B将按照母核A的规律衰变。

致谢

参考了老师的代码。