概率论札记 - 1 - 一个无法成为事件的状态空间子集

概率论札记

概率论里两个很基本的定义如下：

Definition 1 The state space: this is the set of all possible outcomes of the experiment, and it is usually denoted by $\Omega$.
Definition 2 The events: An event is a property which can be observed either to hold or not to hold after the experiment is done. In mathematical terms, an event is a subset of $\Omega$.

通常情况下，令$\mathcal{A}$为所有的事件(events)族时，$\mathcal{A}=2^\Omega$, 即$\Omega$的幂集，但是这并不总是成立的，尤其当$\Omega$是不可数的时候。

下面就构造一个例子——

  我们设计这样一个实验：随机从区间$[-1,2]$中间选取点。
我们将构造一个集合——它是$[-1,2]$的子集但它不是事件（即我们无法给这个事件赋予一个概率）。
  首先我们在$[0,1]$上定义一个等价关系：$x\sim y$ 当$x-y$是有理数的时候。令$\mathbb{Q}=\{r_1,r_2,...\}$为$[-1,1]$中所有有理数的集合。因此，当$x-y\in\mathbb{Q}$,$x\sim y$是一个等价关系，它的对称性、自反性和传递性很容易证明。
  既然它是一个等价关系，$[0,1]$区间就可以被分割为一些等价类$\Lambda_\alpha$。于是，当$x,y\in\Lambda_\alpha$， $x-y\in\mathbb{Q}$。所以对于任意一个$\alpha$来说，$\Lambda_\alpha$都是可数的。但是由于$\bigcup_\alpha{\Lambda_\alpha}=[0,1]$ 是不可数的，因此$\Lambda_\alpha$的数量是不可数的。我们从每个$\Lambda_\alpha$中取1个元素组成集合$E$，$E$的存在性由选择性公理保障。接下去我们将用反证法证明$E$不是一个事件。
  假设$E$是一个事件，令$p$是它发生的概率。对于任意一个正整数$n$，令$E_n=\{r_n+x:x\in E\}\subseteq[-1,2]$，$E_n$也是一个事件，且$P(E_n)=P(E)=p$.
  我们还可以观察到两件事：(1) 对于$n\ne m, E_n\cap E_m=\emptyset$, (2) $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^\infty{E_n}$.
证(1)：假如$t\in E_n\cap E_m,n\ne m$，那么就存在$r_n,r_m\in\mathbb{Q},x,y\in E,x\ne y$，我们有$t=r_n+x=r_m+y$，也就是$x-y=r_m-r_n$是有理数，这样一来$x\sim y$, 但又由于$x,y\in E, x\ne y$，所以这是不可能的。因此$E_n\cap E_m=\emptyset$.
证(2)：$\forall x\in[0,1]$，我们要证明$x\in\bigcup_{n=1}^\infty{E_n}$. 必然存在一个$y\in E$使得$x\sim y$，那么$x-y\in\mathbb{Q}$, 于是

$$x-y = r_n\Rightarrow x = r_n+y\Rightarrow x\in\bigcup_{n=1}^\infty E_n$$
把以上两点结合到一起，我们可以得到
$$\frac{1}{3}=P([0,1])\le P\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty{E_n}\right)\le 1$$
也就是
$$\frac{1}{3}\le\sum\limits_{n=1}^\infty{P(E_n)}=\sum\limits_{n=1}^\infty{p}\le 1$$
这是不可能的，因为$\sum\limits_{n=1}^\infty{p}$要么是0，要么是无穷大。因此$E$不可能是一个事件，因为我们无法给它赋予一个发生的概率。