《代数学引论: 基础代数》笔记

致谢：部分习题答案 某道习题答案

未解决的问题：

P102 5.

P128 5. 11.

P141 3.

P142 7. 9.

P154 1. 5.

P155 10.

P162 6.

Chapter 1 代数基础

Section 1 线性方程组初步

基本概念

可以写成矩阵形式，$Ax = B$。齐次线性方程组定义为，$\forall\; i = 1 \cdots n, b_i = 0$ （存在零解）

若 $n=m$，称之为 方阵，它的 主对角线 即为 $\{a_{11},a_{22},a_{33},\cdots,a_{nn}\}$

定义一种特殊的方阵， 对角矩阵： 满足 $\forall\; i \not=j,a_{ij}=0$，记为 $\mathrm{diag}\{a_{11},a_{22},a_{33},\cdots,a_{nn}\}$。而作为特殊的对接矩阵，纯量矩阵 定义为 $\mathrm{diag}\{a_{11},a_{22},a_{33},\cdots,a_{nn}\}$，$\forall\; i = 1 \cdots n, a_{ii} = a$，记为 $\mathrm{diag}_n(a)$。单位矩阵 $\mathrm{diag}_n(1)$，记为 $E_n$

上三角矩阵 $n=m,\forall\; i > j,a_{ij} = 0$，下三角矩阵 $n=m,\forall\; i<j,a_{ij} = 0$。方便起见，将方阵 $A$ 化为上三角矩阵后的形式记为 $\bar{A}$

线性方程组的 相容性 指的是是否有解；而 确定性 指解是否唯一

初等变换 $\Rightarrow$ 化为阶梯形

I型初等变换 交换两行

II型初等变换 其中一行加上另一行的常数倍

初等变换可逆，变换后在许多意义下等价

阶梯形线性方程组

设 $r$ 是阶梯形线性方程组的行数

• 如果 $\exist\; t>r,b_t \not= 0$， 方程组不相容
• 自由变量 $\Rightarrow$ 主未知数
• 如果 $n=r$ ，方程组即为三角形式，存在唯一解

推论：$n > m$ 时，相容的方程组是不定的

Section 2 低阶行列式

二阶行列式

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a _{22} \end{pmatrix}$ 的行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a _{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$

可以发现，$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} x_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{21} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}$ ，于是可以得到 $x_1,x_2$ 的行列式表达

一般地，对于 $x_i$ 只需要将第 $i$ 列替换为 $b_1,\cdots,b_n$ 即可

三阶行列式

对于三个未知数，两个齐次方程的线性方程组，令 $y_1 = - \frac{x_1} {x_3}, y_2 = -\frac{x_2} {x_3}$，可以得到关于 $y_1,y_2$ 的二元方程组，进而得到二阶行列式表达。得到特解，

$$x_1 = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \quad x_2 = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{11} \\ a_{23} & a_{21} \end{vmatrix} \quad x_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}$$

如果 $\exist\; i\in\{1,2,3\},x_i \not = 0$，所有解都可以由特解乘以常数得到

考虑一个三元方程组，配上系数 $c_1,c_2,c_3$，可以消掉 $x_2,x_3$。最后得到关于 $x_1$ 的二阶行列式表达，$x_1$ 前的系数即为三阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$$

Extra

命题：三阶行列式的六项不可能都是正的

proof

设 $A$ 为所有 $+$ 项的乘积，$B$ 为所有 $-$ 项的乘积，必然有 $A+B=0$

$A,B$ 异号或均为 $0$，必然存在负的一项

对于二阶行列式，沿着主对角线翻转，值取为相反数；而对于三阶行列式，翻转后不变

Section 3 集合与映射

集合

如果 $T \subset S$，差集 $S \backslash T$ 也称为 $T$ 在 $S$ 中的 补集

对于两个集合 $X,Y$，笛卡尔积 $X \times Y = \{(x,y) | x \in X, y \in Y\}$ （由此可以定义多元函数）

例如 笛卡尔平方 $\mathbb{R^2 = R \times R}$ 就表示实平面

对于有限集 $A$，其 基数 $|A$| 定义为 $A$ 的元素个数

对于无限集 $A$，存在一一映射 $f:X \rightarrow Y$ 与 $\mathbb{N}$ 基数相同的集合，称作 可数集，记作 $\large \aleph_{0}$

映射

对于集合 $X,Y$，存在变换 $f:X \rightarrow Y$，即为 映射 （对应有 定义域，值域）

可以定义 象 $\mathrm{Im} f = \{f(x) | x \in X\} = f(X) \subset Y$

类似定义 原象 $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y_0) = \{x \in X | f(x) \in Y_0\} = \bigcup _{y \in Y_0} f ^ {-1} (y) \;(Y_0 \subset Y) \end{eqnarray}$

定义域和值域是一个映射（函数）的本质部分（是映射相同的必要条件）

定义 单位映射 $e_X: X \rightarrow X$，指向自己

如果 $X \subset X' , Y \subset Y', f:X\rightarrow Y, g:X' \rightarrow Y',\quad \forall x \in X, f(x) = g(x)$，$g$ 是 $f$ 的 扩张，类似可以定义 收缩

定义映射的乘积（合成） $fg(x) = f(g(x))$

定理一：映射的合成满足结合律（直接运用定义证明）

定义 逆映射，设 $f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$，如果 $fg = e_Y$ 那么 $f$ 是 $g$ 的 左逆 ，$g$ 是 $f$ 的 右逆

如果存在 $fg =e_Y, gf = e_X$，$g,f$ 互为 逆

引理：如果 $gf = e_X$ 则 $f$ 是单的，$g$ 是满的（用单射 / 满射定义证明）

定理二：$f:X \rightarrow Y$ 有逆，当且仅当 $f$ 是双射（左推右，直接利用引理；右推左，根据定义）

推论：对于双射 $f:X \rightarrow Y$，$(f^{-1})^{-1} =f$。如果 $f:X \rightarrow Y, h: Y \rightarrow Z$ 都是双射，必定有 $hf$ 也是双射，同时 $(hf)^{-1} = f^{-1} h^{-1}$

定理三：$X$ 是有限集，变换 $f:X \rightarrow X$ 是单射，则 $f$ 是双射（满射同理）（利用有限性，证明它是满射即可）

Extra

设 $f:X \rightarrow Y,\; S \subset X, T \subset X$，有 $f(S \cup T) = f(S) \cup f(T), \quad f(S \cap T) \subset f(S) \cap f(T)$

Section 4 关系

二元关系

对于集合 $X,Y$，定义 $\omega \subset X \times Y$ 为 $X,Y$ 间的一个 二元关系

$(x,y) \in \omega$ 用 $x \omega y$ 表示，称 $x,y$ 间有关系 $\omega$

例如 $<$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个二元关系，由 $\mathbb{R}$ 上位于 $x=y$ 上方的点组成

等价关系

集合上的二元关系 $\sim$ 叫做 等价关系，任取 $x,x‘,x'' \in X$ 满足

1. 反身性，$x \sim x$
2. 对称性，$x \sim x' \Rightarrow x' \sim x$
3. 传递性，$x \sim x',x' \sim x'' \Rightarrow x \sim x''$

可以定义 $x$ 的 等价类 $\overline{x} = \{ x' \in X | x' \sim x \} \subset X$

定理：由 $\sim$ 确定的等价类的集合是 $X$ 的一个划分，是这些子集的不交并，记为 $\pi _{\sim} (X)$

商映射

简单来说，商映射 是将 $x \in X$ 映射到对应的等价类

即定义满射 $p: x \mapsto p(x) = \overline{x}$，叫做 $X$ 到 商集 $X / \sim$ 的 自然映射

在某个给定的映射 $f$ 下

定义映射 $\overline{f}:X/\omega_f \rightarrow Y,\;\overline{f} (\overline{x}) = f(x)$（不依赖于 代表元 $\overline x$ 的选取）

于是有 $f = \overline{f} \cdot p$

序集

一个 全序集 $X$，存在二元关系 $\le$ 满足反身性，反对称性和传递性。称 $X$ 上有一个 偏序

联系图论中的DAG，可以定义 最大元，极大元，最小元，极小元

Section 5 数学归纳法

注意归纳基础

二重归纳原理

...

Section 6 置换

置换的记法

考虑一个 $n$ 元有限集 $\Omega = \{1,2,3,\cdots,n\}$，置换 即为一一映射 $\pi : i \mapsto \pi(i)$，全体置换记作 $S_n$（显然有 $|S_n| = n!$。与一般的映射类似的，置换存在单位元，恒等映射 $e = e_{\Omega}$，同样可以定义乘法，满足同样的运算律

对于置换 $\pi$，一种方便的记法是 $\large (i, \pi(i), \pi^2(i), \pi^3(i), \cdots, \pi^{n-1}(i))$

置换的循环结构

定义置换 $\pi$ 的 阶 $q$，满足 $\langle \pi \rangle = \{e, \pi, \cdots, \pi^{q-1}\}$ 包含所有互不相同的方幂，同时 $\pi ^ q = e$

我们可以定义两个点 $i,j \in \Omega$ 是 $\pi$ 等价 的，当且仅当 $\exist s \in \mathbb{Z},\; j = \pi ^ s(i)$

于是我们将 $\Omega$ 划分为若干类，$\Omega = \Omega_1 \cup \cdots \cup \Omega_p$，称之为 $\pi$ 轨道

考虑其中一个 $\pi$ 轨道 $\Omega_k$（令 $l_k = \Omega_k$），令 $\pi_k = (i, \pi(i), \cdots, \pi ^ {l_k-1})$，我们得到一个置换，称之为 长为 $l_k$ 的置换（显然置换 $\pi_k$ 使集合 $\Omega \backslash \Omega_k$ 中的点不动，于是两个循环是 无关的）

所以 $\pi$ 可以对应到乘积的分解 $\pi = \pi_1 \pi_2 \cdots \pi_p$ （显然可以省略恒等置换）

运用数学归纳法即可证明：定理一： $S_n$ 中的每一个置换 $\pi \not= e$ 都可以唯一地分解为长度 $\ge 2$ 且不相交的循环的乘积

接下来考虑长度为 $2$ 的循环，称作 对换

一个简单的 推论：任何置换 $\pi \in S_n$ 都可以表示为对换的乘积，而且并不唯一 （直接构造即可，比如 $(i_1,i_2,\cdots,i_l) = (i_1,i_l)(i_1,i_{l-1}) \cdots (i_1,i_2)$ ）

考虑 $\pi \in S_n$，分解为对换的乘积 $\pi = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_k$，定义 $\epsilon_\pi = (-1)^k$ 为 $\pi$ 的符号（奇偶性）

一个重要 定理二：$\epsilon_\pi$ 的奇偶性是唯一确定的，与分解式无关，满足 $\epsilon_{\alpha \beta} = \epsilon_\alpha \epsilon_\beta$。 只需要考虑数学归纳法，找到 $m$ 个因子变为 $m-2$ 个因子的构造性依据（参见 $\mathrm{page}\; 41$）

显然如果 $\pi \in S_n$ 会分解为 $m$ 个循环（包括长度为 $1$ 的），有 $\epsilon_\pi = (-1)^{n-m}$

构造 $L_r : \pi \rightarrow \tau \pi$，是一个一一映射，即可得到 结论：$S_n$ 中奇置换个数等于偶置换个数

定义一个 $n$ 元函数 $f$ 是 斜对称的，当且仅当交换相邻变量的位置时，函数变号。数学归纳法可以得到 推论：交换任意两个变量，函数变号，运用这个推论也可以证明定理二

Extra

定义 $\begin{eqnarray} \mathrm{sgn}(\pi) = \prod _ {1 \le i < j \le n} \frac {\pi(j) - \pi(i)} {j-i} \end{eqnarray}=(-1)^k$，$k$ 即为置换的逆序对个数，显然有 $\epsilon_\pi =\mathrm{sgn}(\pi)$

只需要构造对换，使得每一次对换减少一个逆序对。具体地，假设 $1,2,\cdots,i-1$ 已经排列完毕，在 $i-1$ 到 $i$ 中间的数都比 $i$ 要大，每一次将 $i$ 和前面一个元素交换，即可减少一个逆序对，直到 $i,i-1$ 相邻

Section 7 整数的算术

算术基本定理：任意正整数 $n \not= 1$ 必定能唯一地分解为素数的乘积 （尽管非常显然，定理只涉及到整除的性质，但是定理的证明需要用到 $\mathbb{Z}$ 中的加法与乘法运算）

Chapter 2 矩阵

Section 1 行和列的向量空间

定义 行向量 是属于向量空间 $\mathbb{R}^n$ 的一个元素，列向量 与 行向量 的区别仅仅只是约定。$\mathbb{R}$ 的运算法则适用于 $\mathbb{R}^n$

线性组合. 线性包

考虑 $X_1,X_2,\cdots,X_k \in \mathbb{R}^n$，$X = a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_kX_k$ 是向量 $X_i$ 带有系数 $a_i$ 的 线性组合

令 $V = \langle X_1, X_2, \cdots, X_k \rangle$，是这些向量的所有线性组合构成的集合，称之为向量组的 线性包，称 包 是这些向量 张成的

满足性质 $S \subset V \Rightarrow \langle S \rangle \subset V$，$0 \subset V$

重要结论：线性包 $U,V$ 的交集一定是线性包，而并集不一定是线性包（证明交集的线性组合在交集内即可；可构造反例 $U = \{(a,0)|a \in \mathbb{R}\}, V = \{(0,a)|a \in \mathbb{R}\}$）

线性相关

对于空间 $\mathbb{R}^n$ 中的向量组 $X_1, X_2, \cdots, X_k$，如果存在 $k$ 个不全为 $0$ 的数，使得

$$a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_kX_k = 0$$
就称这个向量组是 线性相关的

下面是一些 显然而非常重要的定理：（直接利用线性相关的定义即可）

• 向量组的一部分是线性相关的，整体也是线性相关的；线性无关向量的任意一部分都是线性无关的
• 线性相关的向量组至少存在一个向量是其他向量的线性组合；如果存在一个向量是其他向量的线性组合，那么这个向量组的线性相关的
• 向量组 $X_1, \cdots, X_k$ 是线性无关的，$X_1,\cdots,X_k,X$ 是线性相关的，$X$ 是其他向量的线性组合；如果 $X$ 不能表示为其他向量的线性组合，那么这向量组是线性无关的

基. 维数

定义向量组 $X_1,\cdots,X_r \in V$ 是 $V$ 的 基，当且仅当他们线性无关，并且 $\langle X_1, \cdots, X_k \rangle =V$。$r$ 即为 $V$ 的 维数

对于 $X \in V$ 显然存在唯一的 $\{a_i\}$，使得 $X = a_1X_1 + \cdots + a_kX_k$，系数 $\{a_i\}$ 称之为 $X$ 相对于基 $X_1,\cdots,X_k$ 的 坐标

定义 标准基 $\{E_{(1)}, E_{(2)}, \cdots, E_{(n)}\}$，它是 $\mathbb{R}^n$ 的基。其中 $E_{(i)} = (0,0,\cdots,1,\cdots,0)$（第 $i$ 项为 $1$）

一个重要的 引理：设 $V = \langle X_1, \cdots, X_r \rangle$ ，$Y_1, \cdots, Y_k$ 是线性包 $V$ 内线性无关的向量组，则有 $s \le r$（利用反证法，设 $x_1Y_1 + \cdots + x_kY_k = 0$，得到一个 $r$ 行 $s$ 列的齐次线性方程组，存在非零解，与条件矛盾）

定理：对于一个线性包 $V$ 的所有基，都含有相同个数的向量，一定满足 $r \le n$，记作 $\mathrm{dim}\; V$（每次不断扩充将 $V$ 中无法线性组合的 $X_k$ 加入线性包，根据引理，最后得到的个数 $r \le n$；设存在两组基 $\{X_i|i=1,\cdots,r\},\{Y_i|i=1,\cdots,s\}$，根据引理 $s \le r, r \le s$ 得到 $s=r$）

定义向量组 $\{X_1, X_2, \cdots\}$ 的 秩，$\mathrm{rank}\{X_1,X_2, \cdots \} =\mathrm{dim} \langle X_1, X_2, \cdots \rangle$

特别的，对于 $V = \{0\}$，我们定义 $\mathrm{dim}\; V = 0$

Extra

设 $U,V$ 是两个 $\mathbb{R}^n$ 中的线性包，定义 线性包的和：

$$U + V = \langle U \cup V \rangle = \{u + v | u \in U, v \in V\}$$
如果 $U \cap V = 0$，称 $U \oplus V = U + V$，为 直和

命题：$V = V_1 \oplus V_2 \oplus V_3 \oplus \cdots \oplus V_k$ $\large \Longleftrightarrow$ $X = X_1 + \cdots +X_k\in V \; (X_i \in V_i)$ 的表示方法唯一

proof

• 假设存在两种表示方法，必定存在 $X_i + X_j = X'_i + X'_j\;(X_i \not=X'_i,X_j \not=X'_j)$，那么有 $X_i-X'_i = X_j-X'_j \in V_i \cup V_j$，而 $V_i \cup V_j = 0$，矛盾
• 类似于之前的构造性方法，假设存在两个线性包有交集，得到表示方法不唯一

设 $V$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个线性包，如果 $V = U \oplus W$，那么 $W$ 叫作 $U$ 在 $V$ 中的 补

命题： $U$ 在 $V$ 中的补是唯一确定的

假命题。 容易举出反例：$U = \mathbb{R}^2,V = \{(\lambda,0)|\lambda \in R\}$，则 $W$ 可以取 $\{(0,\lambda)|\lambda \in R\}$ 或者 $\{(\lambda,\lambda)|\lambda \in R\}$

证明：$\mathbb{R}^n$ 中的向量组 $X_1, \cdots, X_n$ 张成 $\mathbb{R}^n$，当且仅当它们是线性无关的

proof

• 假设它们是线性相关的，那么它们的维数 $r < n$，小于 $\mathbb{R}^n$ 的维数，无法张成，矛盾
• 考虑任意一个向量 $X \in \mathbb{R}^n$，是否是线性组合，即一个方程组是否存在解。由于它们线性无关，一定能变成三角矩阵（构造一个齐次方程组，不存在非零解，所以变换的时候不会使得某一行都为 $0$），故存在解

证明：$U,V$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的线性包，若 $U \cap V = 0$，则 $\mathrm{dim}(U+V) = \mathrm{dim}\;U + \mathrm{dim}\;V$

proof

考虑选取 $U+V$的基为 $U,V$ 的基的并。只需证明：$U,V$ 的基的并线性无关，基的并能张成 $U+V$。两者显然

Section 2 矩阵的秩

矩阵的秩

将矩阵 $A$ 的第 $i$ 列记作 $A^{(i)}$，线性包 $V_c =\langle A^{(1)}, A^{(2)}, \cdots, A^{(n)} \rangle$ 叫作矩阵的 列空间，列秩 $r_c = \mathrm{dim}\;V_c$

类似地，我们将第 $i$ 行记作 $A_{(i)}$，线性包 $V_r = \langle A_{(1)}, A_{(2)}, \cdots, A_{(m)} \rangle$ 叫作矩阵的 行空间，行秩 $r_r = \mathrm{dim}\;V_r$

一个重要的 引理：对于一个矩阵 $A$ 经过有限次行初等变换后，得到了矩阵 $A'$，那么有 $r_r(A') = r_r(A), r_c(A') = r_c(A)$（只需考虑一次初等变换后不变，对于行秩，利用定义显然；对于列秩，只需要证明其 极大线性无关组（是它的其中一个基）的大小不变：它对应的齐次方程组的解不变，即极大线性无关组无法加入新的向量，也无法减少向量）

通过这个引理可以得到重要 定理：对于任意 $m \times n$ 阶矩阵 $A$，等式 $r_c(A) = \mathrm{rank}\;A =r_r(A)$ 成立（其中 $\mathrm{rank}\;A$ 叫作矩阵 $A$ 的秩）

首先通过行初等变换得到阶梯矩阵 $A'​$，记 $r​$ 为非零行数。提取每一个非零行开头第一个不是 $0​$ 的元素所在的列，称之为矩阵的 列向量基，显然他们线性无关，得到 $r_c(A') \ge r​$；又 $r_c(A') = \mathrm{dim}\; V'_C \le \mathrm{dim}\; \mathbb{R}^r = r​$，得到 $r_c(A') = r​$。而 $r_r(A')=r​$ 是显然的

可解性原则

结合之前定理的证明过程，我们可以得到 结论：对于一个齐次方程组，化为阶梯形后，它的主未知数个数等于矩阵的秩

这句话表明，矩阵的秩是其内在特征，不依赖于任何外加状况

克罗内克-卡皮里定理：线性方程组是有解的，当且仅当它的系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩（注意，该定理无法判断是否存在唯一解

• 考虑必要性，$Ax=B$ 存在解，当且仅当列向量 $B$ 是矩阵 $A$ 的列向量的线性组合，即有 $\mathrm{rank}(A^{(1)},\cdots,A^{(n)}) = \mathrm{rank}(A^{(1)},\cdots, A^{(n)},B)$。得到 $\mathrm{rank}\;A = r_c(A) = r_c((A|B)) = \mathrm{rank}\;((A|B))$
• 考虑充分性，如果 $A,(A|B)$ 的秩相同，矩阵 $A$ 的列向量基是 $A,(A|B)$ 的极大线性无关组，于是列向量 $B$ 是 $A$ 的列向量基的线性表示，故存在解

Extra

定理 $r_c(A) = r_r(A)$ 的另一种，不需要化为阶梯型的证明方法

proof

基本思路：设 $\mathrm{dim}\; V_r(A) = r, \mathrm{dim}\; V_c(A) = s$，如果我们能证明 $s \le r$，再考虑矩阵 $A$ 的转置 $^t A$，就可以得到 $r = s$

具体地，选取 $A$ 的 $r$ 个基行（不妨设为前 $r$ 行），构成一个新的矩阵 $\tilde{A}$，再选取它的 $t$ 个基列（类似的设为前 $t$ 列），有 $t \le r$（因为 $V_c(\tilde{A}) \subset \mathbb{R}^r$）

接下来就是要证明 $s \le t$，即 $A$ 的列秩不大于 $\tilde{A}$ 的列秩，即证明对于 $A$ 的任意一列，都可以由前 $t$ 列线性表出。假设 $A_{(i)} = \mu_1A_{(1)} + \cdots + \mu_rA_{(r)}$，而对于前 $r$ 行，存在系数满足，$\tilde{A}^{(k)} = \lambda_1 \tilde{A}^{(1)} + \cdots + \lambda_t \tilde{A}^{(t)}$。于是

$$a_{ik} = \sum _ {l = 1} ^ {r} \mu_l a_{lk} = \sum _{l = 1} ^{r} \mu_l \sum _ {p=1} ^ {t} \lambda_p a_{lp} = \sum _ {p=1} ^ {t} \lambda_p \sum _{l = 1} ^{r} \mu_l a_{lp} = \sum _ {p=1} ^ {t} \lambda_p a_{ip}$$
就证明了结论

Section 3 线性映射. 矩阵的运算

矩阵与映射

考虑两个高分别为 $n,m$ 的列向量空间，设 $A = (a_{ij})$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，定义一个映射 $\varphi _ {A} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$，对于一个高度为 $n$ 的列向量 $X = [x_1, x_2, \cdots, x_n] \in \mathbb{R}^n$，即有

$$Y = \varphi_A(X) = x_1 A^{(1)} + x_2 A^{(2)} + \cdots + x_n A^{(n)}$$
也可以写作 $\begin{eqnarray} y_i = \sum _ {j=1} ^{n} a_{ij} x_{j},\quad i=1,2,\cdots,m \end{eqnarray}$

容易验证，映射 $\varphi_A$ 满足性质：

• $\varphi_A(X' + X'') = \varphi_A(X') + \varphi_A(X''), \quad \forall \; X',X'' \in \mathbb{R}^n$（可加性）
• $\varphi_A(\lambda X) = \lambda \varphi_A(X), \quad \; \forall X \in \mathbb{R}^n, \lambda \in \mathbb{R}$（齐次性）

可以证明，满足上述性质的任意映射 $\varphi$ 等价于 $\varphi_A$（利用性质，得到 $\begin{eqnarray} \varphi(X) = \sum _{j=1} ^{n} x_j \varphi(E^{(j)}) \end{eqnarray}$，映射 $\varphi$ 的取值由它在列向量基 $E^{(j)}$ 的取值完全决定）

有了之前的铺垫，我们可以引入定义：满足上述性质的映射 $\varphi = \varphi_A : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 叫作从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的 线性映射 （不同向量空间之间的映射）。特别地，如果 $m=n$ 时叫作 线性变换 （向量空间到自己的映射），矩阵 $A$ 叫作 线性映射 $\varphi_A$ 的矩阵。特别地，当 $m=1$ 时，映射 $\varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 称作 $n$ 变元的线性函数

根据之前的结论，我们可以得到重要 定理：从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的线性映射与 $m \times n$ 阶的矩阵之间存在着一一对应

利用映射 $\varphi_A$ 的性质，以及矩阵的运算法则，得到重要 推论：$\alpha \varphi_A + \beta \varphi_B = \varphi _{\alpha A + \beta B}$

以下是一个常用的事实：线性函数的线性组合也是一个线性函数

矩阵的乘积

类比一般的映射复合，我们可以考虑两个线性映射的合成。考虑 $\varphi_A：\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^s,\;\varphi_B:\mathbb{R}^s \rightarrow \mathbb{R}^m,\quad\varphi_C = \varphi_A \circ \varphi_B$，利用 $\varphi_A,\varphi_B$ 是线性映射这一性质，容易得到 $\varphi_C$ 也是一个线性映射。考察线性映射的显式表达，可以得到

$$c{ij} = \sum _ {k=1} ^{s} a_{ik} b_{kj}=A{(i)}B^{(j)}$$
于是我们得到 矩阵乘法 的定义，上式即为 $C = A \times B$

定理：有矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 确定的两个线性变换的乘积 $\varphi_A \circ \varphi_B$ 是由矩阵 $C = AB$ 确定的线性变换，即有 $\varphi_A \circ \varphi_B = \varphi_{AB}$

乘法 $AB$ 有意义，当且仅当 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数。而方阵始终有意义

根据映射的结合律，得到 推论：矩阵乘法满足结合律 $A(BC)=(AB)C$

根据定义，可以直接得到矩阵乘法的 分配率：$(A+B)C = AC+BC,\; D(A+B) = DA+DB$

矩阵的转置

考虑两个分别为 $n \times m,m\times n$ 的矩阵 $A,B$，$\forall\; i=1,\cdots,n, j=1,\cdots,m,\; A_{ij} = B_{ji}$，两个矩阵就 互为转置，显然满足性质 $^t(^tA) = A,\;^t(A+B) = {}^tA + {}^tB,{}^t(\lambda A) =\lambda{}^tA,{}^t(A_1A_2\cdots A_r)={}^tA_r \cdots {}^tA_2 {}^tA_1$

矩阵乘积的秩

定理：不等式 $\mathrm{rank}\;AB \le \min \{\mathrm{rank}\;A,\mathrm{rank}\;B\}$ 成立（考虑到 $C_{(i)} = A_{(i)}B$，我们选取 $A$ 前 $r_1$ 个向量作为基向量，$B$ 的秩不会发生改变；到 $C$ 的所有行向量能由前 $r_1$ 个向量线性表出，即 $\mathrm{rank}\;C \le \mathrm{rank}\;A$，类似可以得到 $B$）

方阵

全体 $n$ 阶实方阵的集合记作 $M_n(\mathbb{R})$，构成一个 （结合）环

对于任意方阵 $A$ ，显然有 $\mathrm{diag}_n(\lambda)A = \lambda A = A \mathrm{diag}_n(\lambda)$。同时有 定理：在 $M_n$ 中，与任意矩阵可交换的矩阵是纯量矩阵（考虑一个可交换的矩阵，在其两边分别乘上 $E_{ij}$，观察矩阵的形式即可）

对于方阵 $A$，存在 $A',A''$ 满足 $AA'= E = A''A \Longrightarrow A''=A''E=A''(AA')=(A''A)A'=EA'=A'$这样如果存在 $AA'=E=A'A$，那么 $A'$ 一定唯一，称之为 $A$ 的 逆矩阵，记作 $A^{-1}$，称矩阵 $A$ 是可逆的

定义：矩阵 $A \in M_n(\mathbb{R})$ 叫做 非退化的，当且仅当行（列）向量组线性无关，即 $\mathrm{rank}\;A = n$。否则 $A$ 是 退化的

非常重要的定理：矩阵 $A \in M_n(\mathbb{R})$ 是 可逆的，当且仅当它是非退化的

• 一方面，如果存在 $AB=E$，$n = \mathrm{rank}\;E = \mathrm{rank}\;AB \le \min\{\mathrm{rank}\;A,\mathrm{rank}\;B\} \le n$
• 另一方面，如果 $\mathrm{rank}\; A =n$，那么 $\langle A^{(1)}, \cdots, A^{(n)} \rangle = \mathbb{R}^n$，于是 $\exist A' \in M_n(\mathbb{R}),\;\forall \; j=1,\cdots,n, \quad E^{(j)} = AA'^{(j)}$，即 $E = AA'$；显然 ${}^tA$ 也是非退化的，也即存在 $B$ 满足 $E = {}^tAB$ ，可得$E = {}^tE = {}^t({}^t AB) = {}^tB{}^t({}^tA) = {}^tBA$，故存在 $A''={}^tB$ 满足 $E = A''A$

推论1：设 $B,C$ 分别是 $m,n$ 阶非退化方阵，而 $A$ 是任意的 $m \times n$ 矩阵，则 $\mathrm{rank}\; BAC = \mathrm{rank}\; A$（根据之前的定理，有 $\mathrm{rank}\; BAC \le \mathrm{rank}\; BA = \mathrm{rank}\; BA(CC^{-1}) = \mathrm{rank}\; (BAC)C^{-1} \le \mathrm{rank}BAC$，即 $\mathrm{rank}\;BA = \mathrm{rank}\;A$）

推论2：如果 $A,B \in M_n(\mathbb{R}), \;AB=E \; \mathtt{or} \; BA=E$，那么 $B=A^{-1}$（$AB=E \Rightarrow \mathrm{rank}\;A = n$，即 $A$ 是非退化的）

推论3：如果 $A,B,\cdots,C \in M_n(\mathbb{R})$ 是非退化的方阵，其乘积也是非退化的，同时 $(AB\cdots C)^{-1} = C^{-1} \cdots B^{-1} A^{-1}$

矩阵的等价类

引入三类 初等矩阵，分别对应三类初等变换：

• 令 $E_{st}$ 表示只有第 $s$ 行第 $t$ 列为 $1$，其他位置都为 $0$ 的矩阵
• 对于 I 型初等变换，$F_{st} = E - E_{ss} - E_{tt} + E_{st} + E_{ts}$
• 对于 II 型初等变换，$F_{st}(\lambda) = E + \lambda E_{st}$
• 和特殊的 III 型初等变换，第 $s$ 乘以了一个常数，$F_s(\lambda) = E + (\lambda - 1) E_{ss}$

由初等变换的可逆性，能得到 初等矩阵的可逆性：

$$(F{st})^{-1} = F{st},\quad F{st}(\lambda)^{-1} = F{st}(\lambda),\quad F{s}(\lambda)^{-1}= F{s}(\lambda^{-1})$$
（II 与 III 型对应的初等矩阵，其逆矩阵有不同的表现形式，故不宜统一形式）

考虑一个 $m \times n$ 的矩阵，可以通过 行与列的 I,II 初等变换 得到左上角为 $r \times r$ 非退化对角子矩阵的矩阵，这里有 $r = \mathrm{rank}\; A$。再通过 III 型初等变换，得到矩阵 $P_k\cdots P_1AQ_1\cdots Q_l = \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ （其中 $P_i(Q_i)$ 是 $m(n)$ 阶初等矩阵）

于是就能引入 矩阵的等价性，大小相同的 $A,B$ 等价当且仅当能找到非退化的 $m,n$ 阶矩阵 $B = PAQ$。容易验证其满足条件，我们引入形如 $\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ 的矩阵作为等价类的代表元

得到重要 定理：$n \times m$ 的矩阵集合被划分为 $\min\{n,m\} + 1$ 个等价类，所有秩相同的矩阵属于同一个等价类，以及 推论：所有非退化矩阵能写成初等矩阵的乘积

逆矩阵的计算

利用初等矩阵的理论，我们可以很方便地进行逆矩阵的计算。对于一个非退化方阵 $A$，写成扩展矩阵 $(A|E)$，经过行初等变换（即乘上初等矩阵），变换为 $(E|A')$，$A'$ 即为 $A$ 的逆。称之为 P约化，一般地，变成其代表元的过程称之为 PQ约化

解空间

考虑一个 $n$ 元含有 $m$ 个方程的线性齐次方程组，$AX = 0$ 的全部解。显然，解的线性组合也是解，故齐次线性方程组的 解空间 是个线性包（也称之为 $A$ 的 核）：$V_A = \langle X \in \mathbb{R}^n | AX = 0 \rangle \subset \mathbb{R}^n$

定理：等式 $r=\mathrm{rank}\;A,\; s= \mathrm{dim}\; V_A,\; r + s = n$ 成立，考虑其证明：

• 假设 $V_A$ 的基 $X^{(1)},\cdots,X^{(s)}$，选择其他的基 $X^{(s+1)},\cdots,X^{(n)}$ 以扩充成 $\mathbb{R}^n$。取 $X \in \mathbb{R}^n$ 是这些基的线性组合
• 根据前提，$AX$ 可以表示为 $AX^{(s+1)}, \cdots, AX^{(n)}$ 的线性组合，而 $V_c(A) = \langle AX | X \in \mathbb{R}^n \rangle \subset \mathbb{R}^m$
• 所以有 $r = \mathrm{dim}\; V_c(A) \le n - s$，而 $r = n - s$ 仅当 $AX^{(s+1)}, \cdots, AX^{(n)}$ 线性无关
• 线性无关的证明：$\begin{eqnarray} 0 = \sum _ {k \ge s + 1} \beta _ k A X ^ {(k)} = A(\sum _ {k \ge s + 1} \beta _ k X ^ {(k)}) \Longrightarrow \sum _ {k \ge s + 1} \beta _ k X ^ {(k)} \in V _ A \end{eqnarray}$，而根据 $X^{(k)}$ 的选择，得到所有的 $\beta_k = 0$

将任意一组解 $X$ 的基，定义为 基础解系。而 规范基础解系 定义为：

$$X ^ {(1)} = \left[ x_1^{(1)},x_2^{(1)},\cdots,x_r^{(1)},1,0,\cdots,0\right] \\ X ^ {(2)} = \left[ x_1^{(2)},x_2^{(2)},\cdots,x_r^{(2)},1,0,\cdots,0\right] \\ \cdots \cdots\\ X ^ {(n-r)} = \left[ x_1^{(n-r)},x_2^{(n-r)},\cdots,x_r^{(n-r)},0,0,\cdots,1\right] \\ $$

Extra

马尔科夫矩阵 应用于概率论，可以看作是概率的转移。定义矩阵

$$P = (p_{ij}),\quad p_{ij} \ge 0, \quad \sum _ {j=1} ^ {n} p _{ij} = 1, \quad i = 1, 2, \cdots n$$

常常作用于概率列向量

$$X = \left[ x_1, \cdots, x_n \right], \quad x_i \ge 0, \quad \sum _ {i=1} ^ n x _ i = 1$$$

• 矩阵 $P \in M_n(\mathbb{R})$ 是马尔科夫的，当前仅当对于任意概率向量 $X$，$PX$ 是概率向量
• 如果 $P,Q \in M_n(\mathbb{R})$ 是马尔科夫的，那么 $PQ$ 也是马尔科夫矩阵

命题：对于任意两个 $m \times n​$ 的矩阵 $A,B​$ ， $\mathrm{rank}(A+B) \le \mathrm{rank}\;A + \mathrm{rank}\; B​$

proof

注意到 $A,B$ 的基向量可以线性表出 $A+B$ 即可

命题 Sylvester不等式：对于任意的 $m \times s, s \times n$ 的矩阵 $A,B$，证明：$\mathrm{rank}\; A + \mathrm{rank}\; B - s \le \mathrm{rank} \;AB$

proof

注意到 $\mathrm{Im}\; B \subset \mathbb{R}^s$，即有 $\mathrm{ker}\; AB \subset \mathrm{ker}\; A \subset \mathrm{ker}\; A + \mathrm{ker}\;B$

$m - \mathrm{rank}\; AB \le m - \mathrm{rank}\; A + s - \mathrm{rank}\;B$

关于矩阵秩的不等式

证明：若矩阵 $A = (a_{ij})$ 是非退化的对称矩阵，那么 $A^{-1}$ 也是对称矩阵

proof

$$AA^{-1} = E \Rightarrow {}^tA^{-1}{}^tA = E \Rightarrow {}^tA^{-1}A = E \Longrightarrow A^{-1} = {}^tA^{-1}$$

分块矩阵 将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵

加法、数乘、转置，稍微yy一下

考虑乘法。显然要求分块矩阵 $A$ 的列分割方式等于分块矩阵 $B$ 的行分割方式，直接按照之前的乘法方式，每个元素也是矩阵乘法，容易发现其等价性

常常用于减少矩阵的阶数，例如：（这里 $A,B,E,0 \in M_n(\mathbb{R}$)

$$\begin{pmatrix} E & A \\ 0 & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & 0 \\ -E &B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & AB \\ -E & B \end{pmatrix}$$
对于一些特殊的分块矩阵，有一些性质 Baidu or Wiki

矩阵乘法的另一种理解 考虑两个 $m \times s,\; s \times n$ 的矩阵 $A,B$ 的乘法 $C = A \times B$

根据定义，我们得到的矩阵乘法：$C_{ij} = A_{(i)} \cdot B^{(j)}$（其中 $\cdot$ 为向量的数量积）

如果我们提取 $B$ 的行向量而不是列向量，可以得到另一种理解

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ns} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{(1)} \\ B_{(2)} \\ \vdots \\ B_{(s)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}B_{(1)} + a_{12}B_{(2)} + \cdots + a_{1s}B_{(s)} \\ a_{21}B_{(1)} + a_{22}B_{(2)} + \cdots + a_{2s}B_{(s)} \\ \cdots\cdots\quad\quad\quad\quad\cdots\cdots \\ a_{n1}B_{(1)} + a_{n2}B_{(2)} + \cdots + a_{ns}B_{(s)} \\ \end{pmatrix}$$
$A$ 仍然是一个用于线性映射的矩阵，只不过此处的 $B$ 向量（矩阵）的每一个元素都是一个向量

回归到了矩阵的本质

Chapter 3 行列式

Section 1 行列式：构造和基本性质

几何背景

从行列式的几何意义入手，我们可以得到一些直观的理解。考虑一个 $n$ 阶方阵 $A = (a_{ij})$，对应一个 平行六面体，是形如

$$x_1A^{(1)} + \cdots + x_nA^{(n)},\quad 0 \le x_i \le 1$$
的点的集合。低维的情形有 线段，平行四边形

$n$ 维平行六面体的体积归纳定义为 $n-1$ 底面的体积与点 $A^{(n)}$ 到底面所在超平面的垂线段长度的乘积。注意此处的体积为 有向体积

行列式即为 $\det A = v(A)$，$A$ 是单位立方体 $E$ 在线性映射 $\varphi_A$ 下的像。故 $\det A$ 可以看作 有向体积的变换系数。直接能得到大量的行列式性质

组合 - 解析方法

为了得到更多的技巧，我们需要采用 分析 的方法，而不是几何直观。直接给出行列式的 完全展开式，以研究其性质

$$|A| = \det A = \sum _ {\sigma \in S_n} \epsilon_\sigma a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}$$

行列式的基本性质

引入两个基本概念。一个函数 $\mathcal{D}: \left[ A_{(1)},\cdots,A_{(n)} \right] \mapsto \mathcal{D} \left(A_{(1)},\cdots,A_{(n)}\right)$ 叫做 多重线性的，如果它的每一个分量 $A_{(i)}$ 都是线性的，即

$$\mathcal{D} (A_{(1)}, \cdots,\alpha A'_{(i)} + \beta A''_{(i)}, \cdots, A_{(n)}) = \alpha \mathcal{D}(A_{(1)},\cdots,A'_{(i)},\cdots,A_{(n)}) + \beta \mathcal{D} (A_{(1)}, \cdots, A''_{(i)}, \cdots, A_{(n)})$$
注 1： 由多重线性性可得 i) 含有零向量时，$\mathcal{D}=0$ ii) 对于固定的 $A_{(1)},\cdots,A_{(i-1)},A_{(i+1)},\cdots,A_{(n)}$以及任意的 $i$，$A_{(i)} = X = \{x_1,\cdots,x_n\}$，一定有
$$\mathcal{D}(A_{(1)},\cdots,A_{(n)}) = \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2 + \cdots + \alpha_nx_n$$
其中 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是与 $A_{(i)}$ 无关的纯量。逆命题显然同样成立

同样还有之前提过的 斜对称性，当且仅当

$$\forall\; i \in \{1,2,\cdots,n-2,n-1\},\quad \mathcal{D}(A_{(1)},\cdots,A_{(i)},A_{(i+1)},\cdots,A_{(n)}) = - \mathcal{D}(A_{(1)},\cdots,A_{(i+1)},A_{(i)},\cdots,A_{(n)})$$
注 2： 可以得到，斜对称性等价于一下形式
$$\forall\; i \in \{1,2,\cdots,n-2,n-1\},\quad \mathcal{D}(A_{(1)},\cdots,A_{(i-1)},X,X,A_{(i+2)},\cdots,A_{(n)})$$

对于行列式，行和列的地位是等价的，有 定理 1：对于任意方阵，有 $\det {}^tA = \det A$（事实上，这是显而易见的，考虑同一项乘积，两个置换必定有 $\pi\sigma = e$，有 $\epsilon_\pi = \epsilon_\sigma$）

注 3： 此论断表明，行列式的行（列）满足的性质，那么列（行）也满足

定理 2：以下三个性质成立。 D1. $\det A$ 是矩阵 $A$ 行的斜对称函数 D2. $\det A$ 是矩阵 $A$ 行的多重线性函数 D3. $\det E = 1$（显然）

对于 D1.，考虑同一项乘积，需要增加一次对换，系数全部取反；对于 D2.，我们只需要提出与 $a_{kj}$ 无关的系数，就能得到 $A_{(k)}$ 的线性表达形式，满足 注 1 中的形式

以上三个性质称之为 行列式的性质，但是我们可以对于具有性质 D1,D2 的任意函数 $\mathcal{D}:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ 证明诸多性质

D4. 显然有 $\det \lambda A = \lambda^n \det A$

D5. 根据 注 1，行列式满足 D1.：有一行为零的行列式等于 $0$

D6. 根据 D1，以及之前关于斜对称函数的推论，得到：有两行相同的方阵 $A$ 的行列式为 $0$（交换后变号同时相等）

D7. 对行列式的行施行 II 型初等变换后，其值不变，证明如下：

$$\begin{split} \mathcal{D}(A') &= \mathcal{D}(A_{(1)},\cdots,A_{(s)}+\lambda A_{(t)},\cdots,A_{(n)}) \\ &= \mathcal{D}(\cdots,A_{(s)},\cdots) + \lambda \mathcal{D}(\cdots,A_{(t)},\cdots, A_{(t)},\cdots) \\ &= \mathcal{D}(\cdots,A_{(s)},\cdots) \\ &= \mathcal{D}(A) \end{split}$$

注 4: 注意到这些性质只利用到 D1,D2，所以满足这两个性质函数能够满足以上几个性质

命题 1：设 $A$ 是一个方阵，那么有

$$\mathcal{D}(\bar A) = \mathcal{D}(E) \, \bar a_{11} \bar a_{22} \cdots \bar a_{nn}$$
直接利用 D1 以及 D7，不断化为对角矩阵即可。对于 $\mathcal{D} = \det$，由于 $\det E = 1$，所以我们就得到了计算行列式的简便做法，注意一次 I 型初等变换会变号

引入定义。将矩阵 $A = (a_{ij})$ 去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的矩阵的行列式记作 $M_{ij}$，称为矩阵 $A$ 的对应于元素 $a_{ij}$ 的 子式。而数值 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 叫做 代数余子式

命题 2：若 $A$ 的形式如下，那么有 $\det A = a_{11}M_{11} = a_{11}A_{11}$

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{12} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}$$
利用行列无关的性质，翻转后即可证明

定理3：对于任意满足之前所述性质的函数 $\mathcal{D}$，均有 $\mathcal{D}(A) = \mathcal{D}(E) \cdot \det A$（利用 命题1 可直接得出）

可见 行列式的性质，D1,D2,D3 唯一地刻画了这个函数。而 $\mathcal{D}$ 只需要 D1,D2 这两个性质

Section 2 行列式的进一步性质

行列式按一行或一列的元素展开

一种计算行列式的常用方法：基于逐次降低行列式的阶数，我们有

定理 1：设 $A = (a_{ij}) \in M_n(\mathbb{R})$，下述公式成立

$$\det A = \sum _ {i=1} ^ {n} (-1) ^ {i+j} a _{ij} M _{ij} = \sum _{i=1} ^{n} a _{ij} A _{ij}$$
也就是说矩阵 $A$ 的行列式等于某行（或某列）的一切元素与它们的代数余子式的乘积之和
$$\begin{split} & \det A \\ =& \sum _{i=1} ^{n} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & 0 & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \cdots & 0 & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ =& \sum _{i=1} ^{n} (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} a_{ij} & a_{i1} & \cdots & a_{i,j-1} & a_{i,j+1} & \cdots & a_{i,n} \\ 0 & a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n} \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & a_{i1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ 0 & a_{i1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ = & \sum _{i=1} ^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \end{split}$$

引入 范德蒙德行列式，

有

$$> \Delta_n = > \begin{vmatrix} > 1 & 1 & \cdots & 1 \\ > x_1 & x_2 & \cdots &x_n \\ > x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ > \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ > x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} > \end{vmatrix} > = \Delta(x_1,x_2,\cdots,x_n) > = \prod _ {1 \le i < j \le n}(x_j-x_i) >$$
proof

考虑数学归纳法，先进行初等变换，消去第 1列的大部分元素

$$> \Delta_n = > \begin{vmatrix} > 1 & 1 & \cdots & 1 \\ > 0 & x_2 - x_1 & \cdots & x_n-x_1 \\ > 0 & x_2^2 - x_2x_1 & \cdots & x_n^2-x_nx_1 \\ > \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ > 0 & x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1 & \cdots & x_n^{n-1} - x_n^{n-2}x_1 > \end{vmatrix} >$$
这样就可以利用代数余子式展开，再利用多重线性性
$$> \Delta_n = \prod _{i=2} ^{n} (x_n-x_1) \cdot \Delta(x_2,x_3,\cdots,x_n) = \prod _{1 \le i < j \le n} (x_j-x_i) >$$

引入 斜对称的 的方阵

满足 $a_{ij} + a_{ji} = 0$，显然有 $a _{ii} = 0$，其行列式

$$>\det A = \det {}^tA = \det (-A) = (-1)^n \det A >$$
对于任意奇数阶的斜对称矩阵，均有行列式为 $0$

特殊矩阵的行列式

定理 2：对于 $n+m$ 阶行列式 $D$ 在前 $n$ 列和后 $m$ 行的交叉处为 $0$，则有公式：

$$\det \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} = \det A \cdot \det B$$
proof

考虑固定 $A,C$，令 $D = \mathcal{D}(B)$。显然 $\mathcal{D}$ 具有性质 D1. D2.，于是有 $\mathcal{D}(B) = \mathcal{D}(E) \det B$

考察 $\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & E \end{pmatrix}$，注意到后 $m$ 行都只有一个 $1$，于是我们可以依次展开第 $n+m,n+m-1,\cdots,n+1$ 行，容易得到 $\mathcal{D}(E) = \det A$。

就证明了结论

另外，行列式 $\det \begin{pmatrix} C & A \\ B & 0 \end{pmatrix} = (-1)^{nm} \det A \cdot \det B$ 的证明也可以用类似方法

行列式在矩阵乘法中非常重要的一个论断：

定理 3：设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵，那么有

$$\det AB = \det A \cdot \det B$$
proof

类似于之前的证明方法，我们构造函数 $\mathcal{D}_B(A) = \det AB$，需要证明其满足性质 D1,D2

对于 D1，注意到 $(AB)_{(s)},(AB)_{(t)}$ 交换了位置，行列式取负

对于 D2，显然 $\det AB$ 是第 $i$ 行 $(AB)_{(i)}$ 的元素的线性函数

于是有 $\mathcal{D}_B(A) = \mathcal{D}_B(E) \cdot \det A = \det EB \det A = \det A \det B$

Extra

定理 3 的另类证法，构造辅助矩阵 $C = \begin{pmatrix}E & B \\ -A & 0 \end{pmatrix},\; C' = \begin{pmatrix}E & B \\ 0 & AB \end{pmatrix}$

由于 $C'$ 是由 $C$ 进行 II 型初等变换得到的，故有 $\det AB = \det C' = \det C = \det A \det B$

定义

$$C_n(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda_2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda_{n-1} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & \lambda_{n} \end{pmatrix}$$
有 $\det C_n = \lambda_n C_{n-1} + \det C _{n-2}$ 成立

只需要按照最后一列展开，$A_{n-1,n}$ 按照最后一行展开即可

证明

$$\det \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} = \det (A+B) \cdot \det(A-B)$$
形式上，利用初等变换
$$\det \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} A-B & B \\ B-A & A \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} A-B & B \\ 0 & A+B\end{pmatrix}$$

Section 3 行列式的进一步性质

非退化矩阵的判别准则

考虑一个非退化方阵 $A$，满足 $AA^{-1} = A^{-1}A = E$，于是得到

$$\det A \cdot \det A^{-1} = 1$$
引入 伴随矩阵，即矩阵的每个位置的代数余子式，再取转置
$$A^{\vee} = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$$
我们有 定理 1：矩阵 $A \in M_n(\mathbb{R})$ 是非退化的，当且仅当 $\det A \not= 0$。若 $\det A \not= 0$，则有
$$A^{-1} = (\det A)^{-1} A^\vee$$
proof

引入一个 引理：对于 $A \in M_n(\mathbb{R})$ 我们有关系式

$$> a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = \delta_{ij} \det A,\quad \delta_{ij} = [i=j] >$$
对于 $i=j$ 的情况，就是行列式的展开式

对于 $i \not= j$ 的情况，取 $A'$，是由 $A$ 中第 $i$ 行代替第 $j$ 行得到的矩阵。显然有 $\det A' = 0$，第 $j$ 行展开为代数余子式即可

取 $C = A A^\vee$，有 $(c_{ij}) = (\delta \det A) = (\det A) E$，即 $AA^\vee = (\det A)E$，于是如果有 $\det A \not=0$

$$A (\det A)^{-1} A^\vee = E \Longrightarrow A^{-1} = (\det A)^{-1} A^\vee$$

克拉默（克莱姆）公式

定理 2：如果一个 $n \times n$ 的线性方程组的系数不为 $0$，那么有

$$x_k = \frac { \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nk} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} } ,\quad k = 1,2,\cdots,n$$
proof

利用伴随矩阵，可以得到

$$X = A^{-1}B = \frac 1 {\det A} A^\vee B$$
从而
$$x_k = \frac 1 {\det A} \sum _{i=1} ^n A_{ik} b_{i}$$
注意到分子就是行列式的第 $k$ 列展开式

需要注意一点，克拉默公式对系数系统的微小扰动是及其敏感的，并不适用于求近似解

加边子式法

定义 $k$ 阶子式：一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 的任意 $k$ 行和 $k$ 列交叉处的元素组成的一个方阵的行列式。子式 $\widetilde M$ 称之为 $M$ 的 加边，当且仅当 $M$ 是由 $\widetilde{M}$ 去掉一端的行，以及一端的列得到的

有 定理（加边子式法）：对于一个矩阵 $A$，如果存在一个 $r$ 阶子式 $M \not= 0$，且对于 $r$ 的任意加边，它们都为 $0$，则 $\mathrm{rank}\; A = r$（只需要展开 $\widetilde M$，利用 $i$ 的任意性，证明任意一列都是前 $r$ 列的线性组合即可，得到 $\mathrm{rank}\; A \le r$，但是 $M$ 中的列是线性无关，矩阵 $A$ 中更长的列肯定线性无关）

得到 推论：任意矩阵的秩等于它的非零子式的最大阶数

加边子式法常常用于求矩阵 $A$ 的行或列的极大线性无关组，然而用初等变换会使得信息丧失

Extra（待补充！）

由于某些原因被skip了，日后填

Section 4 行列式的公理化构造（待理解）

本节指出了 通往行列式理论的若干途径，通过最简单的三条公理得到许多优美的性质

第一公理化构造 将行列式看作满足下述三条性质的任意函数 $\mathcal{D}: M_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$

• 关于矩阵的行是斜对称的
• 关于矩阵的行是线性相关的
• $\mathcal{D}(E) = 1$

根据之前的证明，这个函数是由这三条性质唯一确定的。唯一需要关心的给出 $\mathcal{D}({}^tA) = \mathcal{D}(A)$ 的独立证明

第二公理化构造 类似于第一公理化构造，可以直接推到上述三条性质

完全归纳构造法 定义一阶矩阵 $(a_{11})$ 的行列式为 $a_{11}$，利用代数余子式的展开式作归纳

归纳法证明 D1.D2.D3 成立

通过乘法性质的刻画 定义函数 $\mathcal{D}$ 满足乘法、两种初等矩阵的值

证明三种初等矩阵的值与其行列式的值对应相等，利用乘法性质得到 $\mathcal{D}(A) = \det A$

Extra（待补充！）

Too Difficult...

Chapter 4 群. 环. 域

Section 1 具有代数运算的集合

二元运算

定义映射 $\tau : X \times X \rightarrow X$ 叫做 $X$ 上的 二元代数运算，记为 $\tau(a,b)$，常常简记为 $a \tau b$，特殊的记号 $*, \circ, \cdot, +$。称 $\cdot$ 为 积（可省略），称 $+$ 为 和。在一个集合上可以定义许多不同的运算，选定一种后，记号 $(X,*)$ 称 $*$ 定义了 $X$ 上的一个 代数结构（代数系统）

注意到二元运算看起来是十分特殊的。一般地，我们还有 $n$ 元运算，属于 泛代数 的范畴

半群与幺半群

定义集合 $X$ 上的二元运算 $*$ 是 结合的，有 $\forall \; a,b,c \in X,\quad (a*b)*c = a*(b*c)$

如果是 交换的，则有 $a * b = b * a$，显然这两个性质是互相独立的

元素 $e \in X$ 叫做关于二元运算 $*$ 的 单位元（中性元），当且仅当 $\forall\, x \in X,\; e * x = x * e = x$

称满足结合律的代数结构为 半群，称带有单位元的半群为 幺半群

一些常见的例子.

考虑 $\Omega$ 是任意集合，$M(\Omega)$ 是它变换的集合。三元组 $(M(\Omega), \circ, e_\Omega)$ 是一个幺半群

考虑 $\Omega$ 的幂集 $\mathcal{P}(\Omega)$，我们有两个可交换的幺半群 $(\mathcal{P}(\Omega),\cup,\varnothing),\; (\mathcal{P}(\Omega),\cap,\Omega)$

对于方阵，我们有交换幺半群 $(M_n(\mathbb{R}),+,0)$，以及非交换幺半群 $(M_n(\mathbb{R}),\cdot,E)$

定义 $n\mathbb{Z} = \{nm|m \in \mathbb{Z}\}$，那么有交换幺半群 $(n\mathbb{Z},+,0)$，当 $n > 0$ 时 $(n\mathbb{Z},\cdot)$ 是一个半群

带有运算 $*$ 的半群 $S$ 的一个子集 $S'$ 是一个 子半群，若取 $x,y \in S', x * y \in S'$，也称 子集 $S' \subset S$ 关于运算 $*$ 封闭

类似可以定义 子幺半群，但是要求单位元一定在这个子幺半群内。也称之为 变换幺半群

广义结合律. 方幂

一个显然的 定理 1：如果 $X$ 上的二元运算是结合的，那么 $S$ 中 $n$ 个元素相乘的结果与括号位置无关

定义元素的 $n$ 次方幂，$x ^n = x \, x \, \cdots \, x$，显然有 $x^mx^n = x^{n+m}, \quad (x^m)^n=x^{nm}, \quad m,n \in \mathbb{N}$，在 幺半群 中，定义 $x^0 = e$。在加法幺半群中，上述性质可以记为 $mx+nx = (m+n)x,\quad n(mx) = nmx$

一般来说，称 $(M,\cdot,e)$ 为 乘法 幺半群，而称 $(M,+,0)$ 为 加法 幺半群（一般用于交换的幺半群）

可逆元素

幺半群 $(M,\cdot,e)$ 的一个元素 $a$ 称为 可逆的，若存在 $b \in M,\; ab = e = ba$，容易证明 $b$ 是唯一的。称 $a,b$ 互为 逆元，记为 $a^{-1}$

一个显然的 结论：幺半群 $(M,\cdot,e)$ 中全体可逆元素的集合对运算封闭，并且构成 $M$ 中的一个子幺半群

Extra

证明：存在代数结构 $(X,*)$（只有封闭性），满足 $\forall\, x,y \in X,\; (x*y)*y=x,\; y*(y*x)=x$。 求证 $*$ 是交换的

“因为这是本书中最没用的习题之一. 但毕竟还是个练习！” 答案

proof

$$\begin{split} (x * y) * y &= x \\ (x * y) * ((x * y) * y) &= (x * y) * x \\ y &= (x * y) * x \quad(\mathrm{since}\; y * (y * x) = x) \\ x &= (y * x) * y \\ (x * y) * y &= (y * x) * y \\ ((x * y) * y) * y &= ((y * x) * y) * y \\ x * y &= y * x \quad\quad\quad\;(\mathrm{since}\; (x * y) * y = x) \\ \ \\ \Large\mathrm{Ver}&\Large\mathrm{y\ nice.} \end{split}$$

证明集合

$$M_n^0(\mathbb{R}) = \left\{ A = (a_{ij}) \in M_n(\mathbb{R}) \; \left| \;\sum _{i=1} ^{n} a_{ij} = 0, \quad i=1,2,\cdots,n\right. \right\}$$
在矩阵乘法运算下构成一个半群。它是一个幺半群吗？

proof

显然满足结合律，于是只需要证明它对于矩阵乘法封闭。不妨令 $C = AB$

考虑 $\forall\, i=1,2,\cdots,n, \;\sum C_{(i)} = \sum _{j=1}^n a_{ij} (\sum B_{(j)}) = 0$，即对乘法封闭

注意到它是列线性相关的，即有 $\mathrm{rank}\, A < n, \; \forall A \in M_n^0(\mathbb{R})$，不存在单位元 $E$

证明：在乘法幺半群 $M$ 中选出任意一个元素 $t$，并引入运算 $*$：$x*y = xty$，证明 $(M,*)$ 称为一个幺半群当且仅当所选的元素 $t$ 可逆，且它的单位元是 $t^{-1}$

proof

显然 $(M,*)$ 也是一个半群，设其单位元为 $e$，而 $M$ 的单位元为 $e'$，根据定义，显然有

$$xte = x = etx \;\Longrightarrow\; te = e' = et \;\Longrightarrow\; e = t^{-1}$$

Section 2 群

定义和例子

考虑行列式不为 $0$ 的实系数 $n$ 阶方阵的集合 $GL_n(\mathbb{R})$，连同乘法运算，显然它是一个幺半群。注意到对于任意 $A \in GL_n(\mathbb{R})$ 均存在逆元满足 $AA^{-1} = E = A^{-1}A$，我们称之为 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶一般线性群

由此引入 定义：所有元素都可逆的幺半群叫做 群。特别的，对于代数结构 $S_n$ 称之为 $n$ 元置换的对称群。带有交换二元运算的群称之为 交换群，也常常叫做 阿贝尔群

类似的，我们可以定义 子群 的概念，当且仅当 $H \subset G$ 且满足群的性质。类似地，定义 真子群，要求 $H \not={e},H \not= G$

一些常见群的例子.

定义 $GL_n(\mathbb{R})$ 中行列式为 $1$ 的矩阵构成的子集 $SL_n(\mathbb{R})$，是一个子群，称为 $n$ 阶特殊线性群

考虑不同数域下的 $GL_n$ 有许许多多 有限 / 无限 的群

我们也可以令 $S(\Omega)$ 是 $\Omega$ 的全体双射，它的各类子群叫做 变换群。注意到将 $\Omega$ 取作 $\mathbb{R}^n$，包含可逆线性变换构成的集合，就和 $n$ 阶非退化矩阵一一对应

循环群

设 $G$ 是一个乘法群，$a \in G$，如果对于任意 $g \in G$ 都可以写成 $g = a ^n$ 的形式，则称 $G = \langle a \rangle$ 是带有生成元 $a$ 的 循环群。而加法群则定义为 $\langle a \rangle = \{na | a \in \mathbb{Z}\}$，方便起见，我们定义符号 $(a^{-1})^{k} = a^{-k}$。

容易证明 定理 1：任取 $m,n \in \mathbb{Z}$，有

$$a^ma^n = a^{m+n},\quad (a^m)^n = a^{mn}$$

一个简单的例子，整数加群 $(\mathbb{Z}, + , 0)$ 是个循环群，它由元素 $1$ 或 $-1$ 生成

考虑任意一个群 $G$，和 $a \in G$，有两种可能

• $\forall\, n \not= m,\; a^m \not= a^n$，称 $a$ 是 无限阶元
• $\exist\, n < m,\; a^m = a^n \Rightarrow a ^{m-n} = e$，令 $q$ 是使 $a^q=e$ 的最小整数，称 $a$ 是 $q$ 阶元

考虑一个显然的 定理 2：如果 $a$ 是个 $q$ 阶元，那么 $\mathrm{Card}\langle a \rangle = q$，并且，

$$\langle a \rangle = \{e,a,a^2,\cdots,a^{q-1}\} \\ a^k = e \Leftrightarrow k=lq,\quad l\in \mathbb{Z}$$
（考虑 $k$ 的带余除法即可）

同构

直接引入 定义：两个分别具有运算 $*$ 和 $\circ$ 的群 $(G,*)$ 与群 $(G',\circ)$ 称之为 同构 的，存在一种映射 $f:G \rightarrow G'$，使得

• $\forall\, a,b \in G, \; f(a * b) = f(a) \circ f(b)$
• $f$ 是双射

用符号 $G \simeq G'$ 表示两个群同构

推论 1：单位元对应到单位元（$e * a = a * e = a \Rightarrow f(e) \circ f(a) = f(a) \circ f(e) = f(a) \Rightarrow f(e) = e'$，其中性质二保证了 $f(g)$ 取遍 $G'$ 的所有元素）

推论 2：$f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$ （利用等式 $f(a^{-1}) \circ f(a) = e' = f(a)^{-1} \circ f(a)$ 即得证）

推论 3：逆映射 $f^{-1}:G' \rightarrow G$ 也是一个同构（显然，只需任取 $a,b \in G$ 证明定义中的等式即可）

一个简单的例子：函数 $f:=\ln$ 是 $(\mathbb{R}_+,\cdot)$ 到 $(\mathbb{R},+)$ 的一个同构映射，逆映射即为 $f^{-1}: x \mapsto e^x$

一个不言而喻的 定理 3：任意两个同阶的循环群是同构的（特别的，任意两个无限循环群是同构的）

群论中的重要 定理 4（凯莱定理）：任意 $n$ 阶有 $G$ 限群都同构于对称群 $S_n$ 的某个子群

proof

设 $n = |G|$。假设 $G = \{e=g_1, g_2, \cdots, g_n\}$

对于任意一个元素 $a \in G$，定义映射 $L_a : g \mapsto ag$。注意到 $L_a$ 是一个双射，存在逆映射，存在恒定映射，并且满足结合律。得到 $H = \{L_e, L_{g_2}, \cdots, L_{g_n}\} \subset G$ 在对应关系 $L : a \mapsto L_a$ 下与 $G$ 同构

如果同构定义中 $G' = G$ 得到群 $G$ 到自身的同构映射 $\varphi:G \rightarrow G$，称之为群的 自同构。恒等映射 $e_G : g \mapsto g$ （记为 $1$）是自同构，自同构的逆映射也是自同构，容易验证自同构也满足结合律。事实上，群 $G$ 的全体自同构集合 $\mathrm{Aut}(G)$ 构成 $S(G)$ 的一个子群（$G \rightarrow G$ 的全体双射）

同态

直接引入 同态 的定义，群 $(G,*)$ 到 $(G',\circ)$ 的一个映射 $f : G \rightarrow G'$ 叫做 同态映射，若（相当于只满足同构的第一个性质）

$$\forall\, a,b \in G,\quad f(a*b) = f(a) \circ f(b)$$
定义集合
$$\ker f = \{g \in G | f(g) = e' \in G'\}$$
是同态 $f$ 的 核。自己到自己的同态映射称为 自同态

显然映射的象 $\mathrm{Im}\, f \subset G'$ 是一个子群。$\ker f$ 的平凡性表示 $f$ 是否是单射，如果有 $\ker f = \{e\}$，那么 $f: G \rightarrow \mathrm{Im} f$ 是一个同构映射

由于

$$f(a) = e',f(b) = e' \Longrightarrow f(a*b) = f(a) \circ f(b) = e' \circ e' = e' \\ f(a^{-1}) = f(a) ^{-1} = (e')^{-1} = e'$$
所以核 $\ker f$ 是 $G$ 的一个子群

术语. 例子

在集合间的映射，我们有术语 满射，单射，双射。在群（或者其他代数系统）的 同态（态射） 时，有对应术语 满同态，单同态，同构

一些群同态的例子.

整数加群 $\mathbb{Z}$ 到 $q$ 阶循环群 $\langle g \rangle$ 有一个满同态映射 $f : n \mapsto g^n$，同时有 $\ker f = \{lq | l \in \mathbb{Z}\}$

从实数加群 $\mathbb{R}$ 到平面绕不动点 $O$ 的旋转群 $T$ 是个满同态映射

一般线性群 $GL_m(\mathbb{R})$ 到非零实数乘法群 $\mathbb{R}^*$ 有态射 $f : A \mapsto \det A$，并且有 $\ker f = SL_m(\mathbb{R})$

$n$ 阶对称群 $S_n$ 到二阶循环群 $C_s = \langle -1 \rangle = \{1, -1\}$ 有映射 $\epsilon : \pi \mapsto \epsilon_\pi$，核为 $\ker \epsilon = A_n$，称之为 交错群

无限群可以同构于自己的真子群。群 $(\mathbb{Z},+)$ 到群 $(n\mathbb{Z}, +)$ 恰好两种同构映射 $f : k \mapsto nk$ 或 $g:k \mapsto -nk$

考察一个群 $G$ 的自同构群 $\mathrm{Aut}(G)$，如果满足性质：存在 $2$ 阶自同构 $\varphi\,(\varphi^2 =1)$，没有非平凡不动点

$$>a \not= e \Rightarrow \varphi(a) \not= a >$$
如果有 $\varphi(a) a^{-1} = \varphi(b) b^{-1}$，可得
$$>\varphi(b)^{-1}\varphi(a) = b^{-1} a,\;\varphi(b^{-1}a) = b^{-1}a,\; b^{-1} a = e,\; >a = b >$$
也即对于任意 $g \in G$，都可以写成 $\varphi(a)a^{-1}$ 的形式，此时有
$$>\varphi(g) = \varphi^2(a) \varphi(a)^{-1} = a\varphi(a)^{-1} = (\varphi(a)a^{-1})^{-1} = g^{-1} >$$
即 $\varphi : g \mapsto g^{-1}$，由于
$$>ab = \varphi(a^{-1}) \varphi(b^{-1}) = (a^{-1}b^{-1})^{-1}=((ba)^{-1})^{-1} = ba >$$
得到 $G$ 是阿贝尔群，并且 $G$ 是由 $e$ 和互不相同的元素对 $g_i,g_i^{-1} = \varphi(g_i)$ 组成

我们可以改变群的运算，但在同构意义下不改变群的自身，考虑上一节的习题3。此时的群为 $(G,\cdot)$，引入运算 $g * h = g t h$ （其中 $t$ 是 $G$ 中的一个给定元素）

考虑映射 $f : g \mapsto g t^{-1}$ 建立了 $(G,\cdot),(G,*)$ 之间的同构

一个一般性原则：对群 $G$ 的态射的研究反映出群 $G$ 自身的重要信息

Extra

设 $S$ 是群 $G$ 的子集，若包含子群 $S$ 的所有群的交集与 $G$ 重合，则称 $G$ 是由 $S$ 生成的，记作 $G = \langle S \rangle$

• 证明：当 $G = \langle S \rangle$ 时，任意元素 $g \in G$ 形如 $g = t_1t_2\cdots t_n,\quad n=1,2,\cdots$ 其中 $t_i \in S$ 或者 $t_i^{-1} \in S$（反证，得到 $G$ 中形如 $t_1t_2 \cdots t_n$ 包含 $S$ 同时是一个群即可）
• 证明：若群 $G$ 中乘法可换的元素 $a,b$ 拥有互素的阶 $s,t$，则在 $G$ 中有一个 $st$ 阶的子群 $\langle ab \rangle$，且 $\langle a,b \rangle = \langle ab \rangle$（关系 $\langle ab \rangle \subset \langle a,b \rangle$ 显然成立；由 $(s,t)=1$，故存在 $k,l \in \Z$，使得 $tk+sl=1$，即有 $a = a^{1-sl} = a^{tk} = (ab)^{tk} \in \langle ab \rangle$，有关系 $\langle a,b \rangle \subset \langle ab \rangle$）
• 证明：设 $M = \langle S \rangle$ 是集合 $S$ 生成的幺半群，如果每个元素 $s \in S$ 都可逆，那么 $M$ 是一个群（注意到 $M$ 的所有元素都可以表示为 $S$ 中元素的乘积，倒着将这些元素的逆元相乘就是当前元素的逆）

证明：若群 $G$ 的阶 $|G| = 2n$ 是一个偶数，则 $G$ 中包含一个二阶元 $g \not= e$

proof

考虑 $G$ 中阶为 $k\ (k>2)$ 的元素 $x$，有 $x^{-1} \not= x$。若 $x^{-1}$ 的阶为 $l$ 且 $l < k$，则 $x^{-l}x^l = e$，$k=l$；取 $l=k$，就能满足条件。所以群中，阶数大于 $2$ 的元素都是成对出现，共偶数个

由于一阶元只有 $e$，所以二阶元共有奇数个，也就是至少包含一个

命题：设 $A,B \in M_n(\R)$ 且存在整数 $m$ 使得 $(AB)^m = E$，是否存在 $(BA)^m = E$？

proof

设 $T = (AB)^{m-1}$，则有 $ABT = E$，即 $A^{-1} = BT$

所以 $(BA)^m = BTA = A^{-1} A = E$

证明 重要结论：设 $G$ 是一个 有限（乘法）群，$H$ 是 $G$ 的一个非空子集，如果 $H$ 关于 $G$ 的乘法封闭，则 $H$ 是 $G$ 的子集

proof

考虑任意一个元素 $x \in E$，显然它的阶 $k$ 是有限的。根据 $H$ 乘法的封闭性，依次得到 $x,x^2,x^3,\cdots,x^k \in H$。得到 $x^{-1} = x^{k-1} \in H$，$e = x^{k} \in H$

Section 3 环与域

环的一般定义与基本性质

直接给出 定义： 设 $R$ 是一个非空集合，在 $R$ 上定义了两种（二元代数）运算 $+$ 和 $\cdot$，并且满足条件 $R1)$ $(R,+)$ 是阿贝尔群，$R2)$ $(R,\cdot)$ 是半群，$R3)$ 加法与乘法运算以分配律相联系 $(a+b)c = ac+bc,\; c(a+b) = ca+cb$，则称 $(R,+,\cdot)$ 是一个 环

其中 $(R,+)$ 叫作 环的加法群，而

$$(R,\cdot)$$ 叫作它的 乘法半群。如果 $(R,\cdot)$ 是一个幺半群，则称 $(R,+,\cdot)$ 是 有单位元的环，加法的单位元称为 零元。类似的，我们可以定义 环 $R$ 的子集 $L$ 叫作一个 子环，如果
$$\forall\, x,y \in L,\quad x-y \in L,xy \in L$$
类似地，可以定义由子集 $T \subset R$ 生成的子环 $\langle T \rangle \subset R$ 。如果 $\forall\, x, y, \in L,\; xy = yx$，则环 $R$ 是 交换的

一些环的例子.

$M_n(\mathbb{R})$ 是一个有单位元 $1 = E$ 的环，称之为 $\mathbb{R}$ 上的全矩阵环

设 $X$ 是任意集合 $R$ 是任意环，$R^X = \{X \rightarrow R\}$ 是所有映射 $f : X \rightarrow R$ 组成的集合。定义两种二元运算

$$> (f+g)(x) = f(x) \oplus g(x) \\ > (fg)(x) = f(x) \odot g(x) >$$

容易验证其满足环的所有条件。其中 $0_X : x \mapsto 0, 1_X : x \mapsto 1$ 是 $R^X$ 的零元和单位元。称之为 函数环

从环的定义中的三个条件导出环的其他更特殊的性质，可以从 $\mathbb{Z}$ 的性质得到启示，例如有

$$a + 0 = a \Rightarrow a(a+0) = a^2 \Rightarrow a^2 + a \cdot 0 = a^2 \Rightarrow a \cdot 0 = 0\;(0 \cdot a = 0)$$
如果存在 $0 = 1$，则任取 $a \in R$，会得到 $a = a \cdot 1 = a \cdot 0 = 0$，即 $R$ 中仅有零元。得到在非平凡的环中，有 $1 \not = 0$

利用分配律，容易得到 $(-a)b = a(-b) = -(ab)$。可证牛顿二项式仅当 $R$ 是交换环时成立

同余式. 剩余类环

定义两个整数 模 $m$ 同余，于是 $\Z$ 划分为若干类（同一类的模 $m$ 同余），每个剩余类形如

$$\{r\}_m = r + m \Z = \{r + mk | k \in \Z \}$$
实际应用中，我们常常用 $\Z_m$ 中的代表元代替剩余类。同样，我们在 $\Z$ 中导出运算，得到了 $\{\Z_m,\oplus,\odot\}$ 是一个带有单位元 $1 + m\Z$ 的 模 $m$ 的剩余类环

环的同态

直接给出 定义，设 $(R,+,\cdot)$ 和 $(R',\oplus,\odot)$ 是两个环，映射 $f : R \rightarrow R'$ 称为 同态，若 $f$ 保持环的两种运算，即

$$f(a+b) = f(a) \oplus f(b) \\ f(ab) = f(a) \odot f(b)$$
有 $f(0) = 0',f(na) = nf(a)\,(n \in \Z)$。其中，集合
$$\ker f = \{a \in R | f(a) = 0'\}$$
称为同态 $f$ 的 核，显然 $\ker f$ 是 $R$ 的一个子环

类似地，有 单同态，若 $\ker f = 0$（反证即可）；满同态，若 $\mathrm{Im} f = R'$；同构，$f$ 既单且满，记为 $R \cong R'$

环的类型. 域

注意到，我们所熟知的数环 $\Z, \Q, \R$ 中，具有性质：从 $ab = 0$ 中可以推得 $a=0$ 或者 $b=0$。但是一些其他的环却不具有这个性质

引入 定义，在环 $R$ 中，如果 $a \not= 0, b \not= 0$ 但是 $ab = 0$，则 $a$ 为 左零因子，类似定义 右零因子。如果除平凡零因子外，环 $R$ 没有其它的零因子，则 $R$ 叫做 无零因子环。如果一个无零因子环 $R$ 是交换环，同时 $1 \not= 0$，那么 $R$ 称为 整环

定理一：有单位元的非平凡交换环 $R$ 是整环，当且仅当 $R$ 中消去率成立（由消去律，$ab=0=a \cdot 0$，可得 $a=0 \ \mathrm{or}\ b = 0$，由整环的性质，$ab=ac,a\not=0 \Rightarrow a(b-c)=0 \Rightarrow b-c=0 \Rightarrow b = c$）

考虑有单位元环 $R$ 中的可逆元素，我们有 性质：一个可逆元素 $a$ 不可能是零因子：

$$ab = 0 \Rightarrow a^{-1}(ab) = 0 \Rightarrow (a^{-1}a)b = 0 \Rightarrow 1 \cdot b = 0 \Rightarrow b = 0$$
显然，有 定理二：一个有单位元的环 $R$ 的全体可逆元素构成一个乘法群 $U(R)$

考虑将环定义中的公理 $R2)$ 替换为更强的条件，得到的环称为 除环 或 斜域：

$R2')\quad R^* = R \backslash \{0\}$ 关于乘法运算构成一个群

除环不存在零因子，其中的每一个非零元素都可逆（也就是零元不参与乘法运算）。在交换除环中，加法和乘法几乎完全对称，这种环叫做 域，群 $P^* = U(P)$ 称为 域的乘法群

如果域 $P$ 中的子环 $F$ 自身也是一个域，那么 $F$ 为 $P$ 的 子域。当域

$$F \subset P$$ 时，我们称 $P$ 是 $F$ 的一个 扩域。考虑 $F$ 添加元素 $a$ 后得到的 扩域，是 $P$ 中包含 $F,a$ 所有子域的交集

类似于环，我们可以定义域的 同构，这无关紧要。更重要的是 域的自同构，即 $P$ 到自身的同构映射

域的特征

考虑一个有限剩余类环 $\Z_m$。可以断言，定理三：$m=p$ 是一个素数当且仅当，$\Z_p$ 是一个域（只需指出 $s \in \Z_p^*$ 的逆元的存在性）

可以推出 费马小定理：如果 $p$ 是素数，$m$ 是个不能被 $p$ 整除的整数，则有同余式

$$m^{-1} \equiv 1 \pmod p$$
成立。 只需注意到
$$\{m,2m,3m,\cdots,(p-1)m\} = \{1,2,3,\cdots,p-1\}$$
即有
$$\left( \prod _{k=1} ^{p-1} k \right) m^{p-1} = \prod_{k=1}^{p-1}k$$
$\Z_p$ 是无零因子环，即可直接约去

注意到 $P$ 任意子域的交集仍然是 $P$ 的子域。引入 定义，一个域如果不包含任意真子域，则称之为 素域

定理四：任意一个域 $P$ 包含且仅包含一个素域 $P_0$，并且 $P_0$ 同构于 $\Q$ 或者 $\Z_p$，其中 $p$ 是一个素数

proof

假设存在两个不同的素域 $P',P'' \subset P$，则它们的交仍然是一个子域，这是不可能的。所以素域 $P_0 \subset P$ 如果存在，必然唯一。我们有性质（其中 $n \cdot 1 = 1 + 1 + 1 + \cdots + 1$）

$$s\cdot 1 + t \cdot 1 = (s+t)\cdot1,\quad (s\cdot1)(t\cdot1) = (st) \cdot1 \quad \forall s,t \in \Z$$
考虑一个映射 $f : \Z \rightarrow P$，且 $f(n) = n \cdot 1$。显然有 $\ker f = m\Z$，接下来分为两种情况

• $m=0$ 时，由于除法在 $P$ 中有意义，即有 $P_0$ 同构于 $\Q$
• 当 $m >0$ 时，考虑映射 $f^*:k = \{k\}_m \mapsto f(k)$，是一个嵌入 $\Z_m \rightarrow P$，当且仅当 $m=p$ 是个素数，此时 $f^*(\Z_p)$ 是 $P$ 的素子域

定义 称域 $P$ 有特征零，若 $P$ 的素子域 $P_0$ 同构于 $\Q$；称域 $P$ 有特征 $p$，若 $P_0 \simeq \Z_p$；特征记作 $\mathrm{char}$。通常用 $\mathbb{F}$ 或者 $GF(p)$ 作为 $p$ 元“抽象”域的符号代替 $\Z_p$

特征零表面在域 $P$ 的加法群众元素 $1$ 的阶是 无限的，类似地，特征 $p$ 表明域 $P$ 的加法群中，任意非零元素的阶是 $p$

关于线性方程组的注记

我们可以将矩阵中的数域 $\R, \Q$ 替换为一般的域，得到许多重要的群。显然有，方程组解的个数依赖于域 $P$

Extra

证明：如果环 $R$ 中的任意元素 $x$ 满足方程 $x^2=x$，则该环是交换环

proof

证明的核心需要利用环中加法群的性质，以及分配律

考虑选取任意的元素 $x,y \in R$，我们有

$$x + y = (x+y)(x+y) = x + y + xy + yx \Longrightarrow xy + yx =0 \\ x - y = (x-y)(x-y) = x + y - xy - yx = x + y \Longrightarrow y = -y \\ xy - yx = x y + yx = 0 \Longrightarrow xy = yx$$

证明：任意有限整环 $R$ 都是一个域（类似于上一节，有限子集对乘法封闭是子群的证明，证明一定存在单位元，逆元即可）

环 $R$ 的非零元素 $x$ 称为 幂零的，若存在 $n \in \N$，使得 $x^n = 0$

证明：若 $R$ 是任意有单位元的环，$x$ 是幂零元，则 $1-x$ 是可逆元

proof

取最小的 $k \in \N,\quad x^k = 0$，考虑 $1-x^k$

$$1 = 1 - x ^ k = (1-x) ( 1 + x + x^2 + \cdots + x^{k-1})$$
证明：环 $\Z_m = Z /m\Z$ 包含有幂零元，当且仅当 $m$ 可以被一个大于 $1$ 的整数的平方整除

proof

证明充分性，不妨设 $m = a^2b$ 其中 $b$ 不是完全平方数，若 $a \ge 2$，取 $x = ab$ 即为幂零元

证明必要性，设 $m = p_1p_2\cdots p_k$，若不存在平方因子，则 $p_1|x,p_2|x,\cdots,p_k|x \Rightarrow m | x$，仅有零元 $x =0$ 满足，矛盾

证明：设 $R$ 是任意有单位元 $1$ 的结合环，$a,b$ 是 $R$ 的元素，证明

$$(1-ab)c = 1 = c(1-ab) \Longrightarrow (1-ba)d = 1= d(1-ba)$$
proof

仅考虑证明左边的柿子，取 $d = 1+bca$

$$(1-ba)(1+bca) = 1 - ba + bca - babca = 1-ba + b(1-ab)ca = 1 - ba + ba = 1$$
得到 $1-ba$ 可逆，且逆元为 $1+bca$

Chapter 5 复数和多项式

Section 1 复数域

这里，我们考虑方程

$$x^2+1 = 0 \tag 1$$
的解

辅助结构

引入形如

$$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a\end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$$
的全体二阶方阵集合 $P$，可以证明 $P$ 是一个域（逐一验证每一条性质），不过需要注意的是

$$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix}$$

我们可以将域 $P$ 的任意元素写成如下形式：

$$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = aE + bJ, \quad a,b \in \R, \quad J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
域 $P$ 包含子域 $\{aE | a \in \R\} \cong \R$，而关系式
$$J^2 + E = 0$$
元素 $J \in P$ （在同构意义下）是方程 $(1)$ 的解。所以 $J$ 并不是个虚构的量

称为复数域的并不是域 $P$，而是一个同构于 $P$，其元素等同于平面上的点的域

复平面

考虑构造一个域 $\C$，其元素是实平面 $\R^2$ 上的点，定义它的和与积

$$(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) \\ (a,b) (c,d) = (ac-bd, ad+bc)$$
注意到可以建立一个同构
$$(a,b) \mapsto \begin{pmatrix}a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$$
从而 $\C$ 是一个域，称为 复数域，也称为 复平面。称 $i = (0,1)$ 为 虚数单位，满足 $i^2=(1,0)=1$，一般地，任意一个复数 $z$ 可以写出 $x + iy, \quad x, y \in \R$ 的形式

复数运算的几何解释

复平面的横轴常叫作 实轴，纵轴常叫作 虚轴（上面的数称为 纯虚数）。$x$ 叫作复数 $z$ 的 实部，记为 $\mathrm{Re}z$；$y$ 叫作 $z$ 的 虚部，记为 $\mathrm{Im}z$。将任意复数 $z = x + iy$ 映射到共轭复数 $z = x - iy$ 的映射叫作 复共轭映射

有 定理一：映射 $z \mapsto \bar z$ 是域 $\C$ 的 $2$ 阶自同构，使得所有的实数保持不变，任意复数与它的共轭复数的和与积是实数

定义复数的 模 是非负实数 $|z| = \sqrt {z \bar z} = \sqrt {x^2 + y^2}$，定义横轴正方向与坐标原点到 $z$ 的正方向之间的夹角 $\varphi$ 为 辐角，记为 $\mathrm{arg}\, z$

可以证明，在 $\C$ 中不存在满足下列性质的 $>$ 关系

• 如果 $z \in \C$，则有 $z > 0, z = 0$ 或者 $-z > 0$
• 从 $u >0, v >0$ 可得 $u +v >0$ 和 $u \cdot v >0$

由 $z \not= 0$，可得 $z^2 > 0$，则有 $1^2 > 0, i^2 > 0$，所以有 $0 = i^2 + 1 > 0$，矛盾

考虑复数在复平面上的极坐标表示，得到 复数 $z$ 的三角形式

$$x = r \cos \varphi,\quad y = r \sin \varphi, \quad z = r( \cos \varphi + i \sin \varphi)$$

负数的加法可以在笛卡尔坐标系中利用平行四边形法则简单地得到。显然有不等式

$$|z| - |z'| \le |z \pm z'| \le |z| + |z'|$$
根据复数的极坐标表示，得到 定理二（直接利用三角函数公式即可）
$$|zz'| = |z| \cdot |z'|,\quad \arg zz' = \arg z + \arg z' \\ \left| \frac z {z'} \right| = \frac {|z|} {|z'|}, \quad \arg \frac z {z'} = \arg z - \arg z'$$

乘方和开方

根据复数乘法的三角形式，我们有 棣莫弗公式

$$[r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$$
再根据二项式定理展开，可以得到 倍角的正弦和余弦
$$\cos n \varphi = \sum _{k \ge 0} (-1)^k \binom n {2k} \cos^{n-2k}\varphi \cdot \sin^{2k}\varphi \\ \sin n \varphi = \sum _{k \ge 0} (-1)^k \binom n {2k+1} \cos^{n-1-2k} \varphi \cdot \sin^{2k+1} \varphi$$
由于 $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$，并且满足复数乘法的性质。所以，复数的三角形式可以写作
$$z = |z| e^{i \varphi}$$

考虑一个复数的任意次方根，逆向使用棣莫弗公式，得到 定理三：任意复数 $z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ 都能开 $n$ 次方根，且全部 $n$ 个根均匀地分布在以原点为圆心，以 $\sqrt[n] {|z|}$ 为半径的圆上

$$\sqrt[n]z = \sqrt[n]{|z|} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k} n + i \sin \frac {\varphi + 2\pi k} n \right)$$
特别的，$1$ 的 $n$ 次单位根在单位圆上。一个 $1$ 的 $n$ 次方根是 本原的，当且仅当其他的根是这个根的方幂（显然编号要与 $n$ 互质）。$1$ 的 $n$ 次方根构成一个循环群

唯一性定理

$\C$ 是 $\R$ 上的二维向量空间，一个自然的问题：具有类似性质的域还有多少？

定理四（唯一性定理）：$\R$ 上的任意一个 $2$ 维向量空间 $K$ 如果是一个结合，交换，具有单位元 $1$ 且无零因子的环，必定同构于 $\C$

证明暂未完全理解，挖坑待填！

除了 $\Q, \R$ 域 $\C$ 还存在一些别的子域。引入 二次域，是域 $\Q$ 的扩张

设 $d$ 是一个非零整数，满足 $\sqrt d \not \in \Q$，域 $\Q(\sqrt d) \subset \C$。当 $d > 0$ 时叫作 实二次域，当 $d < 0$ 时叫作 虚二次域，将定理四中的 $j$ 换成 $\sqrt d$，关系式 $j^2=-1$ 换成 $(\sqrt d)^2 = d$，重复证明过程得到

$$> \Q(\sqrt d) = \left\{ a + b \sqrt d | a, b \in \Q \right\} >$$
可以验证这是个域

复数的初等几何

定义两个复数的 数量积

$$(z_1 |z_2) = x_1x_2 + y_1y_2$$
容易得到两个复数（向量）是 正交的（垂直的），若 $(z_1|z_2)=0$

定义四个点 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 的交比 $[z_1,z_2,z_3,z_4]$

$$[z_1,z_2,z_3,z_4] = \frac {z_1-z_2} {z_1-z_2} : \frac {z_3-z_2} {z_3-z_4} \\ = \frac {(z_1-z_2)(z_3-z_4)} {(z_1-z_4)(z_3-z_2)}$$

注：交比相关内容暂未理解，挖坑待填！

考察一个有趣的数域 可构作的数域，源于尺规作图。笛卡尔平面上给定两点 $(0,0),(1,0$；如果构作了点 $P,Q$，于是线段 $P,Q$ 也可构作；如果构作了点 $P$ 和线段 $r$，那么可构作以 $P$ 为圆心，以 $r$ 为半径的圆；已构作的直线或圆的交点也可构作

考虑到构作复数 $a+bi$ （点 $P(a,b)$）等价于 $|a|,|b|$ 的可构作性。记可构作的复数集合为 $CS$

有 定理六：集合 $CS$ 是域 $\C$ 的子域

proof

由于 $CS$ 是 $\C$ 的子集，我们只需证明加法和乘法的封闭性即可

$CS$ 关于加法是封闭的（平行四边形法则）；利用相似可得 $\gamma = \alpha \beta,\; \delta = \alpha / \beta, \quad \alpha,\beta,\gamma,\delta \in \R$，关于乘法也是封闭的。两者都涉及到作平行

注记 如果实数 $\alpha$ 可构作，截取 $A(1 + \alpha,0)$，以 $OA$ 为直径作半圆，作 $1$ 上的垂线，可以得到长度 $\alpha$。即 $\alpha$ 可构作

$CS$ 的任意子域 $F \subset CS$ 通常称为 可构作数域。$\Q$ 和任意的二次域都是可构作的

Section 2 多项式环

考虑 $R$ 是有单位元 $1$ 的交换环，$A \subset R$ 且包含 $1$，如果 $t \in R$，则 $R$ 中包含 $A$ 和 $t$ 的最小子环的元素形如

$$a(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + \cdots + a_nt^n, \quad a_s \in A, n \in \Z, n \ge 0$$
记为 $A[t]$，称为从 $A$ 中添加元素 $t$ 得到的环

单变元多项式

考虑 $A$ 是一个带单位元的交换环，构造新的环 $B$，元素为无穷序列

$$f = (f_0, f_1, f_2, \cdot), \quad f_i \in A$$
定义 $B$ 上的加法和乘法，令
$$f + g = (f_0 + g_0, f_1 + g_1, f_2 + g_2, \cdot) \\ f \cdot g = (\sum _ {i+j=0} f_ig_j, \sum _ {i+j=1} f_ig_j, \sum _ {i+j=2} f_ig_j, \cdots)$$
显然 $(B,+)$ 是交换群，验证性质得 $B$ 是一个带有单位元 $(1,0,\cdot)$ 的交换结合环，定义 $a = (a,0,0,\cdots)$

记 $X = (0,1,0,\cdots)$，称之为 $A$ 上的 变元，容易归纳得到 $aX^n,\quad a \in A,\ n \in \N$。展开 $f = (f_0,f_1,\cdots,f_n)$，可以得到一个“多项式”表达式

于是引入 定义 环 $B$ 记作 $A[X]$，叫作 $A$ 上 单变元 $X$ 的多项式环，它的元素叫作 多项式。类似的，有 系数，零多项式，常数项，次数（$\mathrm{deg}\ f$），线性多项式，二次多项式，三次多项式 的概念

直接展开多项式的积，直接得到 定理一：如果 $A$ 是整环，那么 $A[X]$ 也是整环

多项式环的重要性可以通过下述定理说明

定理二：设交换环 $R$ 包含有 $A$ 作为子环，对于任意的 $t \in R$，存在唯一的同态 $\Pi_t:A[X] \rightarrow R$，使得

$$\forall \ a \in A, \quad \Pi_t(a) = a, \quad \Pi_t(X) = t$$
proof

假设同态 $\Pi_t$ 存在，利用同态的性质（$f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b)$）可得

$$\Pi_t(f) = f_0 + f_1t + \cdots + f_nt^n$$
直接可以证明 $\Pi_t(f+g) = \Pi_t(f) + \Pi_t(g),\quad Pi_t(fg) = Pi_t(f) Pi_t(g)$，

映射 $Pi_t$ 作用在多项式 $f = f(X)$ 上，其结果被称为在 $f$ 中用 $t$替换$X$，可以记作 $\Pi_t(f) = f(t)$。同态 $\Pi_t$ 是联系多项式研究中函数观点与代数观点的纽带

元素 $t \in R$ 被称为 $A$ 上的 代数元，如果存在 $f \in A[X]$，使得 $\Pi_t(f)=0$；$\Pi_t:A[X] \rightarrow R$ 是一个同构嵌入（单同态），则 $t$ 叫作 $A$ 上的 超越元（条件等价于不存在“根”，如果两个不同多项式的结果相同，它们的差一定是“根”）

而 $A = \Q, R = \C$ 中的情形，则简单地称为 代数数，超越数。例如 $\sqrt 2 + \sqrt b$ 是代数的，而 $e,\pi$ 则是超越的

多变元多项式

类似的，我们将多个元素 $t_i \in R$ 加入环 $A$，考虑包含 $t_i,A$ 的所有子环的交，我们得到 多变元多项式，可以写作形式（其中 $X$ 是一个 $n$ 元向量）

$$f = \sum _{(i)} a_{(i)}X^{(i)}$$
可以定义 $f$ 关于 $X_k$ 的次数，单项式的（全）次数（各项次数之和）。多项式的次数 定义为单项式的次数最大值，如果一个多项式的所有单项式的次数都相同，那么称为 $m$ 次其次多项式

带余除法

初等代数中的带余除法同样可以扩展到多项式环，我们有

定理五：设 $A$ 是整环，$g$ 是 $A[X]$ 的多项式，且其首项系数在 $A$ 中可逆，那么对于每一个多项式 $f \in A[X]$，存在唯一的一对多项式 $q,r \in A[X]$ 使得

$$f = qg + r, \quad \deg r < \deg g$$

使用归纳法（考虑 $n > 0$ 的情形）证明即可

注记 首项系数为 $1$ 的多项式称为 首一多项式。若 $r$ 是零多项式，则称 $f$ 被 $g$ 整除

Extra

考察集合 $A[[X]]$，它由变元 $X$ 的 形式幂级数 $f(X) = \sum _ {i \ge 0} a_iX^i$ 组成，或由序列 $(a_0,a_1,\cdots)$ 组成，其中系数是交换环 $A$ 中的任意元素，可能有无限多个 $a_i \not=0$，形式幂级数的运算与多项式相同

• 显然，集合 $A[[X]]$ 连同这些运算构成一个交换结合环，带有单位元 $1 = (1,0,0,\cdots)$
• 显然最高次数对于形式幂级数并没有意义，定义 $\omega(f)$ 是形式幂级数的 级，系数不为零的最低次项
• 可以证明 $\omega(f+g) \ge \min\{\omega(f),\omega(g)\},\quad \omega(fg) \ge \omega(f) + \omega(g)$
• 如果 $A$ 是一个整环，可以证明 $\omega(fg) = \omega(f) + \omega(g)$，且 $A[[X]]$ 也是整环
• 显然 $A[X]$ 是 $A[[X]]$ 的子环

Section 3 多项式环中的因式分解

注意到，关于整环 $\Z$ 经常涉及到它的整除性，我们需要将它推广到更广泛的环类上。尤其重要的是多项式环 $P[X]$

整除的初等性质

考虑一个整环 $R$（回忆它的性质：是交换环，无非平凡零因子），注意到 $R$ 中的可逆元是 $1$ 的因子，也可以记作 正则元。对与一个多项式 $f \in A[X]$ 是可逆的，当且仅当 $\deg f = 0$

定义 $b \in R$ 被 $a \in R$ 整除（或 $b$ 是 $a$ 的倍数），当且仅当存在 $c \in R$，使得 $b = ac$（记作 $a | b$）。如果 $a | b, b | a$ 同时满足，则 $a,b$ 互为 相伴元，此时一定有 $b = ua,\quad u | 1$。对与一对相伴的多项式 $f,g \in A[X]$，它们相差 $A$ 中的一个可逆因子

定义 $p \in R$ 叫做 素元（既约元），如果 $p$ 不可逆，且不能表示为 $p = ab$ 的形式（要求 $a,b$ 不是正则元）。由于域 $P$ 中每一个非零元素都可逆，所以 $P$ 中没有素元。对于环 $A[X]$ 中的素元，叫做 既约多项式

关于整除性，有基本性质（证明都比较简单，运用定义即可）

• $a | b, b | c \Longrightarrow a | c$
• $c | a, c | b \Longrightarrow c | (a \pm b)$
• $a | b \Longrightarrow a | bc$
• $a | b_1, a | b_2, \cdots, a | b_n \Longrightarrow a | (b_1c_1 + b_2c_2 + \cdots + b_nc_n), \quad c_1,c_2,\cdots,c_n \in R$

定义 整环 $R$ 叫做 唯一因子分解环，若 $R$ 中的任意元素 $a \not= 0$ 可表示为下述形式

$$a = u p_1 p_2 p_3 \cdots p_r$$
其中 $u$ 是可逆元，$p_1,p_2, \cdots, p_r$ 是素元（不一定两两不等）

注意到允许 $r = 0$，可逆元素也有素因子分解。如果 $p$ 是素元，那么它的相伴元 $up$ 也是素元

有 **定理一：设 $R$ 是一个整环，每个元素都有素因子分解。则 $R$ 是唯一因子分解环，当且仅当每一个整除 $ab(a,b\in R)$ 的素元 $p \in R$ 一定整除 $a$ 或 $b$

proof

必要性显然。考虑充分性，利用数学归纳法，假设素因子个数 $\le n$ 时，结论成立，设

$$a = \prod _ {i=1} ^{n+1} p_i = \prod _{i=1} ^{m+1} r_i,\quad m \ge n$$
考虑 $p_{n+1}$，它必然是 $r_1,r_2,\cdots,r_{m+1}$ 之一的因子。不妨设 $p_{n+1} | r_{m+1}$，注意到 $p_{n+1},r_{m+1}$ 都是素元，所以 $r_{m+1} = u p_{n+1},\quad u | 1$

利用整环的消去律，得到 $\prod_{i=1}^{n}p_i = u \prod_{i=1}^{m}r_i$，根据归纳假设 $m=n$

环的最大公因和最小公倍

定义 整环 $R$ 中两个元素 $a,b \in R$ 的 最大公因，记作 $d = \gcd(a,b)$，满足性质

$$d | a, d | b \\ c | a, c | b \Longrightarrow c | d$$
注意到 $d$ 的任意相伴元也是 $a,b$ 的最大公因，所以这里对相伴元不加以区分。根据定义，可以得到性质如下

• $\gcd(a,b) = a \Leftrightarrow a | b$
• $\gcd(a,0) = a$
• $\gcd(ta,tb) = t \gcd(a,b)$
• $\gcd(\gcd(a,b),c) = \gcd(a,\gcd(b,c))$

特别的，若 $\gcd(a,b) = 1$，则称它们 互素

同样的，我们定义 最小公倍，$m = \mathrm{lcm}(a,b)$，满足

$$a | m, b | m \\ a | c, b | c \Longrightarrow m | c$$

为了表明 $\gcd$ 与 $\mathrm{lcm}$ 之间的关系，我们有 定理二：设 $a,b \in R$ 有最大公因，最小公倍

$$\mathrm{lcm}(a,b) = 0 \Leftrightarrow a = 0 \; \mathrm{or} \; b = 0 \\ a,b \not = 0, m = \mathrm{lcm}(a,b), ab = dm \Rightarrow d = \gcd(a,b)$$

我们定义 $R$ 中元素分解的标准形式，设 $\mathcal P$ 是 $R$ 中素元的集合

$$a = u p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r},\quad b = v p_1^{l_1} \cdots p_r^{l_r} \\ u | 1, \quad v | 1, \quad k_i \ge 0, \quad l_i \ge 0,\quad p_i \in \mathcal P, \quad 1 \le i \le r$$
于是我们可以得到下述三个论断

• $a | b$ 等价于 $\forall \ i = 1,2,\cdots,n, \quad k_i \le l_i$
• $\gcd(a,b) = p_1^{s_1} \cdots p_r^{s_r}, \quad s_i = \min(k_i, l_i), \quad i = 1, 2, \cdots, r$
• $\mathrm{lcm}(a,b) = p_1^{t_1} \cdots p_r^{t_r}, \quad t_i = \max(k_i, l_i), \quad i = 1, 2, \cdots, r$