零基础入门深度学习(1) - 感知器

机器学习 深度学习入门

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无论即将到来的是大数据时代还是人工智能时代，亦或是传统行业使用人工智能在云上处理大数据的时代，作为一个有理想有追求的程序员，不懂深度学习（Deep Learning）这个超热的技术，会不会感觉马上就out了？现在救命稻草来了，《零基础入门深度学习》系列文章旨在讲帮助爱编程的你从零基础达到入门级水平。零基础意味着你不需要太多的数学知识，只要会写程序就行了，没错，这是专门为程序员写的文章。虽然文中会有很多公式你也许看不懂，但同时也会有更多的代码，程序员的你一定能看懂的（我周围是一群狂热的Clean Code程序员，所以我写的代码也不会很差）。

文章列表

零基础入门深度学习(1) - 感知器
零基础入门深度学习(2) - 线性单元和梯度下降
零基础入门深度学习(3) - 神经网络和反向传播算法
零基础入门深度学习(4) - 卷积神经网络
零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络
零基础入门深度学习(6) - 长短时记忆网络(LSTM)
零基础入门深度学习(7) - 递归神经网络

深度学习是啥

在人工智能领域，有一个方法叫机器学习。在机器学习这个方法里，有一类算法叫神经网络。神经网络如下图所示：

上图中每个圆圈都是一个神经元，每条线表示神经元之间的连接。我们可以看到，上面的神经元被分成了多层，层与层之间的神经元有连接，而层内之间的神经元没有连接。最左边的层叫做输入层，这层负责接收输入数据；最右边的层叫输出层，我们可以从这层获取神经网络输出数据。输入层和输出层之间的层叫做隐藏层。

隐藏层比较多（大于2）的神经网络叫做深度神经网络。而深度学习，就是使用深层架构（比如，深度神经网络）的机器学习方法。

那么深层网络和浅层网络相比有什么优势呢？简单来说深层网络能够表达力更强。事实上，一个仅有一个隐藏层的神经网络就能拟合任何一个函数，但是它需要很多很多的神经元。而深层网络用少得多的神经元就能拟合同样的函数。也就是为了拟合一个函数，要么使用一个浅而宽的网络，要么使用一个深而窄的网络。而后者往往更节约资源。

深层网络也有劣势，就是它不太容易训练。简单的说，你需要大量的数据，很多的技巧才能训练好一个深层网络。这是个手艺活。

感知器

看到这里，如果你还是一头雾水，那也是很正常的。为了理解神经网络，我们应该先理解神经网络的组成单元——神经元。神经元也叫做感知器。感知器算法在上个世纪50-70年代很流行，也成功解决了很多问题。并且，感知器算法也是非常简单的。

感知器的定义

下图是一个感知器：

可以看到，一个感知器有如下组成部分：

• 输入权值 一个感知器可以接收多个输入$(x_1, x_2,...,x_n\mid x_i\in\Re)$，每个输入上有一个权值$w_i\in\Re$，此外还有一个偏置项$b\in\Re$，就是上图中的$w_0$。

• 激活函数 感知器的激活函数可以有很多选择，比如我们可以选择下面这个阶跃函数$f$来作为激活函数：

$$f(z)=\begin{equation}\begin{cases}1\qquad z>0\\0\qquad otherwise\end{cases}\end{equation}$$

• 输出 感知器的输出由下面这个公式来计算

$$y=f(\mathrm{w}\bullet\mathrm{x}+b)\qquad 公式(1)$$

如果看完上面的公式一下子就晕了，不要紧，我们用一个简单的例子来帮助理解。

例子：用感知器实现and函数

我们设计一个感知器，让它来实现and运算。程序员都知道，and是一个二元函数（带有两个参数$x_1$和$x_2$），下面是它的真值表：

$x_1$	$x_2$	$y$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

为了计算方便，我们用0表示false，用1表示true。这没什么难理解的，对于C语言程序员来说，这是天经地义的。

我们令$w_1=0.5;w_2=0.5;b=-0.8$，而激活函数$f$就是前面写出来的阶跃函数，这时，感知器就相当于and函数。不明白？我们验算一下：

输入上面真值表的第一行，即$x_1=0;x_2=0$，那么根据公式(1)，计算输出：

$$\begin{align} y&=f(\mathrm{w}\bullet\mathrm{x}+b)\\ &=f(w_1x_1+w_2x_2+b)\\ &=f(0.5\times0+0.5\times0-0.8)\\ &=f(-0.8)\\ &=0 \end{align}$$
也就是当$x_1$$x_2$都为0的时候，$y$为0，这就是真值表的第一行。读者可以自行验证上述真值表的第二、三、四行。

例子：用感知器实现or函数

同样，我们也可以用感知器来实现or运算。仅仅需要把偏置项$b$的值设置为-0.3就可以了。我们验算一下，下面是or运算的真值表：

$x_1$	$x_2$	$y$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

我们来验算第二行，这时的输入是$x_1=0;x_2=1$，带入公式(1)：

$$\begin{align} y&=f(\mathrm{w}\bullet\mathrm{x}+b)\\ &=f(w_1x_1+w_2x_2+b)\\ &=f(0.5\times1+0.5\times0-0.3)\\ &=f(0.2)\\ &=1 \end{align}$$

也就是当$x_1=0;x_2=1$时，$y$为1，即or真值表第二行。读者可以自行验证其它行。

感知器还能做什么

事实上，感知器不仅仅能实现简单的布尔运算。它可以拟合任何的线性函数，任何线性分类或线性回归问题都可以用感知器来解决。前面的布尔运算可以看作是二分类问题，即给定一个输入，输出0（属于分类0）或1（属于分类1）。如下面所示，and运算是一个线性分类问题，即可以用一条直线把分类0（false，红叉表示）和分类1（true，绿点表示）分开。

然而，感知器却不能实现异或运算，如下图所示，异或运算不是线性的，你无法用一条直线把分类0和分类1分开。

感知器的训练

现在，你可能困惑前面的权重项和偏置项的值是如何获得的呢？这就要用到感知器训练算法：将权重项和偏置项初始化为0，然后，利用下面的感知器规则迭代的修改$w_i$和$b$，直到训练完成。

$$\begin{align} w_i&\gets w_i+\Delta w_i \\ b&\gets b+\Delta b \end{align}$$

其中:

$$\begin{align} \Delta w_i&=\eta(t-y)x_i \\ \Delta b&=\eta(t-y) \end{align}$$

$w_i$是与输入$x_i$对应的权重项，$b$是偏置项。事实上，可以把$b$看作是值永远为1的输入$x_b$所对应的权重。$t$是训练样本的实际值，一般称之为label。而$y$是感知器的输出值，它是根据公式(1)计算得出。$\eta$是一个称为学习速率的常数，其作用是控制每一步调整权的幅度。

每次从训练数据中取出一个样本的输入向量$\mathrm{x}$，使用感知器计算其输出$y$，再根据上面的规则来调整权重。每处理一个样本就调整一次权重。经过多轮迭代后（即全部的训练数据被反复处理多轮），就可以训练出感知器的权重，使之实现目标函数。

编程实战：实现感知器

完整代码请参考GitHub: https://github.com/hanbt/learn_dl/blob/master/perceptron.py (python2.7)

对于程序员来说，没有什么比亲自动手实现学得更快了，而且，很多时候一行代码抵得上千言万语。接下来我们就将实现一个感知器。

下面是一些说明：

• 使用python语言。python在机器学习领域用的很广泛，而且，写python程序真的很轻松。
• 面向对象编程。面向对象是特别好的管理复杂度的工具，应对复杂问题时，用面向对象设计方法很容易将复杂问题拆解为多个简单问题，从而解救我们的大脑。
• 没有使用numpy。numpy实现了很多基础算法，对于实现机器学习算法来说是个必备的工具。但为了降低读者理解的难度，下面的代码只用到了基本的python（省去您去学习numpy的时间）。

下面是感知器类的实现，非常简单。去掉注释只有27行，而且还包括为了美观（每行不超过60个字符）而增加的很多换行。

class Perceptron(object):
    def __init__(self, input_num, activator):
        '''
        初始化感知器，设置输入参数的个数，以及激活函数。
        激活函数的类型为double -> double
        '''
        self.activator = activator
        # 权重向量初始化为0
        self.weights = [0.0 for _ in range(input_num)]
        # 偏置项初始化为0
        self.bias = 0.0
    def __str__(self):
        '''
        打印学习到的权重、偏置项
        '''
        return 'weights\t:%s\nbias\t:%f\n' % (self.weights, self.bias)
    def predict(self, input_vec):
        '''
        输入向量，输出感知器的计算结果
        '''
        # 把input_vec[x1,x2,x3...]和weights[w1,w2,w3,...]打包在一起
        # 变成[(x1,w1),(x2,w2),(x3,w3),...]
        # 然后利用map函数计算[x1*w1, x2*w2, x3*w3]
        # 最后利用reduce求和
        return self.activator(
            reduce(lambda a, b: a + b,
                   map(lambda (x, w): x * w,  
                       zip(input_vec, self.weights))
                , 0.0) + self.bias)
    def train(self, input_vecs, labels, iteration, rate):
        '''
        输入训练数据：一组向量、与每个向量对应的label；以及训练轮数、学习率
        '''
        for i in range(iteration):
            self._one_iteration(input_vecs, labels, rate)
    def _one_iteration(self, input_vecs, labels, rate):
        '''
        一次迭代，把所有的训练数据过一遍
        '''
        # 把输入和输出打包在一起，成为样本的列表[(input_vec, label), ...]
        # 而每个训练样本是(input_vec, label)
        samples = zip(input_vecs, labels)
        # 对每个样本，按照感知器规则更新权重
        for (input_vec, label) in samples:
            # 计算感知器在当前权重下的输出
            output = self.predict(input_vec)
            # 更新权重
            self._update_weights(input_vec, output, label, rate)
    def _update_weights(self, input_vec, output, label, rate):
        '''
        按照感知器规则更新权重
        '''
        # 把input_vec[x1,x2,x3,...]和weights[w1,w2,w3,...]打包在一起
        # 变成[(x1,w1),(x2,w2),(x3,w3),...]
        # 然后利用感知器规则更新权重
        delta = label - output
        self.weights = map(
            lambda (x, w): w + rate * delta * x,
            zip(input_vec, self.weights))
        # 更新bias
        self.bias += rate * delta

接下来，我们利用这个感知器类去实现and函数。

def f(x):
    '''
    定义激活函数f
    '''
    return 1 if x > 0 else 0
def get_training_dataset():
    '''
    基于and真值表构建训练数据
    '''
    # 构建训练数据
    # 输入向量列表
    input_vecs = [[1,1], [0,0], [1,0], [0,1]]
    # 期望的输出列表，注意要与输入一一对应
    # [1,1] -> 1, [0,0] -> 0, [1,0] -> 0, [0,1] -> 0
    labels = [1, 0, 0, 0]
    return input_vecs, labels    
def train_and_perceptron():
    '''
    使用and真值表训练感知器
    '''
    # 创建感知器，输入参数个数为2（因为and是二元函数），激活函数为f
    p = Perceptron(2, f)
    # 训练，迭代10轮, 学习速率为0.1
    input_vecs, labels = get_training_dataset()
    p.train(input_vecs, labels, 10, 0.1)
    #返回训练好的感知器
    return p
if __name__ == '__main__': 
    # 训练and感知器
    and_perception = train_and_perceptron()
    # 打印训练获得的权重
    print and_perception
    # 测试
    print '1 and 1 = %d' % and_perception.predict([1, 1])
    print '0 and 0 = %d' % and_perception.predict([0, 0])
    print '1 and 0 = %d' % and_perception.predict([1, 0])
    print '0 and 1 = %d' % and_perception.predict([0, 1])

将上述程序保存为perceptron.py文件，通过命令行执行这个程序，其运行结果为：

神奇吧！感知器竟然完全实现了and函数。读者可以尝试一下利用感知器实现其它函数。

小结

终于看（写）到小结了...，大家都累了。对于零基础的你来说，走到这里应该已经很烧脑了吧。没关系，休息一下。值得高兴的是，你终于已经走出了深度学习入门的第一步，这是巨大的进步；坏消息是，这仅仅是最简单的部分，后面还有无数艰难险阻等着你。不过，你学的困难往往意味着别人学的也困难，掌握一门高门槛的技艺，进可糊口退可装逼，是很值得的。

下一篇文章，我们将讨论另外一种感知器：线性单元，并由此引出一种可能是最最重要的优化算法：梯度下降算法。

参考资料

1. Tom M. Mitchell, "机器学习", 曾华军等译, 机械工业出版社