深度学习与自然语言处理(4)_斯坦福cs224d 大作业测验1与解答

作业内容翻译：@胡杨(superhy199148@hotmail.com) && @胥可(feitongxiaoke@gmail.com)
解答与编排：寒小阳 && 龙心尘
时间：2016年6月
出处：
http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/51760923
http://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/51765418

说明：本文为斯坦福大学CS224d课程的中文版内容笔记，已得到斯坦福大学课程@Richard Socher教授的授权翻译与发表

0 前言

前面一个接一个的Lecture，看得老衲自己也是一脸懵逼，不过你以为你做一个安安静静的美男子(总感觉有勇气做deep learning的女生也是一条汉纸)就能在Stanford这样的学校顺利毕业啦？图样图森破，除掉极高的内容学习梯度，这种顶尖大学的作业和考试一样会让你突(tong)飞(bu)猛(yu)进(sheng)。

说起来，怎么也是堂堂斯坦福的课，这种最看重前言研究在实际工业应用的学校，一定是理论和应用并进，对动手能力要求极强的，于是乎，我们把作业和小测验(MD你这也敢叫小测验！！)也扒过来，整理整理，让大家都来体验体验。反正博主君自己每次折腾完这些大学的assignment之后，都会感慨一句，“还好不生在水生火热的万恶资本主义国家，才能让我大学和研究僧顺利毕业(什么？phd？呵呵...博主是渣渣，智商常年处于欠费状态，我就不参与你们高端人士的趴体了)”。

不能再BB了，直接开始做作业考试吧...

1 Softmax (10 分)

(part a) (5分)
证明针对任何输入向量$\mathbf{x}$和常数c，softmax函数的输出不会随着输入向量偏移（也就是常数c）而改变。即：

$$softmax(\mathbf{x}) = softmax(\mathbf{x} + c)$$

其中$\mathbf{x} + c$就是给$\mathbf{x}$每一个元素加上常数c。注意：

$$softmax \left( \mathbf{x} \right)_i = \frac{e^{\mathbf{x}_i}}{\sum_je^{\mathbf{x}_j}}$$

提示：在实际应用中，经常会用到这个性质。为了稳定地计算softmax概率，我们会选择$c = ? max_i x_i$。（即将$\mathbf{x}$的每个元素减去最大的那个元素）。

博主：熬过了高中，居然又看见证明了，也是惊(ri)喜(le)万(gou)分(le)，答案拿来！！！

解答：

证明，针对所有维度$1 \le i \le dim\left( \mathbf{x} \right)$：

$$\left(softmax \left( \mathbf{x} + c \right)\right)_i = \frac{\exp \left(\mathbf{x}_i + c \right) }{\sum_{j=1}^{dim\left( \mathbf{x}\right)}{\exp\left(\mathbf{x}_j+c \right)}} = \frac{\exp\left(c \right)\exp \left( x_i\right)}{\exp \left( c \right)\sum_{j=1}^{dim\left(x \right)}\exp\left( x_j\right)} = \frac{\exp \left( x_i\right)}{\sum_{j=1}^{dim\left(x \right)}\exp\left( x_j\right)} = \left( softmax \left( \mathbf{x}\right) \right)_i$$

(part b) (5 分)
已知一个N行d列的输入矩阵，计算每一行的softmax概率。在q1_softmax.py中写出你的实现过程，并使用python q1_softmax.py执行。

要求：你所写的代码应该尽可能的有效并以向量化的形式来实现。非向量化的实现将不会得到满分。

博主：简直要哭晕在厕所了，当年毕业设计也是加论文一星期都可以写完的节奏，这里一个5分的作业，还这么多要求...社会主义好...答案拿来！！！

import numpy as np
def softmax(x):
    """
        Softmax 函数
    """
    assert len(x.shape) > 1, "Softmax的得分向量要求维度高于1"
    x -= np.max(x, axis=1, keepdims=True)
    x = np.exp(x) / np.sum(np.exp(x), axis=1, keepdims=True)
    return x

2 神经网络基础（30分）

(part a) (3 分)
推导sigmoid函数的导数，并且只以sigmoid函数值的形式写出来（导数的表达式里只包含$\sigma \left(x\right)$，不包含x）。证明针对这个问题没必要单独考虑x。方便回忆：下面给出sigmoid函数形式：

$$\sigma \left( x\right) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$

旁白：我年纪轻轻干嘛要走上深度学习这条不归路，真是生无所恋了。

答案：$\sigma′\left(x\right) = \sigma\left(x\right)(1 ? \sigma\left(x\right))$。

(part b) (3 分)
当使用交叉熵损失来作为评价标准时,推导出损失函数以softmax为预测结果的输入向量$\theta$的梯度。注意，

$$CE\left(\mathbf{y}, \mathbf{\hat{y}}\right) = - \sum_i{y_i \log \left( \hat{y}_i\right)}$$

其中$\mathbf{y}$是一个one-hot向量，$\hat{\mathbf{y}}$是所有类别的预测出的概率向量。（提示：你需要考虑$\mathbf{y}$的许多元素为0，并且假设$\mathbf{y}$仅有第k个类别是1）

答案：$\frac{\partial CE\left(\mathbf{y}, \mathbf{\hat{y}}\right)}{\partial \mathbf{\theta}}=\mathbf{\hat{y}}-\mathbf{y}$

或者等价于下面表达式，其中假设k是正确的类别

$$\frac{\partial CE\left(\mathbf{y}, \mathbf{\hat{y}}\right)}{\partial \mathbf{\theta}}=\left\{\begin{matrix} \hat{y}_i-1,i=k &\\ \hat{y}_i , otherwise& \end{matrix}\right.$$

(part c) (6 分)
推导出单隐层神经网络关于输入$\mathbf{x}$的梯度（也就是推导出$\frac{\partial J}{\partial x}$，其中J是神经网络的损失函数）。这个神经网络在隐层和输出层采用了sigmoid激活函数，$\mathbf{y}$是one-hot编码向量，使用了交叉熵损失。（使用$\sigma′\left( x \right)$ 作为sigmoid梯度，并且你可以任意为推导过中的中间变量命名）

前向传播方程如下：

$$\begin{matrix} \mathbf{h}=sigmoid \left( \mathbf{xW}_1+\mathbf{b}_1\right) \\ \hat{\mathbf{y}}=softmax \left( \mathbf{hW}_2 + \mathbf{b}_2\right) & \end{matrix}$$

在编程问题中，我们假设输入向量（隐层变量和输出概率）始终是一个行向量。此处我们约定，当我们说要对向量使用sigmoid函数时，也就是说要对向量每一个元素使用sigmoid函数。$\mathbf{W}_i$和$\mathbf{b}_i$（其中i=1，2）分别是两层的权重和偏移。

旁白：好好的100分总分，硬要被你这么5分6分地拆，人家5分6分是一道选择题，你特么是一整个毕业设计！！好吧，不哭，跪着也要把题目做完，代码写完。哎，博主还是太年轻，要多学习啊。

答案：令 $\mathbf{z}_2 = \mathbf{hW_2}+\mathbf{b}_2$， $\mathbf{z}_1=\mathbf{xW}_1+\mathbf{b}_1x$，于是可得：

$$\begin{matrix} \delta_1=\frac{\partial CE}{\partial \mathbf{z}_2}=\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{y}&\\ \delta_2=\frac{\partial CE}{\partial \mathbf{h}}=\delta_1\frac{\partial \mathbf{z}_2}{\partial \mathbf{h}}=\delta_1 \mathbf{W}_2^T&\\ \delta_3=\frac{\partial CE}{\mathbf{z}_1}=\delta_2 \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{z}_1}=\delta_2\circ \sigma' \left( \mathbf{z}_1\right)&\\ \frac{\partial CE}{\partial \mathbf{x}}=\delta_3 \frac{\partial \mathbf{z}_1}{\partial \mathbf{x}}=\delta_3 \mathbf{W}^T& \end{matrix}$$

(part d) (2 分)
上面所说的这个神经网络有多少个参数？我们可以假设输入是$D_x$维，输出是$D_y$，隐层单元有H个。

旁白：还有part d！！！

答案: $(D_x +1)·H +(H +1)·D_y$.

(part e) (4 分) 在q2_sigmoid.py中补充写出sigmoid激活函数的和求它的梯度的对应代码。并使用python q2_sigmoid.py进行测试，同样的，测试用例有可能不太详尽，因此尽量检查下自己的代码。

旁白：如果博主没有阵亡，就在走向阵亡的路上...

def sigmoid_grad(f):
    """ 
        计算Sigmoid的梯度 
    """
    #好在我有numpy
    f = f * ( 1 - f )
    return f

(part f) (4 分)
为了方便debugging，我们需要写一个梯度检查器。在q2_gradcheck.py中补充出来，使用python q2_gradcheck.py测试自己的代码。

旁白：做到昏天黑地，睡一觉起来又是一条好汉...

def gradcheck_naive(f, x):
    """ 
        对一个函数f求梯度的梯度检验 
        - f 输入x，然后输出loss和梯度的函数
        - x 就是输入咯
    """ 
    rndstate = random.getstate()
    random.setstate(rndstate)  
    fx, grad = f(x)
    h = 1e-4
    # 遍历x的每一维
    it = np.nditer(x, flags=['multi_index'], op_flags=['readwrite'])
    while not it.finished:
        ix = it.multi_index
        old_val = x[ix]
        x[ix] = old_val - h
        random.setstate(rndstate)
        ( fxh1, _ ) = f(x)
        x[ix] = old_val + h
        random.setstate(rndstate)
        ( fxh2, _ ) = f(x)
        numgrad = (fxh2 - fxh1)/(2*h)
        x[ix] = old_val
        # 比对梯度
        reldiff = abs(numgrad - grad[ix]) / max(1, abs(numgrad), abs(grad[ix]))
        if reldiff > 1e-5:
            print "Gradient check failed."
            print "First gradient error found at index %s" % str(ix)
            print "Your gradient: %f \t Numerical gradient: %f" % (grad[ix], numgrad)
            return
        it.iternext() # Step to next dimension
    print "Gradient check passed!"

(part g) (8 分)
现在，在q2 neural.py中，写出只有一个隐层且激活函数为sigmoid的神经网络前向和后向传播代码。使用python q2_neural.py测试自己的代码。

旁白：一入DL深似海...

def forward_backward_prop(data, labels, params, verbose = False):
    """ 
        2个隐层的神经网络的前向运算和反向传播
    """
    if len(data.shape) >= 2:
        (N, _) = data.shape
    ### 展开每一层神经网络的参数
    t = 0
    W1 = np.reshape(params[t:t+dimensions[0]*dimensions[1]], (dimensions[0], dimensions[1]))
    t += dimensions[0]*dimensions[1]
    b1 = np.reshape(params[t:t+dimensions[1]], (1, dimensions[1]))
    t += dimensions[1]
    W2 = np.reshape(params[t:t+dimensions[1]*dimensions[2]], (dimensions[1], dimensions[2]))
    t += dimensions[1]*dimensions[2]
    b2 = np.reshape(params[t:t+dimensions[2]], (1, dimensions[2]))
    ### 前向运算
    # 第一个隐层做内积
    a1 = sigmoid(data.dot(W1) + b1)    
    # 第二个隐层做内积
    a2 = softmax(a1.dot(W2) + b2)
    cost = - np.sum(np.log(a2[labels == 1]))/N
    ### 反向传播
    # Calculate analytic gradient for the cross entropy loss function
    grad_a2 = ( a2 - labels ) / N
    # Backpropagate through the second latent layer
    gradW2 = np.dot( a1.T, grad_a2 )
    gradb2 = np.sum( grad_a2, axis=0, keepdims=True )
    # Backpropagate through the first latent layer
    grad_a1 = np.dot( grad_a2, W2.T ) * sigmoid_grad(a1)
    gradW1 = np.dot( data.T, grad_a1 )
    gradb1 = np.sum( grad_a1, axis=0, keepdims=True )
    if verbose: # Verbose mode for logging information
        print "W1 shape: {}".format( str(W1.shape) )
        print "W1 gradient shape: {}".format( str(gradW1.shape) )
        print "b1 shape: {}".format( str(b1.shape) )
        print "b1 gradient shape: {}".format( str(gradb1.shape) )
    ### 梯度拼起来
    grad = np.concatenate((gradW1.flatten(), gradb1.flatten(), gradW2.flatten(), gradb2.flatten()))
    return cost, grad

3 word2vec(40分+5附加分)

(part a) (3分)
假设你得到一个关联到中心词$c$的预测词向量$\upsilon_c$，并且这个词向量使用skip-gram方法生成，预测词使用的是softmax预测函数，它能够在word2vec模型中被找到。

$$\hat{y}_o=p(o|c)=\frac{\exp(\mu_o^\top\upsilon_c)}{\sideset{}{_{w=1}^W}\sum\exp(\mu_w^\top\upsilon_c)}\tag{4}$$

式中，$w$代表第w个词，$\mu_w(w=1,\ldots,W)$是词库中全体词汇的输出词向量。假设为交叉熵损失函数，且词$o$是被预测的词汇（noe-hot/独热模型的标记向量中第$o$个元素为1），求解预测词向量 $\upsilon_c$的所对应的梯度。
提示：问题2中的标记法将有助于此问题的解答。比如：设$\hat{y}$为各个词汇使用softmax函数预测得到的向量，$y$为期望词向量，而损失函数可以表示为：

$$J_{softmax-CE}(o,\upsilon_c,U)=CE(y,\hat{y})\tag{5}$$

其中，$U=[\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_W]$是全体输出向量形成的矩阵，确保你已经规定好你的向量和矩阵的方向。

旁边：是的，旁白我已经不知道写什么了，感谢党感谢祖国吧。

解答：设$\hat{y}$为词汇softmax预测结果的列向量，$y$是同样形为列向量的独热标签，那么有：

$$\frac{\partial{J}}{\partial{\upsilon_c}}=U^T(\hat{y}-y).$$

或者等同于：

$$\frac{\partial{J}}{\partial{\upsilon_c}}=-\mu_i+\sum_{w=1}^{W}\hat{y_w}\mu_w$$

(part b) (3分)
条件仍然如前一题所描述，求解输出词向量$\mu_w$的梯度（包括$\mu_o$在内）

旁白：我还是安安静静在天朝搬砖吧

解答：

$$\frac{\partial{J}}{\partial{U}}=\upsilon_c(\hat{y}-y)^\top$$

或者等同于：

$$\frac{\partial{J}}{\partial{\mu_w}}=\begin{cases}(\hat{y_w}-1)\upsilon_c, &w=o\\\hat{y_w}, &otherwise\end{cases}$$

(part c) (6分)
仍然延续(part a)和(part b)，假设我们使用为预测的向量$\upsilon_c$使用负采样损失的计算方式，并且设定期望输出词为$o$。假设获得了$K$个负样例（词），并且被记为$1,\ldots,K$，分别作为这些样例的标签$(o\notin{1,\ldots,K})$。那么，对于一个给定的词$o$，将其输出向量记作$\mu_o$。这里，负采样损失函数如下：

$$J_{neg-sample}(o,\upsilon_c,U)=-\log(\sigma(\mu_o^\top\upsilon_c))-\sum_{k=1}^{K}\log(\sigma(-\mu_k^\top\upsilon_c))\tag{6}$$

其中，$\sigma(\cdot)$为sigmoid激活函数。

当你完成上述操作之后，尝试简要描述这个损失函数比softmax-CE损失函数计算更为有效的原因（你可以给出递增式的学习率，即，给出softmax-CE损失函数的计算时间除以负采样损失函数的计算时间的结果）。

注释：由于我们打算计算目标函数的最小值而不是最大值，这里提到的损失函数与Mikolov等人最先在原版论文中描述的正好相反。

旁白：突然想起来，小时候好焦虑，长大后到底去清华还是去北大，后来发现多虑了。我想如果当初走了狗屎运进了贵T大贵P大，也一定完不成学业。

解答：

$$\begin{align*} \frac{\partial{J}}{\partial{\upsilon_c}}&=(\sigma(\mu_o^\top\upsilon_c)-1)\mu_o-\sum_{k=1}^{K}(\sigma(-\mu_k^\top\upsilon_c)-1)\mu_k\\\frac{\partial{J}}{\partial{\mu_o}}&=(\sigma(\mu_o^\top\upsilon_c)-1)\upsilon_c\\\frac{\partial{J}}{\partial{\mu_k}}&=-(\sigma(-\mu_k^\top\upsilon_c)-1)\upsilon_c,\qquad for \ all \ k=1,2,\ldots,K \end{align*}$$

(part d) (8分)
试得到由skip-gram和CBOW算法分别算出的全部词向量的梯度，前提步骤和词内容集合[wordc-m,…,wordc-1,wordc,wordc+1,…,wordc+m]都已给出，其中，$m$是窗口的大小。将词${word}_k$的输入和输出词向量分别记为$\upsilon_k$和$\mu_k$。
提示：可以随意使用函数$F(o,\upsilon_c)$（其中$o$代表词汇）作为这一部分中$J_{softmax-CE}(o,\upsilon_c,\ldots)$或$J_{neg-sample}(o,\upsilon_c,\ldots)$损失函数的占位符——你将在编程部分看到一个非常有用的抽象类，那意味着你的解决方法可以用这样的形式表达：$\frac{\partial{F(o,\upsilon_c)}}{\partial{\ldots}}$
回忆skip-gram算法，以$c$为中心周边内容的损失值计算如下：

$$J_{skip-gram}({word}_{c-m \ldots c+m})=\sum_{-m \le j \le m,j \ne 0}F(w_{c+j},\upsilon_c)\tag{7}$$

其中，$w_{c+j}$代表距离中心词的第j个词。
CBOW略有不同，不同于使用$\upsilon_c$作为预测向量，我们以$\hat{\upsilon}$为底，在CBOW中（一个小小的变体），我们计算上下文输入词向量的和:

$$\hat{\upsilon}=\sum_{-m \le j \le m,j \ne 0}\upsilon_{c+j}\tag{8}$$

于是，CBOW的损失函数定义为：

$$J_{CBOW}({word_{c-m \ldots c+m}})=F(w_c,\hat{\upsilon})\tag{9}$$

注释：为了符合$\hat{\upsilon}$在诸如代码部分中的各种表达规范，在skip-gram方法中，令：$\hat{\upsilon}=\upsilon_c$。

旁白：我诚实一点，这个部分真的是翻了课件抄下来的。

解答：为了表达得更为清晰，我们将词库中全部词汇的全部输出向量集合记作$U$，给定一个损失函数$F$，我们可以很容易获得以下引出结果：
$\frac{\partial{F(w_i,\hat{\upsilon})}}{\partial{U}}$ 和$\frac{\partial{F(w_i,\hat{\upsilon})}}{\partial{\hat{\upsilon}}}$
对于skip-gram方法，一个内容窗口的损失梯度为：

$$\begin{align*} \frac{\partial{J_{skip-gram}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{U}} &= \sum_{-m \le j \le m,j \ne 0}\frac{\partial{F(w_{c+j},\upsilon_c)}}{\partial{U}},\\\frac{\partial{J_{skip-gram}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{\upsilon_c}} &= \sum_{-m \le j \le m,j \ne 0}\frac{\partial{F(w_{c+j},\upsilon_c)}}{\partial{\upsilon_c}}\\\frac{\partial{J_{skip-gram}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{\upsilon_j}} &= 0, \ for \ all \ j \ne c. \end{align*}$$

同样地，对于CBOW则有：

$$\begin{align*} \frac{\partial{J_{CBOW}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{U}} &= \frac{\partial{F(w_c,\hat{\upsilon})}}{\partial{U}}, \quad (using \ the \ definition \ of \ \hat{\upsilon} \ in \ the \ problem)\\\frac{\partial{J_{CBOW}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{\upsilon_j}} &= \frac{\partial{F(w_c,\hat{\upsilon})}}{\partial{\hat{\upsilon}}}, \quad for \ all \ j \in\{c-m, \ldots , c-1,c+1, \ldots , c+m \}\\\frac{\partial{J_{CBOW}({word}_{c-m, \ldots ,c+m})}}{\partial{\upsilon_j}} &= 0, \quad for \ all \ j \notin\{c-m, \ldots , c-1,c+1, \ldots , c+m\} \end{align*}$$

(part e) (12分)
在这一部分，你将实现word2vec模型，并且使用随机梯度下降方法（SGD）训练属于你自己的词向量。首先，在代码q3_word2vec.py中编写一个辅助函数对矩阵中的每一行进行归一化。同样在这个文件中，完成对softmax、负采样损失函数以及梯度计算函数的实现。然后，完成面向skip-gram的梯度损失函数。当你完成这些的时候，使用命令：python q3_word2vec.py对编写的程序进行测试。
注释：如果你选择不去实现CBOW(h部分)，只需简单地删除对NotImplementedError错误的捕获即可完成你的测试。

旁白：前方高能预警，代码量爆炸了！

import numpy as np
import random
from q1_softmax import softmax
from q2_gradcheck import gradcheck_naive
from q2_sigmoid import sigmoid, sigmoid_grad
def normalizeRows(x):
    """ 
        行归一化函数 
    """
    N = x.shape[0]
    x /= np.sqrt(np.sum(x**2, axis=1)).reshape((N,1)) + 1e-30
    return x
def test_normalize_rows():
    print "Testing normalizeRows..."
    x = normalizeRows(np.array([[3.0,4.0],[1, 2]])) 
    # 结果应该是 [[0.6, 0.8], [0.4472, 0.8944]]
    print x
    assert (np.amax(np.fabs(x - np.array([[0.6,0.8],[0.4472136,0.89442719]]))) <= 1e-6)
    print ""
def softmaxCostAndGradient(predicted, target, outputVectors, dataset):
    """ 
        word2vec的Softmax损失函数 
    """                                                   
    # 输入:                                                         
    # - predicted: 预测词向量的numpy数组
    # - target: 目标词的下标              
    # - outputVectors: 所有token的"output"向量(行形式) 
    # - dataset: 用来做负例采样的，这里其实没用着         
    # 输出:                                                        
    # - cost: 输出的互熵损失    
    # - gradPred: the gradient with respect to the predicted word   
    #        vector                                                
    # - grad: the gradient with respect to all the other word        
    #        vectors                                               
    probabilities = softmax(predicted.dot(outputVectors.T))
    cost = -np.log(probabilities[target])
    delta = probabilities
    delta[target] -= 1
    N = delta.shape[0]
    D = predicted.shape[0]
    grad = delta.reshape((N,1)) * predicted.reshape((1,D))
    gradPred = (delta.reshape((1,N)).dot(outputVectors)).flatten()
    return cost, gradPred, grad
def negSamplingCostAndGradient(predicted, target, outputVectors, dataset, 
    K=10):
    """ 
        Word2vec模型负例采样后的损失函数和梯度
    """
    grad = np.zeros(outputVectors.shape)
    gradPred = np.zeros(predicted.shape)
    indices = [target]
    for k in xrange(K):
        newidx = dataset.sampleTokenIdx()
        while newidx == target:
            newidx = dataset.sampleTokenIdx()
        indices += [newidx]
    labels = np.array([1] + [-1 for k in xrange(K)])
    vecs = outputVectors[indices,:]
    t = sigmoid(vecs.dot(predicted) * labels)
    cost = -np.sum(np.log(t))
    delta = labels * (t - 1)
    gradPred = delta.reshape((1,K+1)).dot(vecs).flatten()
    gradtemp = delta.reshape((K+1,1)).dot(predicted.reshape(
        (1,predicted.shape[0])))
    for k in xrange(K+1):
        grad[indices[k]] += gradtemp[k,:]
     t = sigmoid(predicted.dot(outputVectors[target,:]))
     cost = -np.log(t)
     delta = t - 1
     gradPred += delta * outputVectors[target, :]
     grad[target, :] += delta * predicted
     for k in xrange(K):
         idx = dataset.sampleTokenIdx()
         t = sigmoid(-predicted.dot(outputVectors[idx,:]))
         cost += -np.log(t)
         delta = 1 - t
         gradPred += delta * outputVectors[idx, :]
         grad[idx, :] += delta * predicted
    return cost, gradPred, grad
def skipgram(currentWord, C, contextWords, tokens, inputVectors, outputVectors, 
    dataset, word2vecCostAndGradient = softmaxCostAndGradient):
    """ Skip-gram model in word2vec """
    # skip-gram模型的实现
    # 输入:                                                         
    # - currrentWord: 当前中心词所对应的串           
    # - C: 上下文大小(词窗大小)                          
    # - contextWords: 最多2*C个词                             
    # - tokens: 对应词向量中词下标的字典                
    # - inputVectors: "input" word vectors (as rows) for all tokens           
    # - outputVectors: "output" word vectors (as rows) for all tokens         
    # - word2vecCostAndGradient: the cost and gradient function for a prediction vector given the target word vectors, could be one of the two cost functions you implemented above
    # 输出:                                                   
    # - cost: skip-gram模型算得的损失值   
    # - grad: 词向量对应的梯度 
    currentI = tokens[currentWord]
    predicted = inputVectors[currentI, :]
    cost = 0.0
    gradIn = np.zeros(inputVectors.shape)
    gradOut = np.zeros(outputVectors.shape)
    for cwd in contextWords:
        idx = tokens[cwd]
        cc, gp, gg = word2vecCostAndGradient(predicted, idx, outputVectors, dataset)
        cost += cc
        gradOut += gg
        gradIn[currentI, :] += gp
    return cost, gradIn, gradOut
def word2vec_sgd_wrapper(word2vecModel, tokens, wordVectors, dataset, C, word2vecCostAndGradient = softmaxCostAndGradient):
    batchsize = 50
    cost = 0.0
    grad = np.zeros(wordVectors.shape)
    N = wordVectors.shape[0]
    inputVectors = wordVectors[:N/2,:]
    outputVectors = wordVectors[N/2:,:]
    for i in xrange(batchsize):
        C1 = random.randint(1,C)
        centerword, context = dataset.getRandomContext(C1)
        if word2vecModel == skipgram:
            denom = 1
        else:
            denom = 1
        c, gin, gout = word2vecModel(centerword, C1, context, tokens, inputVectors, outputVectors, dataset, word2vecCostAndGradient)
        cost += c / batchsize / denom
        grad[:N/2, :] += gin / batchsize / denom
        grad[N/2:, :] += gout / batchsize / denom
    return cost, grad
def test_word2vec():
    # Interface to the dataset for negative sampling
    dataset = type('dummy', (), {})()
    def dummySampleTokenIdx():
        return random.randint(0, 4)
    def getRandomContext(C):
        tokens = ["a", "b", "c", "d", "e"]
        return tokens[random.randint(0,4)], [tokens[random.randint(0,4)] \
           for i in xrange(2*C)]
    dataset.sampleTokenIdx = dummySampleTokenIdx
    dataset.getRandomContext = getRandomContext
    random.seed(31415)
    np.random.seed(9265)
    dummy_vectors = normalizeRows(np.random.randn(10,3))
    dummy_tokens = dict([("a",0), ("b",1), ("c",2),("d",3),("e",4)])
    print "==== Gradient check for skip-gram ===="
    gradcheck_naive(lambda vec: word2vec_sgd_wrapper(skipgram, dummy_tokens, vec, dataset, 5), dummy_vectors)
    gradcheck_naive(lambda vec: word2vec_sgd_wrapper(skipgram, dummy_tokens, vec, dataset, 5, negSamplingCostAndGradient), dummy_vectors)
    print "\n==== Gradient check for CBOW      ===="
    gradcheck_naive(lambda vec: word2vec_sgd_wrapper(cbow, dummy_tokens, vec, dataset, 5), dummy_vectors)
    gradcheck_naive(lambda vec: word2vec_sgd_wrapper(cbow, dummy_tokens, vec, dataset, 5, negSamplingCostAndGradient), dummy_vectors)
    print "\n=== Results ==="
    print skipgram("c", 3, ["a", "b", "e", "d", "b", "c"], dummy_tokens, dummy_vectors[:5,:], dummy_vectors[5:,:], dataset)
    print skipgram("c", 1, ["a", "b"], dummy_tokens, dummy_vectors[:5,:], dummy_vectors[5:,:], dataset, negSamplingCostAndGradient)
    print cbow("a", 2, ["a", "b", "c", "a"], dummy_tokens, dummy_vectors[:5,:], dummy_vectors[5:,:], dataset)
    print cbow("a", 2, ["a", "b", "a", "c"], dummy_tokens, dummy_vectors[:5,:], dummy_vectors[5:,:], dataset, negSamplingCostAndGradient)
if __name__ == "__main__":
    test_normalize_rows()
    test_word2vec()

(f) (4分) 在代码q3_sgd.py中完成对随即梯度下降优化函数的实现。并且在该代码中运行测试你的实现。

旁白：想到这篇文章有可能会被无数可以智商碾压我的大神看到，就脸一阵发烫。

# 实现随机梯度下降
# 随机梯度下降每1000轮，就保存一下现在训练得到的参数
SAVE_PARAMS_EVERY = 1000
import glob
import os.path as op
import cPickle as pickle
import sys
def load_saved_params():
    """
        载入之前的参数以免从头开始训练
    """
    st = 0
    for f in glob.glob("saved_params_*.npy"):
        iter = int(op.splitext(op.basename(f))[0].split("_")[2])
        if (iter > st):
            st = iter
    if st > 0:
        with open("saved_params_%d.npy" % st, "r") as f:
            params = pickle.load(f)
            state = pickle.load(f)
        return st, params, state
    else:
        return st, None, None
def save_params(iter, params):
    with open("saved_params_%d.npy" % iter, "w") as f:
        pickle.dump(params, f)
        pickle.dump(random.getstate(), f)
def sgd(f, x0, step, iterations, postprocessing = None, useSaved = False, PRINT_EVERY=10, ANNEAL_EVERY = 20000):
    """ 随机梯度下降 """
    ###########################################################
    # 输入
    #   - f: 需要最优化的函数
    #   - x0: SGD的初始值
    #   - step: SGD的步长
    #   - iterations: 总得迭代次数
    #   - postprocessing: 参数后处理（比如word2vec里需要对词向量做归一化处理）
    #   - PRINT_EVERY: 指明多少次迭代以后输出一下状态
    # 输出: 
    #   - x: SGD完成后的输出参数                   #
    ###########################################################
    if useSaved:
        start_iter, oldx, state = load_saved_params()
        if start_iter > 0:
            x0 = oldx;
            step *= 0.5 ** (start_iter / ANNEAL_EVERY)
        if state:
            random.setstate(state)
    else:
        start_iter = 0
    x = x0
    if not postprocessing:
        postprocessing = lambda x: x
    expcost = None
    for iter in xrange(start_iter + 1, iterations + 1):
        cost, grad = f(x)
        x = x - step * grad
        x = postprocessing(x)
        if iter % PRINT_EVERY == 0:
            print "Iter#{}, cost={}".format(iter, cost)
            sys.stdout.flush()
        if iter % SAVE_PARAMS_EVERY == 0 and useSaved:
            save_params(iter, x)
        if iter % ANNEAL_EVERY == 0:
            step *= 0.5
    return x

(part g) (4分)
开始秀啦！现在我们将要载入真实的数据并使用你已经实现的手段训练词向量！我们将使用Stanford Sentiment Treebank (SST)数据集来进行词向量的训练，之后将他们应用到情感分析任务中去。在这一部分中，无需再编写更多的代码；只需要运行命令python q3 run.py即可。
注释：训练过程所占用的时间可能会很长，这取决于你所实现的程序的效率（一个拥有优异效率的实现程序大约需要占用1个小时）。努力去接近这个目标！
当脚本编写完成，需要完成对词向量的可视化显示。相应的结果同样被保存下来，如项目目录中的图片q3 word_vectors.png所示。包括在你作业中绘制的坐标图。简明解释最多三个句子在你的坐标图中的显示状况。
解答：

(part h) 附加题（5分）

在代码q3_word2vec.py中完成对CBOW的实现。注释：这部分内容是可选的，但是在d部分中关于CBOW的梯度推导在这里并不适用！

def cbow(currentWord, C, contextWords, tokens, inputVectors, outputVectors, 
    dataset, word2vecCostAndGradient = softmaxCostAndGradient):
    """
        word2vec的CBOW模型
    """
    cost = 0
    gradIn = np.zeros(inputVectors.shape)
    gradOut = np.zeros(outputVectors.shape)
     D = inputVectors.shape[1]
     predicted = np.zeros((D,))
     indices = [tokens[cwd] for cwd in contextWords]
     for idx in indices:
         predicted += inputVectors[idx, :]
     cost, gp, gradOut = word2vecCostAndGradient(predicted, tokens[currentWord], outputVectors, dataset)
     gradIn = np.zeros(inputVectors.shape)
     for idx in indices:
         gradIn[idx, :] += gp
    return cost, gradIn, gradOut

4 情感分析（20分）

现在，随着词向量的训练，我们准备展示一个简单的情感分析案例。随着词向量的训练，我们准备展示一个简单的情感分析。对于每条Stanford Sentiment Treebank数据集中的句子，将句子中全体词向量的平均值算作其特征值，并试图预测所提句子中的情感层次。短语的情感层次使用真实数值在原始数据集中表示，并被我们用以下5个类别来表示：

“超级消极”，“比较消极”，“中立”，“积极”，“非常积极”

对其分别进行从0到4的编码。在这一部分，你将学习用SGD来训练一个softmax回归机，并且通过不断地训练／调试验证来提高回归机的泛化能力。
(part a)（10分）
实现一个句子的特征生成器和softmax回归机。在代码q4_softmaxreg.py中完成对这个任务的实现，并运行命令python q4_ softmaxreg.py，对刚才完成的功能函数进行调试。

import numpy as np
import random
from cs224d.data_utils import *
from q1_softmax import softmax
from q2_gradcheck import gradcheck_naive
from q3_sgd import load_saved_params
def getSentenceFeature(tokens, wordVectors, sentence):
    """ 
        简单粗暴的处理方式，直接对句子的所有词向量求平均做为情感分析的输入
    """
    # 输入:                                                         
    # - tokens: a dictionary that maps words to their indices in the word vector list                                
    # - wordVectors: word vectors (each row) for all tokens 
    # - sentence: a list of words in the sentence of interest 
    # 输出:                                                         
    # - sentVector: feature vector for the sentence    
    sentVector = np.zeros((wordVectors.shape[1],))
    indices = [tokens[word] for word in sentence]
    sentVector = np.mean(wordVectors[indices, :], axis=0)
    return sentVector
def softmaxRegression(features, labels, weights, regularization = 0.0, nopredictions = False):
    """ Softmax Regression """
    # 完成加正则化的softmax回归        
    # 输入:                                                         
    # - features: feature vectors, each row is a feature vector 
    # - labels: labels corresponding to the feature vectors     
    # - weights: weights of the regressor                       
    # - regularization: L2 regularization constant              
    # 输出:                                                         
    # - cost: cost of the regressor                             
    # - grad: gradient of the regressor cost with respect to its weights                                               
    # - pred: label predictions of the regressor (you might find np.argmax helpful)  
    prob = softmax(features.dot(weights))
    if len(features.shape) > 1:
        N = features.shape[0]
    else:
        N = 1
    # A vectorized implementation of    1/N * sum(cross_entropy(x_i, y_i)) + 1/2*|w|^2
    cost = np.sum(-np.log(prob[range(N), labels])) / N 
    cost += 0.5 * regularization * np.sum(weights ** 2)
    grad = np.array(prob)
    grad[range(N), labels] -= 1.0
    grad = features.T.dot(grad) / N
    grad += regularization * weights
    if N > 1:
        pred = np.argmax(prob, axis=1)
    else:
        pred = np.argmax(prob)
    if nopredictions:
        return cost, grad
    else:
        return cost, grad, pred
def accuracy(y, yhat):
    """ Precision for classifier """
    assert(y.shape == yhat.shape)
    return np.sum(y == yhat) * 100.0 / y.size
def softmax_wrapper(features, labels, weights, regularization = 0.0):
    cost, grad, _ = softmaxRegression(features, labels, weights, 
        regularization)
    return cost, grad
def sanity_check():
    """
    Run python q4_softmaxreg.py.
    """
    random.seed(314159)
    np.random.seed(265)
    dataset = StanfordSentiment()
    tokens = dataset.tokens()
    nWords = len(tokens)
    _, wordVectors0, _ = load_saved_params()
    wordVectors = (wordVectors0[:nWords,:] + wordVectors0[nWords:,:])
    dimVectors = wordVectors.shape[1]
    dummy_weights = 0.1 * np.random.randn(dimVectors, 5)
    dummy_features = np.zeros((10, dimVectors))
    dummy_labels = np.zeros((10,), dtype=np.int32)    
    for i in xrange(10):
        words, dummy_labels[i] = dataset.getRandomTrainSentence()
        dummy_features[i, :] = getSentenceFeature(tokens, wordVectors, words)
    print "==== Gradient check for softmax regression ===="
    gradcheck_naive(lambda weights: softmaxRegression(dummy_features,
        dummy_labels, weights, 1.0, nopredictions = True), dummy_weights)
    print "\n=== Results ==="
    print softmaxRegression(dummy_features, dummy_labels, dummy_weights, 1.0)
if __name__ == "__main__":
    sanity_check()

(part b)（2分）
解释当分类语料少于三句时为什么要引入正则化（实际上在大多数机器学习任务都这样）。
解答：为了避免训练集的过拟合以及对未知数据集的适应力不佳现象。

(part c)（4分）
在q4 sentiment.py中完成超参数的实现代码从而获取“最佳”的惩罚因子。你是如何选择的？报告你的训练、调试和测试精度，在最多一个句子中校正你的超参数选定方法。 注释：在开发中应该获取至少30%的准确率。
解答：参考值为1e-4，在调试、开发和测试过程中准确率分别为29.1%，31.4％和27.6%

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from cs224d.data_utils import *
from q3_sgd import load_saved_params, sgd
from q4_softmaxreg import softmaxRegression, getSentenceFeature, accuracy, softmax_wrapper
# 试试不同的正则化系数，选最好的
REGULARIZATION = [0.0, 0.00001, 0.00003, 0.0001, 0.0003, 0.001, 0.003, 0.01]
# 载入数据集
dataset = StanfordSentiment()
tokens = dataset.tokens()
nWords = len(tokens)
# 载入预训练好的词向量 
_, wordVectors0, _ = load_saved_params()
wordVectors = (wordVectors0[:nWords,:] + wordVectors0[nWords:,:])
dimVectors = wordVectors.shape[1]
# 载入训练集
trainset = dataset.getTrainSentences()
nTrain = len(trainset)
trainFeatures = np.zeros((nTrain, dimVectors))
trainLabels = np.zeros((nTrain,), dtype=np.int32)
for i in xrange(nTrain):
    words, trainLabels[i] = trainset[i]
    trainFeatures[i, :] = getSentenceFeature(tokens, wordVectors, words)
# 准备好训练集的特征
devset = dataset.getDevSentences()
nDev = len(devset)
devFeatures = np.zeros((nDev, dimVectors))
devLabels = np.zeros((nDev,), dtype=np.int32)
for i in xrange(nDev):
    words, devLabels[i] = devset[i]
    devFeatures[i, :] = getSentenceFeature(tokens, wordVectors, words)
# 尝试不同的正则化系数
results = []
for regularization in REGULARIZATION:
    random.seed(3141)
    np.random.seed(59265)
    weights = np.random.randn(dimVectors, 5)
    print "Training for reg=%f" % regularization 
    # batch optimization
    weights = sgd(lambda weights: softmax_wrapper(trainFeatures, trainLabels, 
        weights, regularization), weights, 3.0, 10000, PRINT_EVERY=100)
    # 训练集上测效果
    _, _, pred = softmaxRegression(trainFeatures, trainLabels, weights)
    trainAccuracy = accuracy(trainLabels, pred)
    print "Train accuracy (%%): %f" % trainAccuracy
    # dev集合上看效果
    _, _, pred = softmaxRegression(devFeatures, devLabels, weights)
    devAccuracy = accuracy(devLabels, pred)
    print "Dev accuracy (%%): %f" % devAccuracy
    # 保存结果权重
    results.append({
        "reg" : regularization, 
        "weights" : weights, 
        "train" : trainAccuracy, 
        "dev" : devAccuracy})
# 输出准确率
print ""
print "=== Recap ==="
print "Reg\t\tTrain\t\tDev"
for result in results:
    print "%E\t%f\t%f" % (
        result["reg"], 
        result["train"], 
        result["dev"])
print ""
# 选最好的正则化系数
BEST_REGULARIZATION = None
BEST_WEIGHTS = None
best_dev = 0
for result in results:
    if result["dev"] > best_dev:
        best_dev = result["dev"]
        BEST_REGULARIZATION = result["reg"]
        BEST_WEIGHTS = result["weights"]
# Test your findings on the test set
testset = dataset.getTestSentences()
nTest = len(testset)
testFeatures = np.zeros((nTest, dimVectors))
testLabels = np.zeros((nTest,), dtype=np.int32)
for i in xrange(nTest):
    words, testLabels[i] = testset[i]
    testFeatures[i, :] = getSentenceFeature(tokens, wordVectors, words)
_, _, pred = softmaxRegression(testFeatures, testLabels, BEST_WEIGHTS)
print "Best regularization value: %E" % BEST_REGULARIZATION
print "Test accuracy (%%): %f" % accuracy(testLabels, pred)
# 画出正则化和准确率的关系
plt.plot(REGULARIZATION, [x["train"] for x in results])
plt.plot(REGULARIZATION, [x["dev"] for x in results])
plt.xscale('log')
plt.xlabel("regularization")
plt.ylabel("accuracy")
plt.legend(['train', 'dev'], loc='upper left')
plt.savefig("q4_reg_v_acc.png")
plt.show()

(d)（4分）绘出在训练和开发过程中的分类准确率，并在x轴使用对数刻度来对正则化值进行相关设置。这应该自动化的进行。包括在你作业中详细展示的坐标图q4_reg_acc.png。简明解释最多三个句子在此坐标图中的显示情况。
解答：