@KirinBill 2018-03-27T20:42:15.000000Z 字数 18697 阅读 2101

DP优化——斜率优化

动态规划

目录

DP优化——斜率优化

思想

例题：[HNOI 2008] 玩具装箱

练习

普通斜率优化

二分不单调决策

CDQ分治维护凸壳

思想

在一些DP的题目中，朴素的DP方程往往需要枚举每一个之前可转移过来的状态来取最优转移，这在复杂度上是不允许的；
斜率优化就是通过将DP方程展开、化简形成一个形如 $dp(i)=\min\{a(j)\times b(i)+c(j)+d(i)\}$ 的式子，其中 $d(i)$ 是无论怎么决策都需要加上的东西，那其实可以拿到 $\min$ 式子外面；
这样，如果把 $a(j)$ 看做直线的斜率， $c(j)$ 看做直线的纵截距，那么之前的每个状态 $j$ 都可以看做是一个一次函数，也就是直线了；
把 $b(i)$ 视为自变量，那么我们如果维护之前的 $j$ 形成的上/下凸壳（也就是极值或者最优决策集合），每次带入 $b(i)$ 就可以迅速转移了；
这就是所谓的斜率优化——利用类似直线斜率的东西来优化DP转移复杂度；
我们以一道经典题为例看一下具体的操作：

例题：[HNOI 2008] 玩具装箱

考虑最朴素的DP方程：

$dp(i)=\min_{j=0}^{i-1}\left\{dp(j)+\left[i-(j+1)+\sum_{k=j+1}^i c_k-l\right]^2\right\}$
对于那个 $\sum$ ，显然我们可以用前缀和优化一下（设 $sum(i)=\sum_{j=1}^i c_j$ ），而我们还可以用一个小技巧：令 $l'=l+1$ ，这样式子里面就没有除了 $l$ 的常数项，比较好看；
现在DP方程变为了： $dp(i)=\min_{j=0}^{i-1}\{dp(j)+(sum(i)-sum(j)+i-j-l)^2\}$
注意到有一个形式相同的部分： $sum(i)+i$ ，令其为 $k(i)$ ；
接下来将式子完全展开并分为三部分：与 $i,j$ 都有关的，只与 $j$ 有关的，只与 $i$ 有关的（这部分拆到 $\min$ 式子外面，与决策无关）；

$斜率自变量纵截距与决策无关的值$
$dp(i)=\min_{j=0}^{i-1}\{\underbrace{-2k(j)}_{斜率a(j)}\underbrace{k(i)}_{自变量b(i)}+\underbrace{k^2(j)+2l \times k(j)+dp(j)}_{纵截距c(j)}\}+\underbrace{(k(i)-l)^2}_{与决策无关的值d(i)}$
考虑到我们维护的凸壳就是最优决策集合，那么每次将当前的 $i$ 带入求出最小值后将 $i$ 代表的直线加入凸壳即可，如果维护凸壳的复杂度是 $O(x)$ 的话总复杂度就降到了 $O(nx)$ ，因为转移由 $O(n)$ 变成了 $O(1)$ ；

观察发现斜率 $-2k(j)$ 是单调递减的（前缀和 $s(j)$ 和下标 $j$ 都是单调递增的），画个图可以知道，我们维护的是下凸壳（维护上下凸壳应具体情况具体分析），每次只需要删之前斜率最小（斜率是负的，从队首到队尾大小单调递减）的那一些就可以了；
又由于自变量 $k(i)$ 单调递增，我们可以用双端队列维护下凸壳，从队首到队尾斜率单调递减，具体过程如下：
1. 如果自变量 $k(i)$ 在直线 $dq_{head}$ 与直线 $dq_{head+1}$ 交点的右侧，说明直线 $dq_{head}$ 以后都没有用了，可以弹出。实现的话比较一下 $dq_{head}$ 和 $dq_{head+1}$ 两个决策谁更优就好了；
2. 加入的直线 $line_i$ 与直线 $dq_{tail-1}$ 的交点在直线 $dq_{tail}$ 与直线 $dq_{tail-1}$ 的交点左侧，则要弹出 $dq_{tail}$ ，因为它被顶到凸壳上面了；
3. 交点在右侧的话就不需要删除了；
4. 对于加入直线时具体弹哪种直线，具体问题画个图看一下就好了；
这样的话，维护凸壳的均摊复杂度就是 $O(1)$ 的了，于是这题总复杂度就由 $O(n^2)$ 降到了 $O(n)$

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=50005;
int n,l;
long long k[MAXN],dp[MAXN];
inline long long sqr(register long long x){return x*x;}
//intercept
inline long long y_itcpt(int i){
    return sqr(k[i])+(l*k[i]<<1)+dp[i];
}
inline long long slope(int i){return -(k[i]<<1);}
inline long long cal(int i,int j){
    return slope(j)*k[i]+y_itcpt(j);
}
//intersection
inline double itsct(int i,int j){
    return (double)(y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline long long slopeDP(){
    static int dq[MAXN];
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(head<tail && cal(i,dq[head])>=cal(i,dq[head+1]))
            ++head;
        dp[i]=cal(i,dq[head])+sqr(k[i]-l);
        while(head<tail && itsct(i,dq[tail-1])<=itsct(dq[tail],dq[tail-1]))
            --tail;
        dq[++tail]=i;
    }
    return dp[n];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&l);
    ++l;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&k[i]);
        k[i]+=k[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        k[i]+=i;
    printf("%lld",slopeDP());
    return 0;
}

练习

普通斜率优化

1.[BZOJ 1597] 土地购买

这题和例题有点像，但是考虑到不需要连续购买一段土地，我们需要先变一下形；
显然，若存在 $a_i \leq a_j,b_i \leq b_j$ 则 $i$ 一定和 $j$ 一起买最优，我们可以把这种 $i$ 都忽略掉；
而且，如果我们按照 $a$ 为第一关键字、 $b$ 为第二关键字排序，可以发现 $a$ 是升序的而 $b$ 是降序的（反证法易得若存在不满足这样的土地，意味着它一定是上述的 $i$ 那样的，已经忽略了）；
现在贪心的想一下，如果我们在这个顺序下买不连续的一段一定不优。因为代价是 $a_{max}\times b_{max}$ ，所以如果跳着，中间一个不影响 $a_{max},b_{max}$ 的土地会被忽略，一定不比把它加进去一起买更优；
那么现在问题就是把序列分成若干段，每段的代价是 $a_{max},b_{max}$ ，求最小代价和；
不难写出DP方程： $dp(i)=\min_{j=0}^{i-1}\left\{dp(j)+\max_{k=j+1}^{i}a_k \times\max_{k=j+1}^{i}b_k\right\}$
又有刚刚的性质可以 $O(1)$ 得出 $a,b$ 最值，那么有 $dp(i)=\min_{j=0}^{i-1}\{dp(j)+a_i \times b_{j+1}\}$ ， $b_{j+1}$ 为直线 $j$ 的斜率，按照套路就切了。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using std::sort;
const int MAXN=50005;
int n;
long long dp[MAXN];
struct square{
    int a,b;
    static bool cmp_ab(const square &a,const square &b){
        return a.a<b.a || (a.a==b.a && a.b<b.b);
    }
}field[MAXN],tmp[MAXN];
inline int slope(int i){return field[i+1].b;}
inline long long y_itcpt(int i){return dp[i];}
inline long long cal(int i,int j){
    return (long long)slope(j)*field[i].a+y_itcpt(j);
}
inline double itsct(int i,int j){
    return (double)(y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline long long slopeDP(){
    static int dq[MAXN];
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(head<tail && cal(i,dq[head])>=cal(i,dq[head+1]))
            ++head;
        dp[i]=cal(i,dq[head]);
        while(head<tail && itsct(i,dq[tail-1])<=itsct(dq[tail],dq[tail-1]))
            --tail;
        dq[++tail]=i;
    }
    return dp[n];
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d%d",&tmp[i].a,&tmp[i].b);
    sort(tmp+1,tmp+n+1,square::cmp_ab);
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(cnt && field[cnt].b<=tmp[i].b)
            --cnt;
        field[++cnt]=tmp[i];
    }
    n=cnt;
    printf("%lld",slopeDP());
    return 0;
}

2.[ZJOI 2007] 仓库建设

这题的话没法那么裸的用前缀和了，所以需要三个值到山脚的距离 $dis(i)$ 、物品个数前缀和 $sum(i)$ 以及带权物品个数前缀和 $sum\_dis(i)=\sum_{j=1}^i p_j \times dis(j)$ ；
那么：

$\begin{eqnarray*} dp(i) &=& \min_{j=0}^{i-1}\{dp(j)+sum\_dis(i)-sum\_dis(j)-dis(i)\times(sum(i)-sum(j))\}+c_i \\ &=& \min_{j=0}^{i-1}\{sum(j)\times dis(i)+dp(j)-sum\_dis(j)\}+sum\_dis(i)-dis(i)\times sum(i)+c_i \end{eqnarray*}$

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=1000005;
int n;
int dis[MAXN],c[MAXN],p[MAXN];
long long sum[MAXN],sum_dis[MAXN],dp[MAXN];
inline long long slope(int i){return sum[i];}
inline long long y_itcpt(int i){return dp[i]-sum_dis[i];}
inline long long cal(int i,int j){
    return slope(j)*dis[i]+y_itcpt(j);
}
inline double itsct(int i,int j){
    return (double)(y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline long long slopeDP(){
    static int dq[MAXN];
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(head<tail && cal(i,dq[head])>=cal(i,dq[head+1]))
            ++head;
        dp[i]=cal(i,dq[head])+c[i]-dis[i]*sum[i]+sum_dis[i];
        while(head<tail && itsct(i,dq[tail-1])>=itsct(dq[tail],dq[tail-1]))
            --tail;
        dq[++tail]=i;
    }
    return dp[n];
}
inline void pre_cal(){
    for(int i=1;i<=n;++i){
        dis[i]=dis[n]-dis[i];
        sum[i]=sum[i-1]+p[i];
        sum_dis[i]=sum_dis[i-1]+(long long)p[i]*dis[i];
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d%d%d",&dis[i],&p[i],&c[i]);
    pre_cal();
    printf("%lld",slopeDP());
    return 0;
}

3.[BZOJ 3437]小P的牧场

和上题几乎一样，不多说了。。。
设 $dis(i)$ 表示 $i$ 到 $n$ 的距离，那么 $dis(i)=n-i$ ， $sum(i)=\sum_{j=1}^i b_j$ ， $sum\_dis(i)=\sum_{j=1}^i b_j \times dis(j)$

$\begin{eqnarray*} dp(i) &=& \min_{j=0}^{i-1}\{dp(j)+sum\_dis(i)-sum\_dis(j)-dis(i)\times(sum(i)-sum(j))\}+a_i \\ &=& \min_{j=0}^{i-1}\{sum(j)\times(n-i)+dp(j)-sum\_dis(j)\}+sum\_dis(i)-(n-i)\times sum(i)+a_i \end{eqnarray*}$

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=1000005;
int n;
int a[MAXN],b[MAXN];
long long sum[MAXN],sum_dis[MAXN],dp[MAXN];
inline long long slope(int i){return sum[i];}
inline long long y_itcpt(int i){
    return dp[i]-sum_dis[i];
}
inline long long cal(int i,int j){
    return slope(j)*(n-i)+y_itcpt(j);
}
inline double itsct(int i,int j){
    return (double)(y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline long long slopeDP(){
    static int dq[MAXN];
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(head<tail && cal(i,dq[head])>=cal(i,dq[head+1]))
            ++head;
        dp[i]=cal(i,dq[head])+sum_dis[i]-(n-i)*sum[i]+a[i];
        while(head<tail && itsct(i,dq[tail-1])>=itsct(dq[tail],dq[tail-1]))
            --tail;
        dq[++tail]=i;
    }
    return dp[n];
}
inline void pre_cal(){
    for(int i=1;i<=n;++i){
        sum[i]=sum[i-1]+b[i];
        sum_dis[i]=sum_dis[i-1]+(long long)(n-i)*b[i];
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&b[i]);
    pre_cal();
    printf("%lld",slopeDP());
    return 0;
}

4.[BZOJ 3156] 防御准备

这题就是上面两题的简化版。。。
设 $dis(i)$ 为 $i$ 到 $n$ 的距离， $sum\_dis(i)=\sum_{j=1}^i dis(j)$ ，那么：

$考虑到所以，是个等差数列求和，$
$\begin{eqnarray*} dp(i) &=& \min_{j=0}^{i-1}\{dp(j)+sum\_dis(i)-sum\_dis(j)+(i-j)\times dis(i)\} \\ 考虑到dis(i)&=&n-i，sum\_dis(i)是个等差数列求和，\\ 所以dp(i) &=& \min_{j=0}^{i-1}\{-ji+dp(j)+\frac{j^2+j}{2}\}+\frac{i^2-i}{2}+a_i \end{eqnarray*}$

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=1e6+5;
int n;
int a[MAXN];
long long dp[MAXN];
inline long long sqr(register long long x){return x*x;}
inline int slope(int i){return -i;}
inline long long y_itcpt(int i){
    return dp[i]+(sqr(i)+i>>1);
}
inline long long cal(int i,int j){
    return (long long)slope(j)*i+y_itcpt(j);
}
inline double itsct(int i,int j){
    return (double)(y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline long long slopeDP(){
    static int dq[MAXN];
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(head<tail && cal(i,dq[head])>=cal(i,dq[head+1]))
            ++head;
        dp[i]=cal(i,dq[head])+(sqr(i)-i>>1)+a[i];
        while(head<tail && itsct(i,dq[tail-1])<=itsct(dq[tail],dq[tail-1]))
            --tail;
        dq[++tail]=i;
    }
    return dp[n];
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    printf("%lld",slopeDP());
    return 0;
}

5.[APIO 2010] 特别行动队

这题和例题十分相像，就不多说了；
DP方程为（ $sum(i)$ 为前缀和）：

$\begin{eqnarray*} dp(i) &=& \max_{j=0}^{i-1}\{dp(j)+a(sum(i)-sum(j))^2+b(sum(i)-sum(j))+c\} \\ &=& \max_{j=0}^{i-1}\{-2a \times sum(j)\times sum(i)+dp(j)+a \times sum^2(j)-b \times sum(j)\}+a \times sum^2(i)+b \times sum(i)+c \end{eqnarray*}$

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=1000005;
int n,a,b,c;
int sum[MAXN];
long long dp[MAXN];
inline long long sqr(register long long x){return x*x;}
inline long long slope(int i){
    return (long long)-(a<<1)*sum[i];
}
inline long long y_itcpt(int i){
    return dp[i]+a*sqr(sum[i])-(long long)b*sum[i];
}
inline long long cal(int i,int j){
    return slope(j)*sum[i]+y_itcpt(j);
}
inline double itsct(int i,int j){
    return (double)(y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline long long slopeDP(){
    static int dq[MAXN];
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(head<tail && cal(i,dq[head])<=cal(i,dq[head+1]))
            ++head;
        dp[i]=cal(i,dq[head])+a*sqr(sum[i])+(long long)b*sum[i]+c;
        while(head<tail && itsct(i,dq[tail-1])<=itsct(dq[tail],dq[tail-1]))
            --tail;
        dq[++tail]=i;
    }
    return dp[n];
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    printf("%lld",slopeDP());
    return 0;
}

6.[SDOI 2016] 征途

SD真是个数学强省Orz
考虑到直接按方差定义式是不可做的（DP的话不可能从前 $i$ 个的平均数怎么一下转移到前 $i+1$ 个），我们变形一下（为什么有神佬说这是初中数学公式，本蒟蒻根本没学过...）：

$题目要输出，所以$
$\begin{eqnarray*} ans &=& \frac{\sum_{i=1}^m(x_i-\overline{x})^2}{m} \\ 题目要输出ans \times m^2，所以 ans \times m^2 &=& m\sum_{i=1}^n x_i^2 -2m\overline{x}\sum_{i=1}^m x_i+m\sum_{i=1}^m \overline{x}^2 \\ &=& m\sum_{i=1}^n x_i^2 -2sum^2+m\sum_{i=1}^m \left(\frac{sum}{m}\right)^2 \\ &=& m\sum_{i=1}^n x_i^2-sum^2 \end{eqnarray*}$
所以，这题其实是要最小化 $\sum_{i=1}^n x_i^2$ ，那么很容易得到DP方程：

$\begin{eqnarray*} dp(i,j) &=& \min_{k=i-1}^{j-1}\{dp(i-1,k)+(sum(j)-sum(k))^2\} \\ &=& \min_{k=i-1}^{j-1}\{-2sum(k)\times sum(j)+dp(i-1,k)+sum^2(k)\}+sum^2(j) \\ \end{eqnarray*}$
而且有个细节，就是从 $dp(0,k)$ 转移到 $dp(1,j)$ 时会挂掉，因为前 $k$ 个数分 $0$ 段，这根本就不存在，所以应该先求出所有 $dp(1,j)$ ，从 $i=2$ 开始DP，而且要注意，这里的双端队列其实放的是 $dp(i-1,k)$ 所代表的直线，所以每层DP前应该在双端队列里加入一个 $i-1$ 。

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=3005;
int n,m;
int sum[MAXN];
long long dp[MAXN][MAXN];
inline long long sqr(register long long x){return x*x;}
inline long long slope(int i){return -(sum[i]<<1);}
inline long long y_itcpt(int i,int k){
    return dp[k][i]+sqr(sum[i]);
}
inline long long cal(int i,int j,int k){
    return slope(j)*sum[i]+y_itcpt(j,k);
}
inline double itsct(int i,int j,int k){
    return (double)(y_itcpt(j,k)-y_itcpt(i,k))/(slope(i)-slope(j));
}
inline long long slopeDP(){
    static int dq[MAXN];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        dp[1][i]=sqr(sum[i]);
    for(int i=2,head,tail;i<=m;++i){
        head=tail=0,dq[0]=i-1;
        for(int j=i;j<=n;++j){
            while(head<tail && cal(j,dq[head],i-1)>=cal(j,dq[head+1],i-1))
                ++head;
            dp[i][j]=cal(j,dq[head],i-1)+sqr(sum[j]);
            while(head<tail && itsct(j,dq[tail-1],i-1)<=itsct(dq[tail],dq[tail-1],i-1))
                --tail;
            dq[++tail]=j;
        }
    }
    return m*dp[m][n]-sqr(sum[n]);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    printf("%lld",slopeDP());
    return 0;
}

7.[APIO 2014] 序列分割

这题我们还考虑像上一题一样，设 $dp(i,j)$ 为前 $i$ 个进行了 $j$ 次操作的最大价值，但是乍一看，即使我们确定了分割点，不同的操作顺序也会影响答案，这就没法像之前那样DP了；
其实不然，考虑一下每次分割时的价值代表什么：分割开的两边的元素两两配对，产生的价值是它们的值的乘积。那么只要分割点确定了，产生的价值就确定了，与操作顺序无关；
那么有：

$\begin{eqnarray*} dp(i,j) &=& \max_{k=i}^{j-1}\{dp(i-1,k)+(sum(j)-sum(k))^2\} \\ &=& \max_{k=i}^{j-1}\{sum(k)\times sum(j)+dp(i-1,k)-sum^2(k)\} \end{eqnarray*}$
而且和上题不同的是， $dp(0,k)$ 确实都是 $0$ ，因为不操作就是没有价值，所以直接DP就可以了；
但是这题卡空间，而每次转移只要上一层的DP值，所以开滚动数组好了；
有一点需要注意一下，就是这题的序列值可能为，那么不是单调递增了，只是单调不降了，所以会有加入平行直线的情况，这时需要特判一下，具体操作如下：
1. 按照正常的操作弹出 $dq_{tail}$ 的直线，因为这时的判断仍然是对的；
2. 加入新直线时如果和直线 $dq_{tail}$ 平行，那么不加入当前直线；
原题要求输出方案，那每次记录一下分割点位置，倒着走一遍就好了，注释掉的语句就是记录方案的；
话说都是原题，洛谷为什么数据这么少，UOJ非hack数据都几十个...

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=100005;
//const int MAXK=205;
int n,k;
int sum[MAXN];
//int pre[MAXK][MAXN];
long long dp[2][MAXN];
inline long long sqr(register long long x){return x*x;}
inline int slope(int i){return sum[i];}
inline long long y_itcpt(int i,int k){
    return dp[k&1][i]-sqr(sum[i]);
}
inline long long cal(int i,int j,int k){
    return (long long)slope(j)*sum[i]+y_itcpt(j,k);
}
inline double itsct(int i,int j,int k){
    return (double)(y_itcpt(j,k)-y_itcpt(i,k))/(slope(i)-slope(j));
}
inline long long slopeDP(){
    static int dq[MAXN];
    for(int i=1,head,tail;i<=k;++i){
        for(int j=1;j<=i;++j)
            dp[i&1][j]=0;
        head=tail=0,dq[0]=i;
        for(int j=i+1;j<=n;++j){
            while(head<tail && cal(j,dq[head],i-1)<=cal(j,dq[head+1],i-1))
                ++head;
            //pre[i][j]=dq[head];
            dp[i&1][j]=cal(j,dq[head],i-1);
            while(head<tail && itsct(j,dq[tail-1],i-1)<=itsct(dq[tail],dq[tail-1],i-1))
                --tail;
            if(slope(j)!=slope(dq[tail])) dq[++tail]=j;
        }
    }
    return dp[k&1][n];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    printf("%lld",slopeDP());
/*
    putchar('\n');
    for(int i=k,j=n;i;--i){
        j=pre[i][j];
        printf("%d ",j);
    }
*/
    return 0;
}

二分不单调决策

上面的练习都有一个共同的特点，就是自变量 $b(i)$ 是单调的，这样我们每次可以将双端队列的开头直线不断弹出，让对于当前自变量的最优决策在队首。然而有一些题比较坑，自变量并不单调，这时我们不能再像之前那样弹队首了，只能通过二分来查找对于当前自变量的最优决策了。

1.[SDOI 2012] 任务安排
BZOJ上题面不完整。。。

任务按标号从 $1$ ~ $n$ 的顺序分批完成，不是任意顺序。 $1 \leq n \leq 300000,0 \leq s \leq$ INT_MAX $,0\leq \mid t_i \mid,f_i \leq$ LLONG_MAX.

考虑到如果直接DP的话，会对后面造成影响（因为是按任务完成时刻计算的），不是无后效性的，我们需要将这个后效性通过一些方式消除；
不妨将每批任务对后面的影响转移到自身，那么DP方程就很好写了（ $sumt(i),sumf(i)$ 为前缀和）：

$\begin{eqnarray*} dp(i) &=& \min_{j=0}^{i-1}\{dp(j)+sumt(i)\times(sumf(i)-sumf(j))+s(sumf(n)-sumf(i))\} \\ &=& \min_{j=0}^{i-1}\{-sumf(j)\times sumt(i)+dp(j)-s \times sumf(j)\}+sumt(i)\times sumf(i)+s \times sumf(n) \end{eqnarray*}$
然而出题人硬是让时间可以倒流了，所以并不单调，我们不能弹了，deque变成stack了，但是怎么快速找到自变量对应的最优决策是哪条直线呢？其实这是可以二分的，因为相邻的每两条直线的交点都是最优决策直线改变的界限：
1. 二分的直线 $stk_{mid}$ 与上一条直线 $stk_{mid-1}$ 的交点在自变量 $sumt(i)$ 右侧。这时，说明 $stk_{[mid,top]}$ 肯定不是当前最优决策直线。
2. 二分的直线 $stk_{mid}$ 与上一条直线 $stk_{mid-1}$ 的交点在自变量 $sumt(i)$ 左侧。这时，说明 $stk_{[1,mid)}$ 肯定不是当前最优决策直线。
所以这题可以在 $O(n \log n)$ 的复杂度内解决了。

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=300005;
int n,s,top;
int stk[MAXN];
long long sumt[MAXN],sumf[MAXN],dp[MAXN];
inline long long slope(int i){return -sumf[i];}
inline long long y_itcpt(int i){
    return dp[i]-sumf[i]*s;
}
inline long long cal(int i,int j){
    return slope(j)*sumt[i]+y_itcpt(j);
}
inline double itsct(int i,int j){
    return (double)(y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline int bin_chop(int now){
    int l=1,r=top,mid;
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;
        if(itsct(stk[mid],stk[mid-1])<=sumt[now])
            l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return stk[r];
}
inline long long slopeDP(){
    for(int i=1;i<=n;++i){
        dp[i]=cal(i,bin_chop(i))+sumt[i]*sumf[i]+sumf[n]*s;
        while(top && itsct(i,stk[top-1])<=itsct(stk[top],stk[top-1]))
            --top;
        if(slope(i)!=slope(stk[top])) stk[++top]=i;
    }
    return dp[n];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lld%lld",&sumt[i],&sumf[i]);
        sumt[i]+=sumt[i-1],sumf[i]+=sumf[i-1];
    }
    printf("%lld",slopeDP());
    return 0;
}

2.[CEOI 2009] harbingers

之前的题都是序列上的DP，这题居然整到了树上，但是观察发现，每个点的DP转移只与它到根的一条链有关，所以还按套路做就行了（ $dis(i)$ 为 $i$ 到根的距离）：

$\begin{eqnarray*} dp(i) &=& \min_{j \in anc(i)}\{dp(j)+w_i+v_i(dis(i)-dis(j))\} \\ &=& \min_{j \in anc(i)}\{-dis(j)\times v_i+dp(j)\}+w_i+v_i \times dis(i) \end{eqnarray*}$
而这里的自变量不是那种前缀和之类的，没有单调性，所以要像上一题一样二分找到最优决策；
但是还有一点，正常的插入直线操作是均摊复杂度的，也就是如果在树上这样做，插入的总复杂度是 $O(\sum_{i=1}^n deep(i))$ 的，可能会被卡到 $O(n^2)$ ，因此不能这样插入了；
观察到，插入直线依然是有单调性的（每次只能删除最后的一段连续的直线），我们还二分就好了，这样总复杂度就是稳定的 $O(n \log n)$ 了。（注意，其实只要记录栈里被覆盖的那个点回溯时恢复就可以了，弹出去的不用全记录，不修改就可以了）

代码：

#include <cstdio>
const int MAXN=100005;
int n;
int v[MAXN],w[MAXN];
int he[MAXN],dis[MAXN];
int stk[MAXN];
long long dp[MAXN];
struct line{int to,nex,w;}ed[MAXN<<1];
inline void addE(int u,int v,int w){
    static int cnt;
    ed[++cnt]=(line){v,he[u],w};
    he[u]=cnt;
}
inline int slope(int i){return -dis[i];}
inline long long y_itcpt(int i){return dp[i];}
inline long long cal(int i,int j){
    return (long long)slope(j)*v[i]+dp[j];
}
inline double itsct(int i,int j){
    return (double)(y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline int bin_chop_ln(int now,int r){
    int l=1,mid;
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;
        if(itsct(stk[mid-1],stk[mid])<=v[now])
            l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return stk[r];
}
inline long long slopeDP(int i,int top){
    return cal(i,bin_chop_ln(i,top))+w[i]+(long long)v[i]*dis[i];
}
inline int bin_chop_top(int now,int r){
    int l=1,mid;
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;
        if(itsct(now,stk[mid-1])>itsct(stk[mid],stk[mid-1]))
            l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return r;
}
void treeDP(int u,int fa,int top){
    dp[u]=slopeDP(u,top);
    top=bin_chop_top(u,top);
    int back_cur=++top,pre=stk[top];
    stk[top]=u;
    for(int i=he[u],v;i;i=ed[i].nex){
        v=ed[i].to;
        if(v!=fa){
            dis[v]=dis[u]+ed[i].w;
            treeDP(v,u,top);
        }
    }
    stk[back_cur]=pre;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,u,v,w;i<n;++i){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addE(u,v,w),addE(v,u,w);
    }
    for(int i=2;i<=n;++i)
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    for(int i=he[1],v;i;i=ed[i].nex){
        v=ed[i].to;
        dis[v]=ed[i].w;
        treeDP(v,1,0);
    }
    for(int i=2;i<=n;++i){
        printf("%lld",dp[i]);
        if(i!=n) putchar(' '); //卡输出
    }
    return 0;
}

CDQ分治维护凸壳

上一个部分的题虽然自变量不单调了，但是直线斜率还是单调的，依然可以用双端队列或者栈维护。但是有些丧病的出题人把斜率也给搞的不单调了，这时只能用一些方法维护一个可以迅速从中间插入的凸壳了，传统方法是平衡树，但是那样代码量很大，常数也不小，而考虑到这里是可以离线维护的，我们可以用CDQ分治来解决（陈丹琪的论文就是用这个引入的Orz）。

1.[NOI 2007] 货币兑换

这题信息量很大，要仔细读题...而且如果没有题目下面的提示，真的很难想。。。
考虑到如果某一天卖出会赚钱，肯定是都卖了优。因为我们是DP（贪心有后效性，肯定不可做），所以可以枚举是哪一天卖的，所以如果卖出赚钱，肯定都卖了赚的多，留一部分不卖赚不了钱，这个策略是正确的。而买入同理；
那么我们设 $dp(i)$ 是到了第 $i$ 天最多可以赚多少钱， $dp_a(i)$ 和 $dp_b(i)$ 是到了第 $i$ 天最多可以有多少 $a,b$ 券；
那么我们可以得到朴素的DP方程（枚举哪一天卖完或者买入完）：

$\left\{\begin{aligned} dp(i) &= \max\left(\max_{j=0}^{i-1}dp(j),\max_{j=0}^{i-1}(a_i \times dp_a(j)+b_i \times dp_b(j))\right) \\ dp_b(i) &= \frac{dp(i)}{a_i \times rate_i+b_i} \\ dp_a(i) &= dq_b(i) \times rate_i \end{aligned}\right.$
其中第一个式子最外面的 $\max$ 可以去掉，因为只要每次求完 $dp(i)$ 再用 $dp(i-1)$ 更新一下就好了；
那么我们考虑怎么快速求 $\max_{j=0}^{i-1}(a_i \times dp_a(j)+b_i \times dp_b(j))$ ；
乍一看和之前斜率优化的形式不太相同，因为有两个 $a(j)\times b(i)$ 形式的部分，既然这样，我们想办法变形消去一个：

$\frac{dp(i)}{b(i)}=\max_{j=0}^{i-1}\left\{dp_a(j)\times\frac{a_i}{b_i}+dp_b(j)\right\}$
由于对于每个 $i$ ， $b(i)$ 是固定的，所以最大化 $\frac{dp(i)}{b(i)}$ 也就是最大化 $dp(i)$ ；
但是可以很明显发现，和都不单调，于是我们考虑通过排序消除一维影响，再通过分治消除另一维，额这就是CDQ分治嘛：
1. 将原序列按照自变量 $\frac{a_i}{b_i}$ 排序进行分治，这样可以避免在凸壳上二分寻找决策点；
2. 每次将分治的部分按照时间划分成 $[l,mid],(mid,r]$ 两部分，先递归解决左区间，保证解的合法性；
3. 之后将构造左区间直线的凸壳，由于划分时没有改变自变量 $\frac{a_i}{b_i}$ 的顺序，所以可以直接像普通斜率优化那样DP更新（因为每层分治都会更新一下）右区间的值，只是不把有区间的直线加入凸壳；
4. 继续递归更新右区间的解；
5. 最后考虑到左右区间都已经求出最终解，为了方便之后都 $r$ 右边的区间求解，将左右区间按照斜率 $dp_a(j)$ 归并排序；
6. 由于左区间每次都已经按照斜率 $dp_a(j)$ 归并排序过了，所以其实第3条的构造凸壳就是直接按照普通斜率优化的方法插入就可以了，不用再单独排序了；
7. 注意递归边界 $l=r$ 时，用第 $l-1$ 天的DP值来更新当前DP值，因为完整的DP方程还有一个求前缀最大值的部分；
考虑到每层分治其实就是扫三遍（划分、DP、归并排序），复杂度是 $O(n)$ 的，所以总复杂度是 $O(n \log n)$ ，但是常数和代码量不知道比平衡树小到哪里去了。。。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using std::sort;
using std::max;
const int MAXN=100005;
int n;
double a[MAXN],b[MAXN],rate[MAXN],ans[MAXN];
struct dp_arr{
    int id;
    double a,b,x;
    double *ans;
    static bool cmp_x(const dp_arr &a,const dp_arr &b){
        return a.x<b.x;
    }
}dp[MAXN];
inline double slope(int i){return dp[i].a;}
inline double y_itcpt(int i){return dp[i].b;}
inline double cal(int i,int j){
    return slope(j)*dp[i].x+y_itcpt(j);
}
inline double itsct(int i,int j){
    return (y_itcpt(j)-y_itcpt(i))/(slope(i)-slope(j));
}
inline void separate(int l,int r){
    static dp_arr tmp[MAXN];
    int mid=l+r>>1;
    for(int cur=l,lp=l,rp=mid+1;cur<=r;++cur){
        if(dp[cur].id<=mid) tmp[lp++]=dp[cur];
        else tmp[rp++]=dp[cur];
    }
    memcpy(dp+l,tmp+l,(r-l+1)*sizeof(dp_arr));
}
inline void slopeDP(int l,int r){
    static int dq[MAXN];
    int mid=l+r>>1;
    int head=0,tail=0;
    for(int i=l;i<=mid;++i){
        while(head<tail && itsct(i,dq[tail-1])<=itsct(dq[tail],dq[tail-1]))
            --tail;
        if(slope(i)!=slope(dq[tail])) dq[++tail]=i;
    }
    for(int i=mid+1;i<=r;++i){
        while(head<tail && cal(i,dq[head])<=cal(i,dq[head+1]))
            ++head;
        *dp[i].ans=max(*dp[i].ans,b[dp[i].id]*cal(i,dq[head]));
    }
}
void CDQ_DC(int l,int r){
    static dp_arr tmp[MAXN];
    if(l==r){
        //其实l=dp[l].id，但是现在dp[l-1].id可能不等于l了
        //所以这样写
        *dp[l].ans=max(*dp[l].ans,ans[dp[l].id-1]);
        dp[l].b=*dp[l].ans/(a[l]*rate[l]+b[l]);
        dp[l].a=dp[l].b*rate[l];
        return;
    }
    separate(l,r);
    int mid=l+r>>1;
    CDQ_DC(l,mid);
    slopeDP(l,r);
    CDQ_DC(mid+1,r);
    for(int cur=l,lp=l,rp=mid+1;cur<=r;++cur){
        if(rp>r || (lp<=mid && dp[lp].a<=dp[rp].a))
            tmp[cur]=dp[lp++];
        else tmp[cur]=dp[rp++];
    }
    memcpy(dp+l,tmp+l,(r-l+1)*sizeof(dp_arr));
}
int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&ans[0]);
    dp[0].ans=&ans[0];
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&rate[i]);
        dp[i].x=a[i]/b[i];
        dp[i].id=i,dp[i].ans=&ans[i];
    }
    sort(dp+1,dp+n+1,dp_arr::cmp_x);
    CDQ_DC(1,n);
    printf("%.3lf",ans[n]);
    return 0;
}