@w568w
2023-02-13T13:46:06.000000Z
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微积分
非常高兴你能浏览到这篇文章。
我也不太清楚我写作的动机,可能纯属兴趣使然吧。
在看这篇文章前,你至少需要掌握以下知识:
1. 至少初中水平的数学应用能力
2. 至少小学水平的阅读能力
3. 耐心和对数学的热情
4. 以上三条是扯淡
5. 这条也是
在正式开始学习微积分前,首先我们得明白微积分是啥。
百度一下,我们很容易找到这样的描述:
微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
诶诶诶,别跑啊,我知道这种专家写出来的东西不是一般人能领会得了的。。
简单的说,微积分学
是高等数学(并不是高中数学)的重要组成部分,它的地位,相当于小学的四则运算或是初中的方程运算。它非常奇怪、麻烦,可是在高等数学中,你时时刻刻都要用到它。
当然,人们不会故意发明奇怪、麻烦的东西来为难自己,它的应用十分广泛,我们在后面会慢慢提到。
它主要分成两个部分:微分
和积分
,它们相辅相成,虽各有变化却互为表里,是一对基佬兄弟。我们会在接下来的文章中分别讨论这两个东西。
废话不多说,马上上干货~~
导数
是微分学的主要内容。翻回去看看百度百科对导数的解释:
导数描述一个函数的变化率。
这是啥么意思呢?变化率是个什么东西?
先来看个函数图像:
相信你一口就能报出这个函数的解析式:
不不不,差别大了去了,试试找出这两个函数图像的不同之处?
上下滚动页面,你应当能够看出图像倾斜程度
存在着区别,有的数学老师也叫它 $k$决定函数陡平
啥啥的。
回忆一次函数的表达式:
好了,你的头脑中已经有了基本的微分概念了,同学们,下课!
哈哈,开个玩笑,还是先别急着关掉页面(从哪里能找到这么没节操的文章 真是)。
不过这句话并没有问题,应当说,从初中学习函数开始,我们就有了对于这些知识的模糊概念,只是它们尚未发掘出来。所以这篇所谓的教程,其实就是帮助万恶的数学老师解决这些概念问题...
还是回到上面这个简单的例子。我们说与这两个函数的倾斜程度不同,因为显得更"陡"一些。
虽然小明同学觉得这样描述很好,但是呢,数学家们就是不满足于"a比b陡"这样听起来不是很清楚(也可能是因为他们语文阅读能力不行)的描述方式,(这样听起来不够炫酷狂霸拽)于是发明了一个很好(奇)听(怪)的名字用来描述一条线的陡峭程度,这就是———— 斜率。
当当!我们终于接触到了第一个数学定义。
呃... 虽说这个定义还不完整,甚至你还没弄清啥意思,不过万事总有个开头的,是吧?
接下来我们将慢慢解释斜率这个听起来很高大上的名词。
既然说斜率是个数值,是数值就应该能被写出来。那么我们怎么表示它呢?
再再一次回到上面的例子。容易发现,当时,图像明显比时的要陡峭不少。继续画下去:
图像会越来越陡。
我们发现,值增大使得函数更陡峭。
因此,对于一次函数,我们可以用 k 值大小来表示它的斜率。
这个定义听起来很唐突、很随意啊... 高大上的感觉顿时都没有了...
更一般地说,斜率也可以这么得出:
这样,我们对于斜率就有精确的定义了,它不再是一个模糊的概念,而是一个可以拿来比较大小的数值了。比方说, 的斜率就是 。
你可能被这些概念搞得有点懵。重新强调一遍,斜率描述一条线的陡峭程度。而一次函数的 值越大,图像越陡,所以对于一次函数,我们可以用 值大小来描述它的斜率。
如果你就是没办法把 和斜率联系起来,稍微喘口气,再往下看吧。
(对于初三及以上水平的读者,可以有选择性地阅读这些标有"[选读]
"文字的部分,因为这些部分可以加深对一些知识的理解。如果你不想看,跳过也没关系。
警告:数学重灾区,请在监护人的陪同下观看。)
先看看百度百科上的斜率
词条:
slope,又称 “角系数”,是一条直线对于横坐标轴正向夹角的正切,反映直线对水平面的倾斜度。
如图,的斜率即为。
其中又被称为倾斜角
,取值范围为。
故:当直线的斜率存在时,斜截式 ,其斜率即为 。
到现在为止,我们所讨论的函数都仅限于一次函数。你可能觉得数学家们真是一群闲得蛋疼的人,一个简单的 值都要起个难听的名字。况且,这和微积分有个卵关系?
别猴急,我们先来进一步讨论斜率的含义。在我们搞清楚这些基本概念前,空谈微积分是没啥意义的。
言归正传。
对于二次函数或者反比例函数,又该如何表示它的斜率呢?
先来看看这个熟悉的二次函数吧。
相信这样简单的U型的函数,你已经非常熟悉了。
但是,在表示它的斜率时,你会发现有点小麻烦,不,是大麻烦。
对于这个函数,我们还能用 值来表示它的倾斜程度吗?
稍做思考,你会发现行不通。这个函数的陡峭程度不是用一个 "陡" 或者 "平" 能描述得了的。它的图像自左向右,先是快速下降,再逐渐减缓,在原点处猛地拐了一个 180 度的大弯,又开始逐渐变快、飞速上升。
那么,显然它的整个图像的斜率已经无法直接表示了。我们是不是能求出其中一段的斜率呢?
比方说,在y轴右边的这半个曲线,如果只看从0到2这一小段,你会觉得它很像的一小段。
嘿,这一段的斜率是不是差不多是 呢?
不对。
唔,也不能说是全错,毕竟只是弯了点啊。。
所以让我们继续放大图像,取更小的区间试试?
于是我们放大大大大大大大大大大大大大(此处省略N个大)
诶,这两个图像看起来有一部分重合了呢?!
也不全然,毕竟前者是曲线,后者是直线呐。。
显然,即使我们放大下去,两个图像也很难有相同的部分,或者说不可能有。
看来硬凑直线的方法行不通,得换个思路。
咳,如果你看得一头雾水,稍微提示一下:
我们是否能对图像上的一个点求斜率呢?
例如对于 这个点,我们在它的左右各取一个点 B、C,并逐渐靠近它:
PS: 从这里我开始尝试使用 GeoGebra 来作图,网页版的画图实在是太!蛋!疼!了!。。
就这样不断靠近靠近。。
终于,在N+N次逼近A点后,三个点几乎实现了重合:
注意,我这里之所以强调几乎,是因为它们确实没有碰上,只是它们之间的距离已经微小到了无穷的小。
此时,我们仍然能作直线,我们就称这条直线为点 在函数 上的切线。
好了,讲了这么多,我们可以回到原来的话题了。点 A 的斜率是多少?我相信,你已经心中有数了吧。
点 A 的斜率就是点 A 在函数图像上的切线的斜率。
这句话初看有点儿像句绕口令,多看几次才能搞明白。
(假设你已经看明白了,如果没有,你就假装看懂了 :) )
OK,那么接下来,让我们正式开始导数的学... 哦不!可能还要加点料才行....
在介绍导数之前,我们还得弄懂另外一个概念:极限。
极限,顾名思义,就是到达了极点的状态。比如说,考试还有1分钟就要结束时题目还没有答完时的感觉,或者暑假开学前的晚上猛补作业时的感受。人们在遇到极限时通常都会想:"不行了!不行了!"
但是,数学中的极限也是这个意思吗?如果指"不行了""到头了",又怎么能解决数学问题呢?
事实上,数学中的极限的含义更加积极,它有"尽可能靠近"的意思,也就是无限地靠近。
由于是数学,自然离不开数值了...所以,极限就是指一个数值尽可能地向另一个数靠近。
啥叫"尽可能地靠近"?举个例子,小明的家距离学校1000m,某天小明去上学,于是他与学校的距离变化如下:
1000m
∨
500m
∨
200m
∨
100m
∨
1m
∨
0.1m
∨
0.01m
∨
0.0000000000001m
...
∨
0.0000000000000000000000000001m
可以看到,小明与学校之间的距离越来越小,越来越靠近于0m,但是就是到达不了0m(因为他不想上学),于是我们就可以说
上面这个式子就表示距离 无限地向 靠近 (但是就是到达不了!)
OKOK,理解了,那么让我们在式子上再加点花样吧!
首先看这个,这里的是啥意思呢?其实很简单,f是单词“function”开头第一个字母,“function”就是函数的意思,所以就是指某个函数。比如说一次函数,在初中学习中我们表示成
回到上面的式子。 就是以 x 为自变量的某个函数,在这里它到底是什么,我们不管它。
继续往下,下面的""意思应该是"自变量x向a无限地靠近"。
这样,这个式子我们至少弄懂一半了,就是表示"对于这个函数,让无限地逼近"。
奇怪的是,式子的后面居然出现了等于号...小明上学时,与学校的距离也是一直在不停地变小啊...如果说是无限靠近,又哪来的等于不等于呢?难道这么神奇,可以一边靠近,一边等于某个值吗?
这里就要提醒一下了:含有 的式子里,所有 "" 的意思都有一点小小的变动,不再表示 "等于什么",而是 “靠近什么”。
所以啊,上面这个式子表示 "当 无限地靠近 的时候, 无限地靠近 "。
啪啪啪!第一个奇怪的数学符号,终于是被我们弄明白了!
稍微弄几道关于极限的题来做做吧... 我们来找找感觉。
你可能纳闷:这和一般的函数计算有什么区别?从哪里能体现出这个的特殊性?
来看这题:
这里你可能会说:既然为0了,又怎么能约分上面的分数呢?
我们需要再看一遍极限的概念:一个数值尽可能地向另一个数靠近。这里的准确地说,应该是一个非常非常接近于0,但不是0的值,所以是可以约分的。
这里用到了因式分解的技巧,算是比较麻烦的一题,我们暂时搁下,不深入讨论了。
你可能还有一些问题.. 让我尝试解答一下。
问:为什么代入数值,求得的就是它的极限呢?有什么理论依据吗?
答:这个问题比较难以解释,需要牵扯到函数的连续性之类的。我们还是按下不表,以免影响了本文的易懂性。
问:上面说极限的格式是,怎么后面又写成了呢?
答:格式里给出的写法是大概的、通用的写法,实际使用中我们不会写成
嗯,讲完了斜率的画法和极限的概念,我们可以综合一下这两个知识,开始真正的导数之旅了。
我们来看看斜率到底是怎么算出来的。
我们仍然以这个函数图像为例。
如果我们设A点的坐标为,那么C点坐标可以表示成 (h是某个值),这没问题吧?
那么
再进一步想想,我们要求出的是点 A 的斜率,光有两点的斜率公式要怎么办呢?
不管三七二十一,咱们先把数值代进式子里面再说。A 点的坐标是(1,1),所以有
这个式子看起来还是没法算啊... 让我们稍微再化简一下,可以发现 。
所以这个式子还可以进一步化简:
根据刚学到的完全平方公式,还可以再展开:
这里的 是多少呢?
刚才讲到, 表示的是 A 点与 C 点横坐标的距离。而这两点,在前面就说到是非常非常接近的,所以 应该是一个很小很小的值。
很小很小...很接近很接近...有没有觉得这两句话有点熟悉?
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没错!就是在 极限? 这一节里,我们简要地讲了如何正确处理数学里很接近的值。
关键的地方来了! 既然很小,我们就可以把上式加上 写成:
上面求斜率的过程可以概括成这几步:
1. 在要求斜率的点附近找出一个与它很靠近的点!
2. 把斜率用表示出来!
3. 在式子前面加上,代入进去计算斜率!
从上面的过程中我们可以看出,求某个点的斜率有固定的步骤和方法。依照这个方法,理论上来说我们可以求出任何函数上点的斜率。
接下来让我们试着找出这样一个公式,来表示任何函数上任意的点的斜率,这样,以后进行计算时就很方便了。
这个过程并不困难。让我们用来代替上面的就可以了。
这就是任意函数在某一点的一般斜率公式。
呼,讲了这么多废话,我们总算开始步入正轨,而不是在各种概念上原地打转了。(哈哈)
记不住完整的公式也不要紧,需要用到的时候现场推导就可以了,理解这个有点复杂的式子才是关键。
我们已经基本掌握了求某一个点的斜率的方法。那么,这个东西有什么用处呢?
毕竟,如果没有实际用途的话,这样的数学工具看起来也没有什么意义啊...
在求导的用途中,最重要的也就是求某一点的切线的函数式。
因为用导数可以得出某一点的斜率,把斜率作为代入,很方便地能求出该点的切线方程。
实际上,在本文中我们就是用"某一点切线的斜率"来定义"某一点的斜率"的,是不?
依然以上面一节中的 和点 为例,我们来求一下 A 点的切线方程。
已经知道 A 点的斜率为 2 了,所以立即有
又知道这个方程经过A点,故使用待定系数法:
另一个用途是求函数的最大 / 最小值。容易看出,上面这个函数的顶点的斜率为0。
因为顶点有"这一点的前后既不在上升,也不在下降"的性质,所以顶点的斜率都应该是 0。
也就是说,只要找到一个函数中有一个斜率为0的点,就可以确定这一点是函数的一个顶点。
在接下来的 导函数 一节里,我们会讲得更多。
了解了导数和函数,这个 "导函数" 是个什么东西啊?别急,听我慢慢道来。
再看一眼这个式子:
函数是什么?我们复习一下函数的定义:
设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 和它对应,那么就称映射 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 。
不好意思拿错了,是这个:
在一个变化过程中,假设有两个变量 x、y,如果对于任意一个 x 都有唯一确定的一个 y 和它对应,那么就称 x 是自变量,y 是因变量,y 是 x 的函数。
也就是说,只要有一个对应关系f,就可以说f是个函数。
函是"匣子"的意思。把一个数装进一个匣子,按照某个算式计算出另一个数字,就是函数。
因此,对 f (x) 求导的式子也是函数。
这个函数,对于每一个x,计算出的结果都是在上的斜率。需要求导的时候,我们就不用对每个数字都重新列式求一遍了,直接代入导函数就行,很方便。
导函数一般记作 。
继续以为例,我们看看它的导函数长什么样子。
这次我们不代入任何值,直接运用上面的公式:
仔细观察这个式子,我们发现它很有特点。
比如说想求斜率,我们也不用重新计算了,直接用导函数就行了。
导函数本身也是函数。所以对导函数求导还可以得到另一个函数,称为二阶导数,一般记作。
同理,还会有三阶导数、四阶导数....
当撇号过多时,比如说有个99999阶导数,直接记作即可,不用打撇号了。
导函数有什么意义?只是为了装逼吗?
在了解这个问题之前,先想想导函数和函数之间的区别和联系。
项目 | ||
---|---|---|
对应的函数值 | 是函数的值 | 是函数 的图像上,横坐标为 的这一点的求导结果 |
是否是函数 | 是 | 是 |
求导结果 | ||
函数零点的意义 | 无特殊意义 | 是 的顶点的横坐标 |
(注:零点:函数的零点就是这个方程的解。
比如的零点就是的解,也就是 。)
所以,导函数有一个重要的作用,就是计算函数的顶点坐标。
由于顶点的特殊性,该点的斜率是0,所以只要找出导函数的零点,相当于找到了顶点。
以 为例。它求导的结果是 。
的解就是 。这是不是与你在课堂上学到的二次函数的最值完全一致?
导函数的另一个作用是画函数草图。
前面已经说过,如果导函数,说明函数在这一点上的斜率是正的,也就是说,在这一点的前后,函数应该呈上升的趋势。
相反,如果,说明函数在这一点上的斜率是负的。在这一点的前后,函数应该呈下降的趋势。
于是乎,只要搞明白的图像,就可以把的图像画出来了。
举个例子,如果我们要画 的草图,我们可以结合导函数这么画:
这样就把的图像大概描出来了。
这题中导函数的优势还不能充分体现出来。遇到一些比较复杂的函数,一般结合导函数这样画图比较方便。
前面说到,导函数一般记作。
但是,实际上导函数还有一些常见的表示方法,这里介绍两种,以备后面的装逼使用。
第一种也就是刚刚讲的加撇号表示法。这种方法是在 19 世纪,一个叫 约瑟夫・路易斯・拉格朗日 的法国大叔发明的。
在他的表示法里, 的导函数记作 或者 。
这种表示方法非常常见,因为它写起来很容易,加个撇号只要花上你半秒钟的时间。
但是,它的弊端在于,如果有这么一个函数:
和 ,到底谁才是自变量?谁是常量?
到底 表示是对 求导,还是对 求导?
不得而知。
要是有一种表示方法可以体现出对谁求导就好了。
这时,我们就需要第二种表示方法,也就是 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 ,另一个德国大叔的写法。他也是微积分的主要创始人,他生活在17世纪,比上面那位要早几百年。
对关于求导可以表示成:
Derivative(导数)
的首字母。 其中, 可以看成是一个整体,它乘以谁,就是对谁求导。
例如:
所以,如果我们想要表示导数的导数,也就是 ,要怎么写呢?
就是:
到现在为止,我们已经学会了:
斜率
是什么 & 怎么算导数
是什么 & 怎么求导函数
是什么 & 怎么求你可能还没有完全掌握以上内容,那也没关系!~
接下来我们会给出一些简单实用的公式,在你的学习过程中会频繁地使用它们来避免复杂的运算过程。一定要记牢!~
记住了它们,即使不会推算导数也可以轻松求出初高中大部分函数的导函数!
尤其是最后一个,堪称初等函数大杀器...
举个例子,要求出 的导函数,直接用上面的公式:
[选读] 这里还有一些为学过三角函数的同学补充的:
总觉得应该来几道题目练练手...
虽然这样有点像老师上课的模式,有悖本文的初衷,但是练习一下真的能掌握不少...
废话少说,放题过来!
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1. 求出的导函数。
2. 求出的导函数。
3. 求出的导函数。
4. 求出的导函数。
5. 求出的导函数。
6. 求出的导函数。
7. 对于以上题目,你有什么感想?
作者的话:最近学业方面实在比较忙,先是期中考,又是统考月考周考什么的,今天刚参加全省联考.....(高二狗,体谅一下) 说好的两个月完工也没下落了:(
2021 年 9 月 24 日更新:作者回来啦!现在已经是一条大二狗了,国庆期间会重启更新~
上面那几题已经让你晕头转向了?没关系!看完本节和下一节之后,你将可以很快地计算出它们从而去装 B!
迄今为止,我们提到的例子都是一些比较简单的函数(额,当然上面的几题除外)。
基本上函数里都只有一个。形式也就是,这样的,大家都学过了。
但是,平时遇到的函数可没这么简单,数学考试里当然不会直接出这样的玩意儿来考你。即便刚刚学过二次函数,你也应该已经遇到或者这样的函数了。这种东西要怎么求导数呢?
其实很简单!不妨回忆一下下我们上面提到过的例子:
以 为例。它求导的结果是 。
(限时挑战任务!看看你能不能在 10 秒内找到这句话的出处:) )
我们先不管结果是啥,只看每个部分。这个式子的每一部分我们都会求。的导数就是,的导数就是,的导数……呃呃,一个常数的导数,永远是 嘛。
所以…… 它的导数就是 ?看起来确实是这样。
我们不妨大胆猜测一下:求一个里面有加号的函数的导数,只要求出各个部分的导数,然后加起来就好啦!
然而事实是怎样呢?事实是…… 我们的猜测是对的。导数的加法就是可以这么拆开计算的。
写成公式的方式就是:
那么,这是为啥呢?这个问题我们稍微往后放放。
我们先看看利用这个,能不能做出上面的题了。
第一题是。
它的第一部分求导是(别忘了这个公式哟:),第二部分的导数是。所以结果就是。
第二题是 …… 额,这个怎么办呢?
其实只要一点一点乘开就好了!打开我们的 Maple,输入函数,点击展开:
然后按上面的方法,对每个部分求导就好了!
你可能会说:,这么长的式子,考试的时候要展开不得累死我?
当然,这种暴力算法虽然不能实用,但是至少是可以算出来的。如果遇到这样的函数,展开是最差劲的选择,但起码是一种选择……起码是可以算出来的,是吧?
这种方法显然太蠢了。有没有更妙的方法来计算第二题呢?这就进入到咱们今天的重头戏:复合运算!
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诶还没进呢(顶级拉扯)
因为标题是「四则运算」,加法已经说完了,我们来看看乘法吧。
(大家读到这里可能比较突兀,因为上面的练习里面忘了出相关的题了。偏偏这个乘法运算又很重要,还是希望大家快速过一遍!不要跳过哈,不然你待会儿会后悔的,哼哼)
什么叫乘法运算呢?举个例子:
但是,But,这样是完全错误的哦!不如再想想?先乘开自己求导一下,再找找规律?
算啦算啦,我知道你很想知道,先把正解放在这里:
这就是说,乘法的规则和加法完全不同,它的导数是对第一个式子求导,乘第二个;再对第二个式子求导,乘第一个。然后加起来。
写成公式的方式就是:
很不幸的是,它确实是对的。凭什么呢?
这就有点超过知识范围了。
我一起放在下面的选读部分吧,如果你自认为可以,不妨挑战一下阅读!应该……不会需要太高的数学水平?(这个挑战就没有上面的「习题」那么坑了,哈哈!)
[选读] 加法求导公式的证明
要证明对两个函数 和 ,可以推出 。
先回顾公式:,
所以写出 的求导式子,然后摆弄一下式子的加法顺序:
这就证完了!
[选读] 乘法求导公式的证明
要证明对两个函数 和 ,可以推出 。
还是写出 的求导式子:
呃,这里不太好办了…… 只有两项,怎么玩它呢?
其实可以试试「凑项」!具体来说,就是加一个什么东西,再减去它,这样式子依然不会变,就像 还是 一样!我们这里要凑进去的是 ,详细地说就是凑成下面这样:
注意,h 是无限趋近于 0 的,所以上式也就是 了。
PS:这两个证明乍一看很麻烦,但是自己动手写一遍,你会发现还挺简洁的……
2021 年 11 月 21 日更新:有人问我联系方式,其实我博客里写得挺全的了:https://w568w.eu.org/about.w568w.html
2023 年 1 月 27 日更新:有关本教程的后续更新,见:https://w568w.eu.org/2023-sweep.html
2023 年 2 月 13 日更新:后续内容已更新!见:https://w568w.eu.org/calculus-1st.html