最小回文切割数

algorithm

迭代方法

• 在递归计算上述问题时，出现非常多的子问题。例如计算$f[i,j]$的时候，需要计算$f[i,k],f[k+1,j],k \in [i,j)$，同时计算$f[i,j+1]$的时候也是需要计算$f[i,k]$的。出现了重复的子问题，我们可以通过列表来缓存这些子问题。

$$f[i,j] = min_{k=i}^{j-1}\{f[i,k] + f[k+1,j]\};$$
- 初始条件$f[i,i] = 0$，$f[i,j] = 0, s[i,j]$是回文串
- 可以从最小子串开始计算，即长度为1的子串。

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// 是否是回文的判断
int isPaline(string& s, int i, int j)
{
    int r = 1;
    while (i < j) {
        if (s[i] == s[j]) {
            i++;
            j--;
        } else {
            r = 0;
            break;
        }
    }
    return r;
}
int mincut(string s)
{
    int n = s.size();
    vector<vector<int>> pl(n, vector<int>(n, 0));
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, n));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        pl[i][i] = 1;
        dp[i][i] = 0;
    }
    // 计算回文字符串
    for (int l = 1; l < n; l++) {
        for (int i = 0; i < n - l; i++) {
            int j = i + l;
            pl[i][j] = isPaline(s, i, j);
        }
    }
    // 计算最小切割数
    for (int l = 1; l < n; l++) {
        for (int i = 0; i < n - l; i++) {
            int j = i + l;
            if (pl[i][j] == 1) {
                dp[i][j] = 0;
                continue;
            }
            for (int k = i; k < j; k++) {
                int cut_cost = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + 1;
                dp[i][j] = min(dp[i][j], cut_cost);
            }
        }
    }
    return dp[0][n - 1];
}
int main()
{
    string s("helloworld");
    cin >> s;
    int r = mincut(s);
    cout << s << endl;
    cout << s.size() << endl;
    cout << r << endl;
}

• 时间复杂度：$O(n^3)$
• 空间复杂度：$O(n^2)$