title: "elementary function"
date: 2015-08-17 20:09:18

- 复习笔记

categories: 复习笔记

基本初等函数

幂函数

$y =x^{a}$ （$a$为常数）

指数函数

$y=a^{x}$ （$a$为常数,且$a>0,a\neq 1,x\in \left (-\infty ,+\infty \right )$ ）

对数函数

$y =\log_{a}x$ （$a$为常数,且$a>0,a\neq 1,x\in \left (0 ,+\infty \right )$）

三角函数

以下图的三角形为例：

诱导公式

奇变偶不变，符号看象限

$\sin \left ( -x\right ) = -\sin x$
$\cos \left ( -x\right ) = \cos x$
$\tan \left ( -x\right ) = -\tan x$
$\cot \left ( -x\right ) = -\cot x$

两角和差公式

$\sin \left ( x + y \right ) = \sin x \sin y + \cos x \cos y$
$\sin \left ( x - y \right ) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$
$\cos \left ( x + y \right ) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
$\cos \left ( x - y \right ) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
$\tan \left ( x + y \right ) = \frac{\tan x + \tan y}{ 1- tanx tany}$
$\tan \left ( x - y \right ) = \frac{\tan x - \tan y}{ 1+ tanx tany}$

二倍角、半角、降维公式

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
$\sin ^{2}x + \cos ^{2}x = 1$
$\cos 2x = \cos ^{2}x - \sin ^{2}x = 2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x$
$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}$

$\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$
$\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$
$\tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = \frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$

$\sin ^{2}x = \frac{1-\cos 2x}{2}$
$\cos ^{2}x = \frac{1+\cos 2x}{2}$

和差化积公式

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．

$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{ x + y}{2} \cos \frac{ x - y}{2}$
$\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{ x + y}{2} \sin \frac{ x - y}{2}$
$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{ x + y}{2} \cos \frac{ x - y}{2}$
$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{ x + y}{2} \sin \frac{ x - y}{2}$
$\tan x + \tan y = \frac{ \sin \left ( x + y\right )}{\cos x \cos y}$

积化和差公式

$\sin x \cos y = \frac{1}{2} \left [ \sin \left ( x + y\right ) + \sin \left ( x - y\right ) \right ]$
$\cos x \sin y = \frac{1}{2} \left [ \sin \left ( x + y\right ) - \sin \left ( x - y\right ) \right ]$
$\cos x \cos y = \frac{1}{2} \left [ \cos \left ( x + y\right ) \cdot \cos \left ( x - y\right ) \right ]$
$\sin x \sin y = -\frac{1}{2} \left [ \cos \left ( x + y\right ) - \cos \left ( x - y\right ) \right ]$

万能公式

$\sin x = \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}$
$\cos x = \frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}$
$\tan x = \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}$

辅助角公式

$a\sin x + b \cos x = \sqrt{ a^2 + b^2}\sin \left ( x + \varphi \right ), \tan \varphi = \frac{b}{a}$

证明：
$\because \tan \varphi = \frac{b}{a},a \ne 0$
$\therefore \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}},\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}}$
有 $a\sin x + b \cos x$
$= \sqrt{ a^2 + b^2}\left (\frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \cdot \sin x + \frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \cdot \cos x\right )$
$= \sqrt{ a^2 + b^2}\left (\cos \varphi \cdot \sin x + \sin \varphi \cdot \cos x\right )$
$= \sqrt{ a^2 + b^2}\left (\cos \varphi \cdot \sin x + \sin \varphi \cdot \cos x\right )$
$= \sqrt{ a^2 + b^2} \sin \left ( x + \varphi \right )$

反三角函数

初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

双曲函数和反双曲函数

hyperbolic function
Inverse hyperbolic function

写在后面

发现一个支持在线画函数图像的网站，超级给力 graph.tk，除了支持画图，还支持html的js代码，
可以完美嵌套在markdown中，不过这里没有必要，就不使用了，测试我还是测过的。