第四章 光的衍射

物理光学

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夫琅禾费衍射

$$\tilde E (x,y) = {\exp( i k z_1)\over i \lambda z_1}\exp [{i k \over 2 z_1}(x^2+y^2)]\iint_{-\infty}^{+\infty} \tilde E(x_1,y_1)\exp [-2i\pi ({x \over \lambda z_1}x_1+{y \over \lambda z_1}y_1)]\, dx\, dy$$
其中：
$x,y$为像面；$x_1,y_1$为物面；$z_1$为两个面的相距位置；$k$为光的波数（相位随距离的变化率（$rad/m$））；$\lambda$为光的波长；

适用条件：

$$k{{(x_1^2+y_1^2)_{\max}} \over {2 z_1 }}= \pi$$
或者
$$r\approx z_1+{{x^2+y^2}\over {2 z_1}}-{{xx_1+yy_1}\over {z_1}}\,(夫琅禾费近似)$$

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巴俾涅原理

$$\tilde E (P) = \tilde E_1(P) + \tilde E_2 (P)$$

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矩孔夫琅禾费衍射

$$I = I_0 \left({{\sin \alpha}\over \alpha} \right)^2 \left({{\sin \beta}\over \beta} \right)^2$$
其中:
$$\alpha = {{\pi a}\over \lambda}\sin \theta_x \\ \beta = {{\pi b}\over \lambda}\sin \theta_y$$
或者说：
$$\alpha = k a\sin \theta_x \\ \beta = k b\sin \theta_y$$

我私下把$\alpha,\beta$定义为 x方向衍射因子，y方向衍射因子

记忆方法：

$\alpha$和$\beta$都只和 光的波数（各个波长的衍射间距不同，$k={\pi\over \lambda}$），对应方向的孔径（孔径太大就收缩了），以及出射角度（联想等倾干涉）三个因素有关

而且衍射的振幅是以一个sinc函数（$\sin x \over x$）的方式减弱的，亮度为振幅的平方，所以会出现二维的sinc函数的平方项

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单缝夫琅禾费衍射

在矩孔夫琅禾费衍射里，若$b\rightarrow \infty$,则$\beta\rightarrow \infty$,所以y方向衍射因子为趋向于0，所以光收缩在一条线上，在这条线上光的亮度

$$I = I_0 \left({{\sin \alpha}\over \alpha} \right)^2$$
衍射因子为0，即当
$$\alpha =n\pi（n=\pm 1,\pm 2 \cdots）$$
时候是暗点，（特别的，当n=0时候，分子分母都是0，结果是1，为亮点。）这时候，相邻暗点距离可以算得为
$$e = {\lambda \over a}f$$
上式可由$sin \theta_x \approx \tan \theta_x$来算得。

对$\sin \alpha \over \alpha$求导得到导数零点为在$\tan \alpha = \alpha$处，所以当

$$\sin \theta = \pm 1.43 {\lambda \over a},\pm 2.46 {\lambda \over a},\pm 3.47 {\lambda \over a},\cdots$$
时候获得光强极大位置
半角宽度和半线宽度
$$\begin{cases} \Delta \theta = {\lambda \over a} \\ \Delta x =\Delta \theta f= {\lambda \over a} f \end{cases}$$

特点：

• 狭缝宽度a越小，半角半线宽度越大，衍射越明显
• 波长$\lambda$越大，衍射越明显
• 当波长远远小于孔径，${\lambda \over a}\rightarrow0$，衍射现象不明显，从波动光学过渡到了几何光学

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圆孔夫琅禾费衍射

半径为a，中心位于轴上的圆孔夫琅禾费衍射强度分布为

$$I = I_0 [{2J_1(Z)\over Z}]^2\\ 其中,Z=ka\sin \theta$$
Airy斑：
$$\theta_0 = 1.22 {\lambda \over 2a} \\ r_0 = 1.22f\frac{\lambda}{2a}$$

附：

$$\begin{array}{ll} J_1(Z)&= \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{1}{m!(m+1)!}\left(\frac{Z}{2}\right)^{2m+1} \\ &=\frac{Z}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{Z}{2}\right)^3+\frac{1}{2!3!}\left(\frac{Z}{2}\right)^5-\cdots \end{array}$$

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双缝夫琅禾费衍射

$$I = 4I_0(\frac{\sin \alpha}{\alpha})^2\cos^2 \frac{\delta}{2}\\ I_0=(ab)^2 | C' |^2$$

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多缝夫琅禾费衍射

强度公式：

$$I = I_0 \left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2 \left( \frac { \sin\frac {N\delta} {2} } { \sin\frac {\delta} {2} } \right)^2$$
其中：
$$\alpha = \frac{\pi a}{\lambda}\sin \theta , \delta =\frac{\pi d }{\lambda}\sin \theta$$
包含两个因子：

• 单缝衍射因子$\left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2$
• 多光束干涉因子$\left( \frac { \sin\frac {N\delta} {2} } { \sin\frac {\delta} {2} } \right)^2$

特别的，当N=2时候:

$$\frac { \sin\frac{2\delta}{2} } { \sin\frac{\delta}{2} } =2\cos\frac{\delta}{2}$$
多光束干涉因子退化成双光束干涉因子，于是得到双缝夫琅禾费衍射的强度公式；

N=1时候，多光束干涉因子就成了1，干涉因子不起作用了，得到单缝夫琅禾费衍射公式

N=0的时候，什么都没了，羞答答地遮住了一切。

各级主极大值为：

$$I = N^2I_0 \left(\frac {\sin \alpha} {\alpha} \right)^2$$

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衍射光栅

多光束干涉因子分子分母都为0取得极大值，考虑到$\delta =\frac{\pi d }{\lambda}\sin \theta$，所以$\delta =\frac{\pi d }{\lambda}\sin \theta=2\pi m , m = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$时候，即

$$d \sin \theta = m \lambda ,m = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$$

上式叫做平面波正入射时的光栅方程，$m$是光谱级次，$d$是狭缝间距，$\theta$是正入射的某一光线的偏转角度

光栅的色散本领

• 角色散——波长相差0.1nm的两条谱线分开的角距离
  $$\frac{d\theta}{d \lambda} = \frac{m}{d\cos\theta}$$
• 线色散——聚焦物镜焦面上波长差0.1nm的两条谱线分开的距离
  $$\frac{dl}{d \lambda} = f\frac{m}{d\cos\theta}$$
  式中$f$是物镜焦距

光栅的色分辨本领

$$A=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN$$
式中，$\Delta\lambda$为光栅能分辨的最小波长差；$m$为光谱级次；$N$为光栅总线数。

闪耀光栅

透射光栅有很大的缺点，主要是衍射图样中没有色散的零级主最大总是占总光能的很大一部分，其余光能分散在各级光谱中，而实际使用光栅时往往只利用它的某一级。这对光栅的应用是很不利的。
闪耀光栅则实现了单缝衍射中央最大值的位置从没有色散的零级光谱转移到其他有色散的光谱级上。