无痛的深度学习入门：价值迭代

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系列导读：《无痛的增强学习入门》系列文章旨在为大家介绍增强学习相关的入门知识，为大家后续的深入学习打下基础。其中包括增强学习的基本思想，MDP框架，几种基本的学习算法介绍，以及一些简单的实际案例。

作为机器学习中十分重要的一支，增强学习在这些年取得了十分令人惊喜的成绩，这也使得越来越多的人加入到学习增强学习的队伍当中。增强学习的知识和内容与经典监督学习、非监督学习相比并不容易，而且可解释的小例子比较少，本系列将向各位读者简单介绍其中的基本知识，并以一个小例子贯穿其中。

在第一篇中，我们以蛇棋为例，主要介绍了增强学习的核心流程，那就是Agent与Environment的交互。

无痛的增强学习入门：基本概念篇

在第二篇中，我们曾简单介绍了计算最优策略的方法——先得到同一状态下不同行动的价值估计，再根据这些价值估计计算出最优的策略选择。

无痛的增强学习入门： 增强学习形式化

在第三篇中，详细介绍了采用这个战术实现的算法——策略迭代法（Policy Iteration）。

无痛的增强学习入门：策略迭代

4 价值迭代

4.1 N轮策略迭代

上一节我们介绍了策略的迭代的算法，它可以解决蛇棋的策略规划问题，帮助我们更好地完成游戏。从算法中可以看出，算法的主要时间都花费在策略评估上，对于一个简单的问题来说，这部分时间还算好，但是对于复杂的问题来说，这个步骤的时间实在有些多了。一个最直接的想法就是——我们能不能缩短这部分的时间？比方说，我们大概估计出当前策略下每个状态的价值函数就好，这样已经可以帮助我们找出最优的策略了，再做更精细的评估实际上并不必要？这就是这一节的主角——价值迭代法的思想来源。

回到前面的代码中，为了测量算法的用时，我们将在代码中注入一些计时的功能：

from contextlib import contextmanager
import time
@contextmanager
def timer(name):
    start = time.time()
    yield
    end = time.time()
    print '{} COST:{}'.format(name, end - start)

然后将策略迭代的代码进行改进：

def policy_iteration(self):
    iteration = 0
    while True:
        iteration += 1
        with timer('Timer PolicyEval'):
            self.policy_evaluation()
        with timer('Timer PolicyImprove'):
            ret = self.policy_improvement()
        if not ret:
            break

对于有10个梯子的问题，下面我们固定随机数，代码将变为：

def policy_iteration_demo():
        np.random.seed(0)
        env = Snake(10, [3,6])
        agent = TableAgent(env.state_transition_table(), env.reward_table())
        agent.policy_iteration()
        print 'return_pi={}'.format(eval(env,agent))
        print agent.policy

可以得到以下的时间消耗记录：

policy evaluation proceed 94 iters.
Timer PolicyEval COST:0.139311790466
Timer PolicyImprove COST:0.00118112564087
policy evaluation proceed 62 iters.
Timer PolicyEval COST:0.0768580436707
Timer PolicyImprove COST:0.000974178314209
policy evaluation proceed 46 iters.
Timer PolicyEval COST:0.0550677776337
Timer PolicyImprove COST:0.00197505950928
Iter 3 rounds converge
return_pi=84
[0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0]

从时间记录可以看出，PolicyEval的时间远大于PolicyImprove，所以策略评估确实是花时间最大的地方。那么我们就从这里改起，首先限制策略评估的迭代轮数，上面的测试中，策略迭代进行了94轮，我们把它降低至50轮可以么？

将策略评估限制在50轮，我们得到了如下的输出（有省略）

policy evaluation proceed 46 iters.
Timer PolicyEval COST:0.0480210781097
Timer PolicyImprove COST:0.00193190574646
Iter 3 rounds converge
return_pi=84
[0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0]

继续激进一点，把迭代轮数改到10呢？

policy evaluation proceed 11 iters.
Timer PolicyEval COST:0.011638879776
Timer PolicyImprove COST:0.00103783607483
Iter 4 rounds converge
return_pi=84
[0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0]

那么剩下的就是最最激进的，把迭代轮数改到1呢？

policy evaluation proceed 2 iters.
Timer PolicyEval COST:0.00178599357605
Timer PolicyImprove COST:0.00106501579285
Iter 7 rounds converge
return_pi=84
[0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0]

我们发现，随着策略评估的迭代轮数不断降低，算法的总迭代数在升高。当策略评估的迭代轮数在94时，算法总迭代数为3；而策略评估的迭代轮数在1时，算法总迭代数变成了7，但依然不影响它称为这些实验中最快的算法。

实际上，我们就可以把迭代轮数为1的策略评估称为价值迭代。为什么呢？在策略迭代问题中，每一轮算法过后，策略不一定是最优的，但价值一定是当前策略下的收敛值；而对于价值迭代来说，每一轮算法过后，价值都不一定能够收敛，同时策略在随着价值的更新而更新，但是价值一旦收敛，策略也随之收敛。所以此时我们关注的重点在于价值的计算上。我们希望一次性计算好价值函数，这样就能一步到位计算处最优策略来。

4.2 从动态规划的角度谈价值迭代

实际上上面的解释还是不够清晰。策略迭代对大家来说还是比较容易理解的，因为它的思想很清晰。而价值迭代算法看上去似乎是一个“贪心”算法，让人很不放心。一个最直接的问题就是：为什么策略和价值可以在都不完美的情况下不断改进达到最优？想要回答好这个问题，我们需要从“贪心”的对立面——动态规划去解释。

前面我们一直站在了策略的角度做分析，并且把价值迭代法定义为一轮迭代的策略迭代法，那么对于一轮迭代的算法，它的形式能否做一个改变呢？我们知道策略评估这一步完成了下面的计算：

$$v(s_t)= \sum_a \pi (a|s_t) \sum_{s_{t+1}}p(s_{t+1}|s_t,a)[R_t+ \gamma v(s_{t+1})]$$

而接下来的一步完成了策略改进的计算：

$$q(s_t,a_t)=\sum_{s_{t+1}}p(s_{t+1}|s_t,a_t)[R_t+\gamma v(s_{t+1})]$$

$$\pi(s)=argmax_a q(s,a)$$

我们能不能将这三个步骤结合起来，成为一个关于价值函数的更新步骤呢？

我们将后两个公式合并起来，可以得到：

$$\pi(s)=argmax_a \sum_{s_{t+1}}p(s_{t+1}| s_t, a_t)[R_t + \gamma v(s_{t+1})]$$

由于最优策略的存在，实际上策略最终的选择是单一的，也就是说对于每一个状态，最优策略会采取某一种行动，这种行动不会比其他行动差。所以我们可以认为：

$$v(s)=max_a q(s,a)$$

也就是说：

$$v(s) = max_a \sum_{s'} p(s' | s,a)[r(s,a,s') + \gamma \tilde{v}(s')]$$

经过这样的转换，我们终于将视角转换到了价值函数上。可以看到公式的左右两边都出现了价值函数，其中等号左边的价值函数是迭代更新后的价值函数，等号右边的价值函数是上一轮的价值函数。这时，这个公式就展示出动态规划的“气质”了。

动态规划类的问题相信很多人在学习算法的时候都接触过。计算机算法的一个主体思想就是分解问题，将问题划分成一个个小问题，然后用小规模下的解决方案解决小规模的问题。动态规划的思路也基本相同，它有两个核心的特点：最优子结构和重复子结构。

所谓的最优子结构，就是说一个子问题的最优解是可以得到的。对应蛇棋的问题，我们可以考虑“从某个位置出发行走一步能够获得的最大奖励”这个问题，由于只走一步，这个问题很容易计算。

所谓的重复子结构，就是说一个更大的问题是由一些小问题组成的，而求解不同的大问题时可能会用上同一个子问题，这样子问题被重复利用，从而减少了计算量。对应蛇棋的问题，我们进一步考虑“从某个位置出发行走两步能够获得的最大奖励”这个问题，这时的问题就可以利用上前面的子问题，于是计算公式就变成了：

”某个位置走两步的最大奖励“＝max([这一步的奖励 + 从到达位置出发走一步最大奖励 for 走法 in 可能的走法])

上面这个公式就用到了最优子结构的性质，而求解完所有位置也就会用到重复子结构的性质。同样地，由于打折率的存在，价值函数的绝对值存在上界，价值函数在这样更新中最终会得到收敛。

4.3 价值迭代的实现

价值迭代的代码如下所示：

def value_iteration(self):
  iteration = 0
  while True:
    iteration += 1
    new_value_pi = np.zeros_like(self.value_pi)
    for i in range(1, self.state_num): # for each state
      value_sas = []
      for j in range(0, self.act_num): # for each act
        value_sa = np.dot(self.table[j, i, :], self.reward + self.gamma * self.value_pi)
        value_sas.append(value_sa)
      new_value_pi[i] = max(value_sas)
    diff = np.sqrt(np.sum(np.power(self.value_pi - new_value_pi, 2)))
    if diff < 1e-6:
      break
    else:
      self.value_pi = new_value_pi
    print 'Iter {} rounds converge'.format(iteration)
  for i in range(1, self.state_num):
    for j in range(0, self.act_num):
      self.value_q[i,j] = np.dot(self.table[j,i,:], self.reward + self.gamma * self.value_pi)
    max_act = np.argmax(self.value_q[i,:])
    self.policy[i] = max_act

使用和上一节策略迭代同样的实验，它也能得到同样的结果，那么它的时间呢？

Iter 3 rounds converge
Timer PolicyIter COST:0.190360069275
return_pi=84
[0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0]
Iter 94 rounds converge
Timer ValueIter COST:0.0884821414948
return_pi=84
[0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0]

可以看出价值迭代还是会比常规的策略迭代快一些，但是它并没有本节中的一轮策略迭代快。一轮策略迭代的时间为：0.023058891296。这是为什么呢？我们还能不能让时间更快？让我们在下一节解答这个问题。

作者介绍：冯超，毕业于中国科学院大学，猿辅导研究团队视觉研究负责人，小猿搜题拍照搜题负责人之一。2017年独立撰写《深度学习轻松学：核心算法与视觉实践》一书（书籍链接：https://item.jd.com/12106435.html），以轻松幽默的语言深入详细地介绍了深度学习的基本结构，模型优化和参数设置细节，视觉领域应用等内容。自2016年起在知乎开设了自己的专栏：《无痛的机器学习》，发表机器学习与深度学习相关文章，收到了不错的反响，并被多家媒体转载。曾多次参与社区技术分享活动。