函数与极限

@BIGBALLON 2015-08-18T11:46:59.000000Z 字数 1232 阅读 1635

数列的极限
$lim n \to \infty x n = A \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists 正整数 N, 使得当 n > N 时, 有 | x n - A | < ε$ $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists 正整数 N , 使得当 n > N 时, 有\left | x_{n} - A\right | < \varepsilon$
函数的极限
$lim x \to \infty f (x) = A \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists 正数 X, 使得当 | x | > X 时, 有 | f (x) - A | < ε$ $\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists 正数 X , 使得当 \left | x \right | > X 时, 有\left | f(x) - A\right | < \varepsilon$
$lim x \to x 0 f (x) = A \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists 正数 δ, 使得当 0 < | x - x 0 | < δ 时, 有 | f (x) - A | < ε$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists 正数 \delta , 使得当 0<\left | x - x_{0}\right | < \delta 时, 有\left | f(x) - A\right | < \varepsilon$

lim x \to 0 sin x x = 1

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x }{ x } = 1$

lim x \to + \infty (1 + 1 x) x = e, lim x \to 0 (1 + x) 1 x = e

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( 1+ \frac{1}{x}\right)^{x} = e, \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1+ x\right)^{\frac{1}{x}} = e$

lim x \to 0 ln ( 1 + x ) x = 1

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left( 1 + x\right)}{x} = 1$