[关闭]
@w568w 2023-02-13T05:46:06.000000Z 字数 13526 阅读 91763

零基础微积分入门基本教程

微积分


前言

非常高兴你能浏览到这篇文章。
我也不太清楚我写作的动机,可能纯属兴趣使然吧。

参考书籍

  1. 《高等数学(第六版)》上册
    同济大学数学系 编
    高等教育出版社 出版
  2. 《7 天搞定微积分》
    石山平 大上丈彦 著 李巧丽 译
    南海出版公司 出版
  3. 《Principles of Mathematical Analysis》
    Walter Rudin 著
    McGraw-Hill Education 出版

我是否适合看下去?

在看这篇文章前,你至少需要掌握以下知识:
1. 至少初中水平的数学应用能力
2. 至少小学水平的阅读能力
3. 耐心和对数学的热情
4. 以上三条是扯淡
5. 这条也是

What’s calculus?

在正式开始学习微积分前,首先我们得明白微积分是啥。
百度一下,我们很容易找到这样的描述:

微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限微分学积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

诶诶诶,别跑啊,我知道这种专家写出来的东西不是一般人能领会得了的。。

简单的说,微积分学是高等数学(并不是高中数学)的重要组成部分,它的地位,相当于小学的四则运算或是初中的方程运算。它非常奇怪、麻烦,可是在高等数学中,你时时刻刻都要用到它。

当然,人们不会故意发明奇怪、麻烦的东西来为难自己,它的应用十分广泛,我们在后面会慢慢提到。

它主要分成两个部分:微分积分,它们相辅相成,虽各有变化却互为表里,是一对基佬兄弟。我们会在接下来的文章中分别讨论这两个东西。

废话不多说,马上上干货~~

一。导数

导数是微分学的主要内容。翻回去看看百度百科对导数的解释:

导数描述一个函数的变化率。

这是啥么意思呢?变化率是个什么东西?

1.1 First Blood —— 斜率

先来看个函数图像:
y=x
相信你一口就能报出这个函数的解析式:


然后,我们再看个稍微复杂点的图像:
此处输入图片的描述
额,这哪里复杂了嘛!明明还是个一次函数啊。。。

不不不,差别大了去了,试试找出这两个函数图像的不同之处?

上下滚动页面,你应当能够看出图像倾斜程度存在着区别,有的数学老师也叫它 $k$决定函数陡平啥啥的。

回忆一次函数的表达式:


哈,所以上面这个式子里, 值的大小就代表着图像倾斜程度的大小,不是吗?

好了,你的头脑中已经有了基本的微分概念了,同学们,下课!

你的表情?
哈哈,开个玩笑,还是先别急着关掉页面(从哪里能找到这么没节操的文章 真是)。
不过这句话并没有问题,应当说,从初中学习函数开始,我们就有了对于这些知识的模糊概念,只是它们尚未发掘出来。所以这篇所谓的教程,其实就是帮助万恶的数学老师解决这些概念问题...

还是回到上面这个简单的例子。我们说这两个函数的倾斜程度不同,因为显得更"陡"一些。

虽然小明同学觉得这样描述很好,但是呢,数学家们就是不满足于"a比b陡"这样听起来不是很清楚(也可能是因为他们语文阅读能力不行)的描述方式,(这样听起来不够炫酷狂霸拽)于是发明了一个很好(奇)听(怪)的名字用来描述一条线的陡峭程度,这就是———— 斜率

当当!我们终于接触到了第一个数学定义。

呃... 虽说这个定义还不完整,甚至你还没弄清啥意思,不过万事总有个开头的,是吧?

接下来我们将慢慢解释斜率这个听起来很高大上的名词。

既然说斜率是个数值,是数值就应该能被写出来。那么我们怎么表示它呢?

再再一次回到上面的例子。容易发现,当时,图像明显比时的要陡峭不少。继续画下去:
图像会越来越陡。
此处输入图片的描述
我们发现,值增大使得函数更陡峭。
因此,对于一次函数,我们可以用 k 值大小来表示它的斜率

这个定义听起来很唐突、很随意啊... 高大上的感觉顿时都没有了...

更一般地说,斜率也可以这么得出:
此处输入图片的描述

这样,我们对于斜率就有精确的定义了,它不再是一个模糊的概念,而是一个可以拿来比较大小的数值了。比方说, 的斜率就是

你可能被这些概念搞得有点懵。重新强调一遍,斜率描述一条线的陡峭程度。而一次函数的 值越大,图像越陡,所以对于一次函数,我们可以用 值大小来描述它的斜率

如果你就是没办法把 和斜率联系起来,稍微喘口气,再往下看吧。

1.1.1 [选读] 斜率的严格定义

(对于初三及以上水平的读者,可以有选择性地阅读这些标有"[选读]"文字的部分,因为这些部分可以加深对一些知识的理解。如果你不想看,跳过也没关系

警告:数学重灾区,请在监护人的陪同下观看。


先看看百度百科上的斜率词条:

slope,又称 “角系数”,是一条直线对于横坐标轴正向夹角的正切,反映直线对水平面的倾斜度。

此处输入图片的描述
如图,线的斜率即为
其中又被称为倾斜角,取值范围为

故:当直线的斜率存在时,斜截式 ,其斜率即为


1.2 点的斜率?

到现在为止,我们所讨论的函数都仅限于一次函数。你可能觉得数学家们真是一群闲得蛋疼的人,一个简单的 值都要起个难听的名字。况且,这和微积分有个卵关系?

别猴急,我们先来进一步讨论斜率的含义。在我们搞清楚这些基本概念前,空谈微积分是没啥意义的。


言归正传。
对于二次函数或者反比例函数,又该如何表示它的斜率呢?

先来看看这个熟悉的二次函数吧。
此处输入图片的描述
相信这样简单的U型的函数,你已经非常熟悉了。
但是,在表示它的斜率时,你会发现有点小麻烦,不,是大麻烦。

对于这个函数,我们还能用 值来表示它的倾斜程度吗?

稍做思考,你会发现行不通。这个函数的陡峭程度不是用一个 "陡" 或者 "平" 能描述得了的。它的图像自左向右,先是快速下降,再逐渐减缓,在原点处猛地拐了一个 180 度的大弯,又开始逐渐变快、飞速上升。

那么,显然它的整个图像的斜率已经无法直接表示了。我们是不是能求出其中一段的斜率呢?

比方说,在y轴右边的这半个曲线,如果只看从0到2这一小段,你会觉得它很像的一小段。
此处输入图片的描述

嘿,这一段的斜率是不是差不多是 呢?

不对。

唔,也不能说是全错,毕竟只是弯了点啊。。

所以让我们继续放大图像,取更小的区间试试?
于是我们放大大大大大大大大大大大大大(此处省略N个大)
此处输入图片的描述

诶,这两个图像看起来有一部分重合了呢?!
也不全然,毕竟前者是曲线,后者是直线呐。。
显然,即使我们放大下去,两个图像也很难有相同的部分,或者说不可能有。
看来硬凑直线的方法行不通,得换个思路。


咳,如果你看得一头雾水,稍微提示一下:

我们是否能对图像上的一个点求斜率呢?

例如对于 这个点,我们在它的左右各取一个点 B、C,并逐渐靠近它:

PS: 从这里我开始尝试使用 GeoGebra 来作图,网页版的画图实在是太!蛋!疼!了!。。

此处输入图片的描述

此处输入图片的描述
就这样不断靠近靠近。。
此处输入图片的描述
此处输入图片的描述
终于,在N+N次逼近A点后,三个点几乎实现了重合:
此处输入图片的描述
注意,我这里之所以强调几乎,是因为它们确实没有碰上,只是它们之间的距离已经微小到了无穷的小。

此时,我们仍然能作直线,我们就称这条直线为 在函数 上的切线

好了,讲了这么多,我们可以回到原来的话题了。点 A 的斜率是多少?我相信,你已经心中有数了吧。

点 A 的斜率就是点 A 在函数图像上的切线的斜率。

这句话初看有点儿像句绕口令,多看几次才能搞明白。

(假设你已经看明白了,如果没有,你就假装看懂了 :) )

OK,那么接下来,让我们正式开始导数的学... 哦不!可能还要加点料才行....

1.3 极限?

在介绍导数之前,我们还得弄懂另外一个概念:极限。
极限,顾名思义,就是到达了极点的状态。比如说,考试还有1分钟就要结束时题目还没有答完时的感觉,或者暑假开学前的晚上猛补作业时的感受。人们在遇到极限时通常都会想:"不行了!不行了!"

但是,数学中的极限也是这个意思吗?如果指"不行了""到头了",又怎么能解决数学问题呢?
事实上,数学中的极限的含义更加积极,它有"尽可能靠近"的意思,也就是无限地靠近。
由于是学,自然离不开数值了...所以,极限就是指一个数值尽可能地向另一个数靠近。

啥叫"尽可能地靠近"?举个例子,小明的家距离学校1000m,某天小明去上学,于是他与学校的距离变化如下:
1000m

500m

200m

100m

1m

0.1m

0.01m

0.0000000000001m
...

0.0000000000000000000000000001m
可以看到,小明与学校之间的距离越来越小,越来越靠近于0m,但是就是到达不了0m(因为他不想上学),于是我们就可以说


突然给出这么一个数学式子,你可能会一脸蒙蔽:这是个啥?
查查英汉词典可得知: Lim 原来是 Limit 的缩写,而 Limit 就是"极限"的意思。下面的小字里的""表示“向xxx靠近”,所以这里的意思是"让 距离 这个值给我向0m尽可能地靠近!"

上面这个式子就表示距离 无限地向 靠近 (但是就是到达不了!)

OKOK,理解了,那么让我们在式子上再加点花样吧!


诶。。更晕了。。你可能会想:"这东西...现在我连符号都看不懂了!"别急,让我再给你挨个儿解释解释!


首先看这个,这里的是啥意思呢?其实很简单,f是单词“function”开头第一个字母,“function”就是函数的意思,所以就是指某个函数。比如说一次函数,在初中学习中我们表示成

想表示时的值,我们得说
但是到了高中数学以及高等数学中,因为这样写起来太麻烦了,所以同一个函数,我们表示成
想表示时的值,就可以简练地写成
是不是很方便?
(顺便说一句,这里不一定必须用作为函数的标识,如果你喜欢,也可以写


回到上面的式子。 就是以 x 为自变量的某个函数,在这里它到底是什么,我们不管它。
继续往下,下面的""意思应该是"自变量x向a无限地靠近"。
这样,这个式子我们至少弄懂一半了,就是表示"对于这个函数,让无限地逼近"。
奇怪的是,式子的后面居然出现了等于号...小明上学时,与学校的距离也是一直在不停地变小啊...如果说是无限靠近,又哪来的等于不等于呢?难道这么神奇,可以一边靠近,一边等于某个值吗?

这里就要提醒一下了:含有 的式子里,所有 "" 的意思都有一点小小的变动,不再表示 "等于什么",而是 “靠近什么”。

所以啊,上面这个式子表示 "当 无限地靠近 的时候, 无限地靠近 "
啪啪啪!第一个奇怪的数学符号,终于是被我们弄明白了!

1.3.1 小练习

稍微弄几道关于极限的题来做做吧... 我们来找找感觉。

第一题


唉...没什么难度嘛,直接把1代入进算一下,结果就是


第二题


稍微需要一点计算了,,所以答案是


第三题


似乎和第二题差不多么,只是计算有点麻烦了,列个式子算一下,,结果是


第四题

你可能纳闷:这和一般的函数计算有什么区别?从哪里能体现出这个的特殊性?
来看这题:


妈呀,这题好像不能代入计算了?难道答案是吗?
不可能,分数的分母不能为0的...
那要怎么算呢?没有结果吗?
实际上,我们发现这个式子可以因式分解:
所以上面的题目就相当于
答案就是

这里你可能会说:既然为0了,又怎么能约分上面的分数呢?
我们需要再看一遍极限的概念:一个数值尽可能地向另一个数靠近。这里的准确地说,应该是一个非常非常接近于0,但不是0的值,所以是可以约分的。
这里用到了因式分解的技巧,算是比较麻烦的一题,我们暂时搁下,不深入讨论了。


1.3.2 额外的问答时间

你可能还有一些问题.. 让我尝试解答一下。

问:为什么代入数值,求得的就是它的极限呢?有什么理论依据吗?
答:这个问题比较难以解释,需要牵扯到函数的连续性之类的。我们还是按下不表,以免影响了本文的易懂性。

问:上面说极限的格式是,怎么后面又写成了呢?
答:格式里给出的写法是大概的、通用的写法,实际使用中我们不会写成


这么麻烦,直接用代替极限格式中的,其潜台词也就是默认了。

1.4 斜率的计算

嗯,讲完了斜率的画法和极限的概念,我们可以综合一下这两个知识,开始真正的导数之旅了。

我们来看看斜率到底是怎么算出来的。
此处输入图片的描述
我们仍然以这个函数图像为例。
如果我们设A点的坐标为,那么C点坐标可以表示成 (h是某个值),这没问题吧?
那么

如果你看到这个式子感到一脸懵,那么你得重新看看这张图了:
此处输入图片的描述
一次函数的斜率是某两点的竖直高度差除以水平高度差。类似地,AC的斜率我们也可以这么写。
继续我们的计算:
这样,我们就得到了两点之间的斜率公式。

再进一步想想,我们要求出的是点 A 的斜率,光有两点的斜率公式要怎么办呢?

不管三七二十一,咱们先把数值代进式子里面再说。A 点的坐标是(1,1),所以有

这个式子看起来还是没法算啊... 让我们稍微再化简一下,可以发现

所以这个式子还可以进一步化简:

根据刚学到的完全平方公式,还可以再展开:

这里的 是多少呢?

刚才讲到, 表示的是 A 点与 C 点横坐标的距离。而这两点,在前面就说到是非常非常接近的,所以 应该是一个很小很小的值。

很小很小...很接近很接近...有没有觉得这两句话有点熟悉?













没错!就是在 极限? 这一节里,我们简要地讲了如何正确处理数学里很接近的值。

关键的地方来了! 既然很小,我们就可以把上式加上 写成


然后,后面这个式子的计算方式已经略熟悉啦,直接算出

这样,我们就终于得出了点 A (1,1) 在 上的切线 AC 的斜率,也就是点 A (1,1) 在 上的斜率
看起来,计算一个点的斜率也没那么困难嘛!

1.4.1 小结

上面求斜率的过程可以概括成这几步:
1. 在要求斜率的点附近找出一个与它很靠近的点
2. 把斜率用表示出来!
3. 在式子前面加上,代入进去计算斜率!

1.4.2 通式

从上面的过程中我们可以看出,求某个点的斜率有固定的步骤和方法。依照这个方法,理论上来说我们可以求出任何函数上点的斜率。
接下来让我们试着找出这样一个公式,来表示任何函数上任意的点的斜率,这样,以后进行计算时就很方便了。
这个过程并不困难。让我们用来代替上面的就可以了。

这就是任意函数在某一点的一般斜率公式
呼,讲了这么多废话,我们总算开始步入正轨,而不是在各种概念上原地打转了。(哈哈)

记不住完整的公式也不要紧,需要用到的时候现场推导就可以了,理解这个有点复杂的式子才是关键。

1.4.3 求斜率有什么用?

我们已经基本掌握了求某一个点的斜率的方法。那么,这个东西有什么用处呢?
毕竟,如果没有实际用途的话,这样的数学工具看起来也没有什么意义啊...
在求导的用途中,最重要的也就是求某一点的切线的函数式
因为用导数可以得出某一点的斜率,把斜率作为代入,很方便地能求出该点的切线方程。
实际上,在本文中我们就是用"某一点切线的斜率"来定义"某一点的斜率"的,是不?

依然以上面一节中的 和点 为例,我们来求一下 A 点的切线方程。

已经知道 A 点的斜率为 2 了,所以立即有

是 A 点的切线方程。

又知道这个方程经过A点,故使用待定系数法:

解得
所以A点的切线方程就是
这个结果对不对?画出来看看就知道有没有问题了。
图中红色的线就是我们刚刚求出的直线。看起来它的确是A点的切线。

另一个用途是求函数的最大 / 最小值。容易看出,上面这个函数的顶点的斜率为0。
因为顶点有"这一点的前后既不在上升,也不在下降"的性质,所以顶点的斜率都应该是 0
也就是说,只要找到一个函数中有一个斜率为0的点,就可以确定这一点是函数的一个顶点。

在接下来的 导函数 一节里,我们会讲得更多。

1.5 导函数

了解了导数和函数,这个 "导函数" 是个什么东西啊?别急,听我慢慢道来。

再看一眼这个式子:

其实,这个式子就是 的导函数

函数是什么?我们复习一下函数的定义:

设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 和它对应,那么就称映射 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作

不好意思拿错了,是这个:

在一个变化过程中,假设有两个变量 x、y,如果对于任意一个 x 都有唯一确定的一个 y 和它对应,那么就称 x 是自变量,y 是因变量,y 是 x 的函数。

也就是说,只要有一个对应关系f,就可以说f是个函数。
函是"匣子"的意思。把一个数装进一个匣子,按照某个算式计算出另一个数字,就是函数。

因此,对 f (x) 求导的式子也是函数
这个函数,对于每一个x,计算出的结果都是上的斜率。需要求导的时候,我们就不用对每个数字都重新列式求一遍了,直接代入导函数就行,很方便。

导函数一般记作


继续以为例,我们看看它的导函数长什么样子。
这次我们不代入任何值,直接运用上面的公式:

然后是:
最后

又因为h靠近0,所以直接舍去,得到:

所以

仔细观察这个式子,我们发现它很有特点。
比如说想求斜率,我们也不用重新计算了,直接用导函数就行了。

同理,想求斜率的话:
是不是很方便?


导函数本身也是函数。所以对导函数求导还可以得到另一个函数,称为二阶导数,一般记作
同理,还会有三阶导数、四阶导数....
当撇号过多时,比如说有个99999阶导数,直接记作即可,不用打撇号了。


导函数有什么意义?只是为了装逼吗?
在了解这个问题之前,先想想导函数和函数之间的区别和联系。

项目
对应的函数值 是函数的值 是函数 的图像上,横坐标为 的这一点的求导结果
是否是函数
求导结果
函数零点的意义 无特殊意义 的顶点的横坐标

(注:零点:函数的零点就是这个方程的解。
比如的零点就是的解,也就是 。)

所以,导函数有一个重要的作用,就是计算函数的顶点坐标
由于顶点的特殊性,该点的斜率是0,所以只要找出导函数的零点,相当于找到了顶点。

为例。它求导的结果是

的解就是 。这是不是与你在课堂上学到的二次函数的最值完全一致?


导函数的另一个作用是画函数草图。

前面已经说过,如果导函数,说明函数在这一点上的斜率是正的,也就是说,在这一点的前后,函数应该呈上升的趋势。
相反,如果,说明函数在这一点上的斜率是负的。在这一点的前后,函数应该呈下降的趋势。
于是乎,只要搞明白的图像,就可以把的图像画出来了。

举个例子,如果我们要画 的草图,我们可以结合导函数这么画:

  1. 求导,得到 .
  2. 画出 的图像。
    此处输入图片的描述
  3. 准备开始画图!先找出一个起点,这里我们取 这一点,也就是
    此处输入图片的描述
  4. 按照 的图像所示,y 轴的右边应该都是上升的,而且斜率越来越大,也就是:
    此处输入图片的描述
  5. 同理,画出左半边:
    此处输入图片的描述

这样就把的图像大概描出来了。
这题中导函数的优势还不能充分体现出来。遇到一些比较复杂的函数,一般结合导函数这样画图比较方便。

1.5.1 导数的表示方法

前面说到,导函数一般记作
但是,实际上导函数还有一些常见的表示方法,这里介绍两种,以备后面的装逼使用。

第一种也就是刚刚讲的加撇号表示法。这种方法是在 19 世纪,一个叫 约瑟夫・路易斯・拉格朗日 的法国大叔发明的。

在他的表示法里, 的导函数记作 或者

这种表示方法非常常见,因为它写起来很容易,加个撇号只要花上你半秒钟的时间。

但是,它的弊端在于,如果有这么一个函数:


那么表示什么?

,到底谁才是自变量?谁是常量?

到底 表示是对 求导,还是对 求导?

不得而知。

要是有一种表示方法可以体现出对谁求导就好了。

这时,我们就需要第二种表示方法,也就是 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 ,另一个德国大叔的写法。他也是微积分的主要创始人,他生活在17世纪,比上面那位要早几百年。
关于求导可以表示成:


这些式子看起来很让人头晕...
(正因如此,他的符号至今仍在大学数学中频频现身。)
这里的Derivative(导数) 的首字母。
式子的含义是对分母上的自变量,求分子上的函数的导数。

其中, 可以看成是一个整体,它乘以谁,就是对谁求导。
例如:

所以,如果我们想要表示导数的导数,也就是 ,要怎么写呢?

就是:

分子上加平方的位置看起来怪怪的。而且d似乎也不遵循乘法定律。
你可能觉得莱布尼兹的方法很麻烦,但是在后面的章节里,你会逐渐明白这样表示的优点。

1.5.2 小结 & 补充

到现在为止,我们已经学会了:

  1. 斜率是什么 & 怎么算
  2. 导数是什么 & 怎么求
  3. 导函数是什么 & 怎么求

你可能还没有完全掌握以上内容,那也没关系!~
接下来我们会给出一些简单实用的公式,在你的学习过程中会频繁地使用它们来避免复杂的运算过程。一定要记牢!~







以上就是最基础的一组导数公式,其中的含义是任意常数。

记住了它们,即使不会推算导数也可以轻松求出初高中大部分函数的导函数!

尤其是最后一个,堪称初等函数大杀器...

举个例子,要求出 的导函数,直接用上面的公式:

是不是贼方便?

[选读] 这里还有一些为学过三角函数的同学补充的:

1.5.3 五年高考,三年模拟 (雾)

总觉得应该来几道题目练练手...
虽然这样有点像老师上课的模式,有悖本文的初衷,但是练习一下真的能掌握不少...
废话少说,放题过来!
此处输入图片的描述








1. 求出的导函数。
2. 求出的导函数。
3. 求出的导函数。
4. 求出的导函数。
5. 求出的导函数。
6. 求出的导函数。
7. 对于以上题目,你有什么感想?


作者的话:最近学业方面实在比较忙,先是期中考,又是统考月考周考什么的,今天刚参加全省联考.....(高二狗,体谅一下) 说好的两个月完工也没下落了:(

2021 年 9 月 24 日更新:作者回来啦!现在已经是一条大二狗了,国庆期间会重启更新~


1.5.4 导函数的四则运算

上面那几题已经让你晕头转向了?没关系!看完本节和下一节之后,你将可以很快地计算出它们从而去装 B

迄今为止,我们提到的例子都是一些比较简单的函数(额,当然上面的几题除外)。
基本上函数里都只有一个。形式也就是这样的,大家都学过了。

但是,平时遇到的函数可没这么简单,数学考试里当然不会直接出这样的玩意儿来考你。即便刚刚学过二次函数,你也应该已经遇到或者这样的函数了。这种东西要怎么求导数呢?

其实很简单!不妨回忆一下下我们上面提到过的例子:

为例。它求导的结果是

(限时挑战任务!看看你能不能在 10 秒内找到这句话的出处:) )

我们先不管结果是啥,只看每个部分。这个式子的每一部分我们都会求。的导数就是的导数就是的导数……呃呃,一个常数的导数,永远是

所以…… 它的导数就是 ?看起来确实是这样。

我们不妨大胆猜测一下:求一个里面有加号的函数的导数,只要求出各个部分的导数,然后加起来就好啦!

然而事实是怎样呢?事实是…… 我们的猜测是对的。导数的加法就是可以这么拆开计算的。

写成公式的方式就是:


(别忘了一撇「」的含义哦,它是指对这个式子求导。)

那么,这是为啥呢?这个问题我们稍微往后放放。

我们先看看利用这个,能不能做出上面的题了。

第一题是
它的第一部分求导是(别忘了这个公式哟:),第二部分的导数是。所以结果就是

第二题是 …… 额,这个怎么办呢?

其实只要一点一点乘开就好了!打开我们的 Maple,输入函数,点击展开:

然后按上面的方法,对每个部分求导就好了!

你可能会说:,这么长的式子,考试的时候要展开不得累死我?

当然,这种暴力算法虽然不能实用,但是至少是可以算出来的。如果遇到这样的函数,展开是最差劲的选择,但起码是一种选择……起码是可以算出来的,是吧?

这种方法显然太蠢了。有没有更妙的方法来计算第二题呢?这就进入到咱们今天的重头戏:复合运算



诶还没进呢(顶级拉扯)

因为标题是「四则运算」,加法已经说完了,我们来看看乘法吧。

(大家读到这里可能比较突兀,因为上面的练习里面忘了出相关的题了。偏偏这个乘法运算又很重要,还是希望大家快速过一遍!不要跳过哈,不然你待会儿会后悔的,哼哼)

什么叫乘法运算呢?举个例子:


这个函数怎么求导呢?有同学可能会说:加法是分开加,那我乘法也分开乘嘛!先对 求导,再对 求导,然后乘起来就好了吧?

但是,But,这样是完全错误的哦!不如再想想?先乘开自己求导一下,再找找规律?

算啦算啦,我知道你很想知道,先把正解放在这里:

这就是说,乘法的规则和加法完全不同,它的导数是对第一个式子求导,乘第二个;再对第二个式子求导,乘第一个。然后加起来。
写成公式的方式就是:


或者写得再「专业」一点:

先尝试理解一下这个式子哈。
我知道你的心里肯定装满了大大的问号:凭啥这么算?你这是个啥计算方法?你这样算出来,真的是对的嘛?

很不幸的是,它确实是对的。凭什么呢?
这就有点超过知识范围了。
我一起放在下面的选读部分吧,如果你自认为可以,不妨挑战一下阅读!应该……不会需要太高的数学水平?(这个挑战就没有上面的「习题」那么坑了,哈哈!)

[选读] 加法求导公式的证明
要证明对两个函数 ,可以推出
先回顾公式:


所以写出 的求导式子,然后摆弄一下式子的加法顺序:

这就证完了!


[选读] 乘法求导公式的证明
要证明对两个函数 ,可以推出
还是写出 的求导式子:


呃,这里不太好办了…… 只有两项,怎么玩它呢?
其实可以试试「凑项」!具体来说,就是加一个什么东西,再减去它,这样式子依然不会变,就像 还是 一样!

我们这里要凑进去的是 ,详细地说就是凑成下面这样:


注意,h 是无限趋近于 0 的,所以上式也就是 了。

PS:这两个证明乍一看很麻烦,但是自己动手写一遍,你会发现还挺简洁的……

2021 年 11 月 21 日更新:有人问我联系方式,其实我博客里写得挺全的了:https://w568w.eu.org/about.w568w.html

2023 年 1 月 27 日更新:有关本教程的后续更新,见:https://w568w.eu.org/2023-sweep.html

2023 年 2 月 13 日更新:后续内容已更新!见:https://w568w.eu.org/calculus-1st.html

添加新批注
在作者公开此批注前,只有你和作者可见。
回复批注