在无题

未分类

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$$\sum_i^n C_{n}^i = 2^n$$
$$\sum_i^n iC_{n}^i = n*2^{n - 1}$$
$$\sum_i^nC_{n}^i*C_n^i = C_{2n}^n$$

$$(1+x)^{2n} = [C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n]*[[C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n]]$$
$$=...+[C(0,n)*C(n,n)+C(n-1,n)+...+C(n,n)*C(0,n)]x^n+...$$
也就是说，在$(1+x)^{2n}$的展开式中，$x^n$的系数是
$$\sum_k^nC(k,n)*C(n-k) = \sum_k^nC(k,n)^2$$
根据二项式定理
$$(1+x)^{2n}=\sum_k^{2n}[C(k,2n)]*x^k$$ 即$x^k$的系数为C(n,2n),由此可得$\sum_k^nC(k,n)^2 = C(n,2n)$