积分

高数

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梳理张宇视频的知识点（涉及大量数学公式，电脑访问更佳）。张宇提出学好的两个重要思想——深刻理解和全面把握

深刻理解

1. 定积分（黎曼积分）定义

不像矩形，曲边梯形面积没法简单用公式得出，于是黎曼用无限分割的思想，对无限个矩形求和，得出了一个近似面积的定义式：

$$\sum_{1}^{\infty}f(x)dx$$
莱布尼兹使用符号$\int$，将上式等价写成：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$
黎曼提出，积分存在的两个前提是
1. 有限区间
2. $f(x)$ 在 [a,b] 上为有界函数

2. 反常积分（反黎曼积分）的定义

（1）由一个积分出发反驳黎曼的"有限区间"，最后利用极限得出 p-积分 在区间 $[1,+\infty]$ 上关于 敛散性 的重要结论
这个积分就是：

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\bigg|_{1}^{+\infty}=1$$

(这里应该有一个 $\frac{1}{x^2} 的图像$ )
（这里应该还有一个图像，解释黎曼因历史局限性，在没有极限的情况下提出有限空间）

无穷区间上的反常积分 含有无穷区间的表达方式包括：
$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$， $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$， $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$

无穷小定义：极限为 0 的函数
0 是函数，极限也是 0，所以 0 是无穷小，而且，0 是唯一一个与自变量的趋向无关的无穷小。
但无穷小不一定是 0，还包含很多，比如 $3(x-1)$ 是 x 趋于 1 的无穷小。

$$0\cdot{\infty}=(可能是一个常数)$$
比如 $$\lim_{x \to +\infty}x^2\cdot\frac{3}{x^2}=3$$
因为此时，称为无穷大的函数 $x^2$ 和无穷小 $\frac{1}{x^2}$ ，他们的趋近速度相同，所以相互抵消，极限为 3 。

而

$$\lim_{x \to +\infty}x^2\cdot\frac{3}{x^3}=0$$

无穷小 $\frac{1}{x^3}$ 的趋近速度更快，所以极限为 0。

同理

$$\lim_{x \to +\infty}x^2\cdot\frac{3}{x}=+\infty$$

由此，可以得出一个观点， $x^2$ 相当于无穷空间，那么如果无穷小趋向于 x轴 的速度够快，面积可能收敛（函数极限是一个常数）。

p-积分 重要结论：

$$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx \Bigg\{^{p\le1，发散}_{p>1，收敛}$$

（2）破坏黎曼的“$f(x) 在 [a,b] 上有界$”的条件，最后得出 p-积分 在区间 $[0，1]$ 上关于 敛散性 的重要结论

以下两个类型（无界函数的反常积分）的 $f(x)$ 都是无界的:

• $\int_{a}^{b}f(x)dx$，其中 $$\lim _{x \to {a^+}}f(x)=\infty$$ 比如 $\lim_{x \to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty$
• $\int_{a}^{b}f(x)dx$，其中 $$\lim _{x \to {b^-}}f(x)=\infty$$
  使得 $f(x)$ 无界的 a 和 b 点，叫做瑕点
  将 $+\infty$，$-\infty$，瑕点统称为奇（qi）点

p-积分 重要结论：

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx \Bigg\{^{p\ge1，发散}_{p<1，收敛}$$

• 无穷小的倒数是无穷大
• 无穷大，加不加常数都是无穷大，所以 $1+\infty$ 等价于 $\infty$

3. 定积分的精确定义

黎曼除了提出两个积分存在的前提，还提出若 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在，则可以：

• 在 $[a,b]$ 上任意切割
• 在每一段上任意取高

于是衍生出一个考点()：

1. 先 n 等分，$dx=\frac{b-a}{n}$
2. 取右端点高，则第 $i$ 段高的横坐标为 $a+\frac{b-a}{n}\cdot i$，高为 $f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i)$，那么和近似面积，近似和定义式为： $$\sum_{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i)\cdot\frac{b-a}{n}$$
   当 $n \to \infty$，对它求极限，得到面积： $$S=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i)\cdot\frac{b-a}{n}=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

!!取 $a=0,b=1$

$$原式=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\cdot\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx$$
得出的最后这个式子就是可以拿来解题的。
例【1】：
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}(sin\frac{1}{n}+2sin\frac{2}{n}+\dots+nsin\frac{n}{n})=?$$

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深刻理解的小结:

$$积分\Bigg\{_{定积分\Bigg\{_{前提}^{精确定义}}^{反常积分\Bigg\{_{定义}^{判敛方法（p-积分）}}$$

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全面把握

同类型题有各自的解决方法。以下列出的所有例题关于求和的极限 $\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}$ 也无法完全由定积分的精确定义求解，所以需要其他方法。

例【2】：

$$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+\frac{n+3}{n^2+9}+\dots+\frac{n+n}{n^2+n^2})$$
解决方法：凑定积分精确定义
例【3】： $$\lim_{n \to \infty}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\dots+\frac{n}{n^2+n})$$
分析：

1. 凑定积分的精确定义 失效
2. ！！！使用“夹逼准则”

$$y_{n}\le x_{n}\le z_{n}$$
$n \to \infty$，当 $y_{n} \to A 且 z_{n} \to A$ 则 $x_{n} \to A$

那么解题时，若 $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\dots+u_{n}, n \to \infty$,一般用

$$n\cdot u_{min}\le u_{1}+u_{2}+u_{3}+\dots+u_{n}\le n\cdot u_{max}$$

例【4】：

$$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\dots+\frac{n}{n^2+n+n})$$
分析：不同于例【3】，这一题分子和分母都在变，无法确定 $u_{min}和u_{max}$，所以不能使用上面那条公式。但方法还是夹逼准则，在分子和分母都变的情况下，只动分母不动分子。
把所有项的分子都变为 $n^2+n+1$，除了第一项不变，其他项都变大了，和比原来的大；把所有项的分子都变为 $n^2+n+n$，除了最后一项不变，其他项都变小了，和比原来的小。于是关键步骤写成：
$$\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+n+n}\le \sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2+n+i}\le \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+n+1}$$

例【5】：

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n}，x\ge 0$$

命题老师保证 $u_{i} \ge 0$，所以题目解题思路才能继续

分析：和无穷项一样，这一题有穷项，也使用夹逼准则，但是界限不一样，此题界限为：

$$1\cdot u_{max}\le u_{1}+u_{2}+\dots+u_{k}\le k\cdot u_{max}$$
此题k为3