(二)矩阵的转置

线性代数 机器学习基础

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关于矩阵的转置，有两个非常重要的事实值得注意，它们的理解也很直观。那就是通常若

$$P=A^{T}A$$ $$Q=AA^{T}$$ 那么，$P$和$Q$一定会是对称矩阵。而且对于转置矩阵，有 $$(AA^{T})^{T}=AA^{T}$$ $$(A^{T}A)^{T}=A^{T}A$$ 上边的两个等式，实际上可以通过 $$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$ 来得到。

可能很多人在一开始学习矩阵的转置的时候都没有什么直观的认识，对于它们的证明也会认为也许比较复杂，但是实际上，上述等式的正确性很好理解，首先来看为什么一个矩阵和它的转置的乘积总是一个对称矩阵？
对于矩阵$A^{T}A$来说，它的任意一个元素$a_{ij}$实际上是$A$的第$i$列和$A$的第$j$列对应元素相乘并求和的结果，而$a_{ji}$则是$A$的第$j$列和第$i$列相乘的求和的结果，从这个角度来看，显然有

$$a_{ij}=a_{ji}$$ 从而一个矩阵若何它的转置相乘，不管是左乘还是右乘，最终都会得到一个对称矩阵。
同理，对于$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$的理解也一样，矩阵$(AB)^{T}$的任意一个元素$p_{ij}$是矩阵$A$的第$j$行和$B$的第$i$列元素相乘求和的结果，而对于$B^{T}A^{T}$矩阵的任意一个$q_{ij}$来说，是$B$的第$i$列和$A$的第$j$行的元素相乘求和后的结果，所以结论显而易见。

实际上，对于实对称矩阵来说，它有很多重要的性质，这些性质可以被认为是后续任何矩阵都有$SVD$等结论的依据和前提，这些内容将会在以后的文章中进行总结。这一篇总结主要回顾了矩阵转置性质的直观理解，类似于$AA^{T}$和$A^{T}A$形式的矩阵实际上还是挺重要的。

作者 @fsfzp888
2018 年 03月 31日