Homework6

homework

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摘要

本次主要研究混沌现象。混沌是自然界普遍存在的现象。混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。

最初的尝试

我们先从课本上的样例开始考虑
用Euler-Cromer方法模拟计算如下驱动力下的混沌现象：

$$\frac{\mathrm{d^2} \theta}{\mathrm{d} x^2}=-\frac{g}{l}sin\theta -q\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}+F_Dsin(\Omega_Dt)$$ $$\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\omega$$ $$\omega_{i+1}=\omega_i+[-(g/l)sin\theta_i-q\omega_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i)] \Delta t$$ $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t$$ $$t_{i+1}=t_i+\Delta t$$

if $\theta_{i+1}$is out of the range [-$\pi$,$\pi$], add or subtract $2\pi$ to keep it in this range

课本样例代码

（用subplot输出图像的创意源自刘庆康，感觉画出来效果还不错所以借鉴了一下x）

习题

接下来我们用课本上的方法解决习题3.10（实际上只要在已写好的代码上修改输入的参数·）
$F_D=0.1$

$F_D=0.5$

$F_D=0.99$


为了便于对比 我将$F_D=0.99$时不调整 $\theta$取值范围的图像一并输出

结论

可以看出，随着$F_D$的增大 $\theta$ 和 $t$ 的函数越来越偏离标准的正弦函数