四边形不等式优化的整理

四边形不等式

---

填坑

简介

在dp问题中
我们常遇到这样一类问题，它的dp方程张这样

$$f[i][j] = min \{ f[i][k] + f[k + 1][j]+cost[i][j] \}$$
这样我们的复杂度一般是$O(n^3)$的
设$a < b <= c < d$
若有$f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]$
则称这个东西满足四边形不等式
定理
设w函数为价值函数,对于上题来说$w(i,j) = cost[i][j]$
若$w(i,j)$满足$w(a,d)>=w(b,c)$则称w关于区间包含关系单调
定义s(i,j)表示dp(i,j)的最优决策点
有如下定理

1.若w同时满足区间包含单调性与四边形不等式则f也四边形不等式
2.若f满足四边形不等式则s单调即$s(i,j)\leq s(i,j+1)\leq s(i+1,j+1)$
3.w满足四边形不等式当且仅当$w(i,j)+w(i+1,j+1)<=w(i,j+1) + w(i+1,j)$

怎么用呢？
原先在dp的时候，枚举k的范围是$(i,j)$,转移复杂度是$O(n)$
若f满足四边形不等式的话那么$s[i][j-1] \leq s[i][j] \leq s[i+1][j]$
那么我们倒退i正推j，脑补一下，那么转移复杂度均摊是$O(1)$的了
所以你只需要证明w为凸的且单调，dp时记录一下s，就可以降一维复杂度惹

证明w满足四边形不等式

不会(逃

注意，可以用四边形不等式优化的dp转移方程并不是只有上述一种
如:对于

$$f[i][j] = min \{ f[i-1][k] + w(k+1,j) \}$$
这个方程来说
若证明w为凸的，那么f也为凸的，我们也可以用四边形不等式优化
关键是怎么证明呀
同mlystcall
我们可以知道如何绕过证明

如果我们觉得一个方程能用四边形不等式优化，就把他的所有决策点，也就是s矩阵打印出来，观察一下在每行每列上是否单调，如果单调，就说明这个方程可以用四边形不等式优化

其次要注意几点

1.应注意决策点在那些范围内单调，这点在实际问题中应该很容易体现出来，比如在区间dp中的决策点$s[i][j] | j>i$的情况是不存在的
2.注意枚举顺序

那么剩下的就是
打表检验单调性了
据说与四边形不等式相关的优化，还有一个叫凸完全单调性，也是证明之后利用决策单调性优化。不会不会...

附上石子合并的的代码
w满足四边形不等式，因为此时相交区间和等与包含区间和
其中求最大w的不能满足单调性？然后决策只在区间两断处取到？

#include<cstdio> 
#include<algorithm> 
inline int read() {
    int x = 0,f = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1;c = getchar();}
    while(c <= '9' && c >= '0') x = x * 10 + c - '0',c = getchar();
    return x * f;
} 
const int maxn = 2007; 
int dp[maxn][maxn],s[maxn][maxn],cnt[maxn]; 
int sum[maxn]; 
int dpm[maxn][maxn];
int main () { 
    int n = read();
    for(int i = 1;i <= n;++ i) cnt[n + i] = cnt[i] = read(),sum[i] = sum[i - 1] + cnt[i]; 
    for(int i = n + 1;i <= n * 2;++ i) sum[i] = sum[i - 1] + cnt[i]; 
    for(int i = 1;i <= 2 * n;++ i) s[i][i] = i; 
    for(int i = n * 2 - 1;i >= 1;-- i) { 
        for(int j = i + 1;j <= n * 2;++ j) { 
            int tmp = 0x7fffffff,loc = 0; 
            dpm[i][j] = std::max(dpm[i][j - 1],dpm[i + 1][j]) + sum[j] - sum[i - 1]; 
            for(int k = s[i][j - 1];k <= s[i + 1][j];++ k) { 
                if(tmp >dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]) { 
                    tmp = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]; 
                    loc = k; 
                } 
            } 
            dp[i][j] = tmp; 
            s[i][j] = loc; 
        } 
    } 
    int ansm = 0x7fffffff,ansx = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++ i) {
        ansm = std::min(dp[i][i + n - 1],ansm) ; 
        ansx = std::max(dpm[i][i + n - 1],ansx) ; 
    }
    printf("%d\n%d",ansm,ansx);
    return 0;
}