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@fsfzp888 2018-04-13T11:00:01.000000Z 字数 2247 阅读 2314

(四)矩阵的左右逆

线性代数 机器学习基础


本文主要是想总结如下问题:

  • 方阵的逆及其存在条件
  • 矩阵的左逆和右逆及其存在条件
  • 矩阵空间正交关系,即行空间,列空间,零空间,左零空间之间的关系

方阵的逆及其存在条件

前边的总结中,我们已经知道了当一个方阵存在逆矩阵的时候,这个逆矩阵不管是左乘还是右乘得到的结果都是。方阵的逆的定义可以看作是数字运算中倒数在矩阵上的一种扩展。毕竟就像是数字一样。对于方阵的逆,若

那么,B可以看作是的逆矩阵,而且由于都是方阵,所以不分左右。
从线性空间的角度来说,方阵的逆很好理解,的列向量进行线性变换,得到了单位矩阵。我们知道,线性变换只是对向量进行了线性组合,不会改变秩(),所以是列向量是满秩的,再结合前边对于行列秩的简要说明,可以知道就是满秩的矩阵。
所以一个方阵是否存在逆矩阵,完全就是看它是否是满秩的矩阵,这很好理解。
矩阵的秩,其实本质上是它的行/列向量所构成的空间的维度。

矩阵的左逆和右逆及其存在条件

对于一个的矩阵来说,假如有,那么的维度必然是,那么矩阵可以左乘于,同时得到吗?
对于一般矩阵来说,若

成立,那么就称的左逆矩阵,若
成立,那么就称的右逆矩阵。
这里边从直观上的定义出发,可能脑子里边又会不自觉地冒出两个问题:

  • 矩阵的左逆和右逆可以同时存在吗?
  • 矩阵的左逆和右逆存在的条件是什么?

就这些问题来说,其实本质是一样的。先从左逆来看,最直观的理解其实还是源于线性空间的概念。
如上式2所示,矩阵的行向量进行线性组合,最终得到了单位方阵,这说明了什么?
这只能说明的行向量必须是满秩的,也就是说的行空间的维度必须等于。同时反过来,也可以看到,如果一个矩阵的行空间的维度等同于其列数,那么毫无疑问,总是会有一个线性变换,通过左乘矩阵的形式,把它们依次组合成单位向量,所以有

所以说,若存在左逆,那么的行空间满秩。在线性代数中,一般除了关注于行或列空间,我们还会关注与其与之正交的空间的情况,正交来源于几何中线的垂直,所以英文也叫做,在几何上,任何一条线可以通过一个带有方向的向量表示,如果它们相互垂直,则会有

可以看到,通过点乘,两个向量若为0,那么就代表两个向量正交,而回归到这里边,对于等式
来说的任意向量所构成的线性空间实际上就是的行空间的正交空间,由于实际上这是在求解零解,所以也叫做零空间,所以

当一个矩阵存在左逆的时候,它的零空间只会存在零解,因为这个矩阵的行空间已经是全空间了。而且反过来,当零空间只有零向量的时候,也可以轻易反推出它的正交空间必然是全空间。
其实,这里边还隐藏了一个非常重要的特性,可能一般初次接触线性代数的人根本就不会去留意,实际上类似于这样的矩阵是非常重要的,前边已经讨论过了转置方面的内容,对于实对称矩阵的进一步的特性,以后会进行深入的总结。这里只来看看,假若的行空间满秩,会发生什么?
在这种情况下,只是把的行空间线性组合了一遍,成为了一个的矩阵,所以必然是可逆的。而从反方面来说,竟然存在一个线性变换,把一个矩阵的行空间进行线性组合后得到一个可逆方阵,那么这个可逆方阵显然是满秩的,所以这个矩阵的行空间也是满秩的,所以有

当然,这里边好像绕来绕去,都在一个地方转,无非就是线性空间的本质。但是在中国课堂上,会从这个角度进行如此小白式的分析吗?不会,大多数时候过于重视公式的推导了,可能我比较学渣,我当时完全学不好。其实有些本质问题就应该往简单的地方阐述嘛,何必搞得那么复杂。我这里就只是从线性空间的角度简单的按照意识流的方式推导了一遍,可能不是很严谨,但是我觉得有这样直观的认识就够了。
对于矩阵右逆的情况,同理,其实也可以推导出

这些分析基本就是一样的,只不过这里换成了列空间,而且正交空间则是左零空间。
回归到上边的问题,就知道了,左逆和右逆一般不会同时存在,除非是方阵,而条件最主要的就是秩必须要满足对应的条件。

矩阵空间正交关系

一个矩阵可以定义四个向量空间,它们就是行空间,列空间,零空间和左零空间,行空间由矩阵的行向量构成的空间组成,列空间由矩阵的列向量构成的空间组成,而零空间和左零空间则分别和行/列空间正交,用一张图说明,实际上就是:

空间图

说是左零空间,实际上就是也可以看作是,只不过为了把解统一为列向量的形式,对原矩阵进行了转置而已。

作者 @fsfzp888
2018 年 04月 01日

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