@gongsheng
2018-03-23T14:49:09.000000Z
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高数
梳理张宇视频的知识点(涉及大量数学公式,电脑访问更佳)。张宇提出学好的两个重要思想——深刻理解和全面把握
不像矩形,曲边梯形面积没法简单用公式得出,于是黎曼用无限分割的思想,对无限个矩形求和,得出了一个近似面积的定义式:
(1)由一个积分出发反驳黎曼的"有限区间",最后利用极限得出 p-积分 在区间 上关于 敛散性 的重要结论
这个积分就是:
(这里应该有一个 )
(这里应该还有一个图像,解释黎曼因历史局限性,在没有极限的情况下提出有限空间)
无穷区间上的反常积分 含有无穷区间的表达方式包括:
, ,
无穷小定义:极限为 0 的函数
0 是函数,极限也是 0,所以 0 是无穷小,而且,0 是唯一一个与自变量的趋向无关的无穷小。
但无穷小不一定是 0,还包含很多,比如 是 x 趋于 1 的无穷小。
而
无穷小 的趋近速度更快,所以极限为 0。
同理
由此,可以得出一个观点, 相当于无穷空间,那么如果无穷小趋向于 x轴 的速度够快,面积可能收敛(函数极限是一个常数)。
p-积分 重要结论:
(2)破坏黎曼的“”的条件,最后得出 p-积分 在区间 上关于 敛散性 的重要结论
以下两个类型(无界函数的反常积分)的 都是无界的:
p-积分 重要结论:
- 无穷小的倒数是无穷大
- 无穷大,加不加常数都是无穷大,所以 等价于
黎曼除了提出两个积分存在的前提,还提出若 存在,则可以:
于是衍生出一个考点():
!!取
深刻理解的小结:
同类型题有各自的解决方法。以下列出的所有例题关于求和的极限 也无法完全由定积分的精确定义求解,所以需要其他方法。
例【2】:
,当 则
那么解题时,若 ,一般用
例【4】:
例【5】:
命题老师保证 ,所以题目解题思路才能继续
分析:和无穷项一样,这一题有穷项,也使用夹逼准则,但是界限不一样,此题界限为: