和式表达式及其推导

1. 分配率

$$\sum_{k \in K}ca_k = c\sum_{k \in K}a_k$$

2. 结合律

$$\sum_{k \in K}a_k + b_k = \sum_{k \in K}a_k + \sum_{k\in K}b_k$$ 注意：结合律的前提条件是和式的下标一致，也就是表示同一个集合。

3. 交换律（换元率）

$$\sum_{k \in K}a_k = \sum_{p(k) \in K}a_{p(k)}$$

这里的 $p(k)$ 表示集合K的另外一种排列，改变的仅仅是排列遍历的顺序，别 $p(k) = -k$ 在 $K={-1,0,1}$ 的情况下是成立的。这个【换元】非常重要，常在推导 约数<->倍数的转换 等。

交换率中容易出现的错误

比如：

$$\sum_{k=1}^n f(d*a_k) = \sum_{k'=1} ^{dn} f(a_k')$$

这种令 $k'=dk$ 来进行换元出现了错误，因为集合的内容发生了变化(起码集合的数目发生了变化)，应该是如下：

$$\sum_{k=1}^n f(d*a_k) = \sum_{k'=1,d|k'} ^{dn} f(a_k')$$

也就是说：【换元】是最常用的，最具有技巧性的变换和推导，但最容易出现错误，特别是在多重和式中，原则是变换前后，和式集合中的元素的数目不变，和原表达方式一一对应，

• 如果序列范围出现了【放大】，则相应的【倍数】变【约数】，
• 反之，如果范围缩小，则应该【约数】变【倍数】（1倍是常用的情况）。否则可能出现错误。

换元中出现的第二种问题：【多次转换】中的精度损失。

这个问题一般出现在多重和式中，

$$\sum_{x|n,x<=N} f(x) \to \sum_{x'=1}^{\lfloor N/n \rfloor }f(nx')$$

这样当出现多次转换时就有可能出现：$\lfloor N/n \rfloor * n$ 这样很显然出现了精度损失，甚至给推导造成了障碍。但一般【忽略】这种精度损失不会造成什么困扰。因为这种都是从 倍数，约束，乘法中转换过来的一种简明的写法，在原式子中推导不会出现精度损失。