时间序列分析2.平稳时间序列模型

R DataScience 时间序列

---

1. 一般线性过程

令$\{Y_t\}$表示一个观测到的时间序列，$\{e_t\}$表示一个白噪声序列（即一列均值为零的独立同分布的随机变量，其中$E(e_t)=0,D(e_t)=\sigma_e^2$），则在一般线性过程中，$\{Y_t\}$可以表示为白噪声序列的加权线性组合：

$$Y_t=e_t+\varphi _1e_{t-1}+\varphi_2e_{t-2}+\varphi_3e_{t-3}+\varphi_4e_{t-4}+\cdots$$ 即：
$$Y_t=\sum_{i=0}^{\infty }\varphi _ie_{t-i}$$
该表达式是一个无穷级数，对加权项做一下限制：$\sum_{i=0}^{\infty}\varphi_i^2<\infty$表达式才有数学意义，其中$\varphi_0=1$。
通常，令$\varphi_j=\phi ^j$其中$\phi \in [-1,1]$
则:$Y_t=e_t+\phi e_{t-1}+\phi^2 e_{t-2}+\phi^3 e_{t-3}+\phi^4 e_{t-4}+\cdots$
$E(Y_t)=E(e_t+\phi e_{t-1}+\phi^2 e_{t-2}+\phi^3 e_{t-3}+\cdots)=0$
$\begin{align*} D(Y_t) &= D(e_t+\phi e_{t-1}+\phi^2 e_{t-2}+\phi^3 e_{t-3}+\cdots)\\ &= D(e_t)+D(\phi e_{t-1})+D(\phi^2 e_{t-2})+D(\phi^3 e_{t-3})+\cdots\\ &= \sigma_e^2(1+\phi^2+\phi^4+\cdots)\\ &= \frac{\sigma_e^2}{1-\phi^2} \end{align*}$
注：上式最后一步，是通过对几何级数求和[1]
$\begin{align*} Cov(Y_t,Y_{t-1}) &= Cov(e_t+\phi e_{t-1}+\phi^2 e_{t-2}+\phi^3 e_{t-3}+..., e_{t-1}+\phi e_{t-2}+\phi^2 e_{t-3}+\phi^3 e_{t-4}+...)\\ &= Cov(\phi e_{t-1},e_{t-1}) + Cov(\phi^2 e_{t-2},\phi e_{t-2}) + Cov(\phi^3 e_{t-3},\phi^2 e_{t-3}) + Cov(\phi^4 e_{t-4},\phi^3 e_{t-4}) + \cdots\\ &= \phi D(e_{t-1})+\phi^3 D(e_{t-2})+\phi^5 D(e_{t-3})+\phi^7 D(e_{t-4})+\cdots\\ &= \phi \sigma_e^2(1+\phi^2+\phi^4+\phi^6+\cdots)\\ &= \frac{\phi \sigma_e^2}{1-\phi^2} \end{align*}$
$Corr(Y_t,Y_{t-1}) = \frac{Cov(Y_t,Y_{t-1})}{\sqrt{D(Y_t)D(Y_{t-1})}} = \left [ \frac{\phi \sigma_e^2}{1-\sigma_e^2} \right ]/\left [ \frac{\sigma_e^2}{1-\sigma_e^2} \right ]=\phi$
同理可得：
$Cov(Y_t,Y_{t-k})=\frac{\phi^k \sigma_e^2}{1-\phi^2}$
$Corr(Y_t,Y_{t-k})=\phi^k$
由上可知，自协方差结构只与时间间隔有关，与具体的时间值无关，所以该过程为平稳过程。
对于一般的线性过程
$$Y_t = \mu+e_t+\varphi e_{t-1}+\varphi^2e_{t-2}+\varphi^3e_{t-3}+\cdots$$
根据上边的计算方法可得：
$E(Y_t) = \mu$
$D(Y_t) = \sigma_e^2\sum_{i=0}^{\infty }\varphi_i^2$
$\gamma _k = Cov(Y_t, Y_{t-k}) = \sigma_e^2\sum_{i=0}^{\infty}\varphi_i\varphi_{i+k}$
$\rho_k = Corr(Y_t, Y_{t-k}) = \frac{\gamma _k}{\gamma _0} = \frac{\sum_{i=0}^{\infty }\varphi_i\varphi_{i+k}}{1+\sum_{i=1}^{\infty }\varphi_i^2}$

2.

---