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@DATASOURCE 2015-08-08T11:28:42.000000Z 字数 6276 阅读 1552

并查集

数据结构 并查集


概述

并查集是一种用来管理元素分组情况的数据结构。冰茶既可以高效的进行如下操作。不过需要注意并查集虽然可以进行合并操作,但是却无法进行分割操作。 并查集可以查询元素a和元素b是否属于同一组。 并查集可以合并元素a和元素b所在的组。

主要操作

  • 初始化
    把每个点所在集合初始化为其自身。
    通常来说,这个步骤在每次使用该数据结构时只需要执行一次,无论何种实现方式,时间复杂度均为O(N)。
  1. //代码:
  2. void init(){
  3. int i;
  4. for(i = 0; i < n; i++)
  5. par[i] = i;
  6. }
  • 查找
    查找元素所在的集合,即根节点。
  1. //代码:
  2. int find(int x){
  3. if(par[x] != x)
  4. par[x] = find(par[x]);
  5. return par[x];
  6. }
注意在这一步中通常采用路径优化,代码中 par[x] = find(par[x]); 即采用了路径优化,做了如图所示的转化,将所有的子节点都直接挂载在根节点上,使得接下来的查找更高效。

  • 合并
    将两个元素所在的集合合并为一个集合。
    通常来说,合并之前,应先判断两个元素是否属于同一集合,这可用上面的“查找”操作实现。
  1. //代码:
  2. void Union(int x, int y){
  3. int fx = find(x);
  4. int fy = find(y);
  5. if(fx != fy)
  6. par[fy] = fx;
  7. }
  • 代码说明,先查找两个元素是否属于同一集合,即他们的根节点是否相同,若不相同就合并他们。
这里也可以进一步优化,对于每一个集合所形成的树,用一个rank[N] 数组来记录它的高度,合并时如果两棵树的高度不同,那么从rank 小的向rank 大的连边。

  1. //代码
  2. void Union(int x, int y){
  3. int fx = find(x);
  4. int fy = find(y);
  5. if(fx != fy){
  6. if(rank[fx] >= rank[fy]){
  7. par[fy] = fx;
  8. rank[fx]++;
  9. }
  10. else{
  11. par[fx] = fy;
  12. rank[fy]++;
  13. }
  14. }
  15. }
  • 复杂度分析
    在增加了路径优化和合并注意高度的优化后,并查集的效率非常高。可以证明,通过这种树形结构实现的带启发式路径压缩的并查集,Find和Union操作的平均代价是O(lgn),这和二分查找的复杂度一致,可以证明这已经是理论上最好的算法了,不可能有更好的算法了。如果不进行这种路经压缩的话,并查集就退化成了链表,在同一链表中的元素属于同一集合,这样的话Find的复杂度是O(n)。

POJ 例题分析

POJ 2524

  • 题目大意:
    有n 个数字,接下来会有m对数字,每一对数字属于同一类。
    输入数据包括情况的数目,每一种情况包括有数据n和m,接下来的m行包括了两个数据i和j,表示数字i和j是同一类。数字是从1到n编号的,若n=0并且m=0则表示输入结束 对于每一种情况,显示出这n个数字的种类数。
  • 思路分析:
    并查集的初级题目,可以用根节点的rank存储这一类的元素个数,子节点的rank全置为零,这样只要看有几个rank并不为零就可以确定这n个数字的种类数。
  1. //代码示例:
  2. #include<iostream>
  3. #define N 50005
  4. using namespace std;
  5. int par[N], rank[N]; //par[N] 为 i 的父节点
  6. int n, m;
  7. void init(){ //初始化
  8. int i;
  9. for(i = 1; i <= n; i++){
  10. rank[i] = 1;
  11. par[i] = i;
  12. }
  13. }
  14. int find(int x){ //找根结点
  15. if(par[x] == x)
  16. return x;
  17. else
  18. return par[x] = find(par[x]);
  19. }
  20. void unite(int x, int y){ //合并两个元素,同时,注意rank的处理
  21. x = find(x);
  22. y = find(y);
  23. if(x == y) return ;
  24. if(rank[x] > rank[y]){
  25. rank[y] = 0;
  26. par[y] = x;
  27. rank[x] ++;
  28. }
  29. else if(rank[x] < rank[y]){
  30. par[x] = y;
  31. rank[x] = 0;
  32. rank[y] ++;
  33. }
  34. else{
  35. par[y] = x;
  36. rank[y] = 0;
  37. rank[x] ++;
  38. }
  39. }
  40. int main(){
  41. int i, j, x, y, sum, a = 0;
  42. while(cin >> n >>m){
  43. if(n == 0 && m == 0)
  44. break;
  45. a++;
  46. sum = 0;
  47. init();
  48. for(i = 0; i < m; i++){
  49. cin >> x >> y;
  50. unite(x, y);
  51. }
  52. for(i = 1; i <= n; i++){ //如果rank不为零,则记为一个种类。
  53. if(rank[i] != 0)
  54. sum += 1;
  55. }
  56. cout <<"Case "<< a <<": "<< sum << endl;
  57. }
  58. return 0;
  59. }

POJ 1703

  • 题目大意:将所有的数字分为两个部分并由输入的字符来确定要做的事情,其中A 来询问后面两个数的关系,D表示后面的两个数属于不同的类别。
    输入的第一行是一个字母t, 代表测试样例数目,每个测试样例的第一行包括两个数,第一个数 n 代表数字的个数(编号1~n),第二个数 m 表示接下来有m 行,每一行包括一个字符’A’或’D’表示之后两个数的关系。
    对于每一个输入的’A’,输出两个数的关系,” Not sure yet.”,” In different gangs.”,” In the same gang.”

  • 解题思路: 活用rank数组(代码中的rela数组)rank[i] = 0,表示节点 i 与根节点是同一类,rank[i] = 1表示节点 i 与根节点是不同类的。

  1. //示例代码:
  2. #include<iostream>
  3. #include<stdio.h>
  4. #define N 100005
  5. using namespace std;
  6. int par[N], rank[N], rela[N];
  7. int n, m;
  8. void init(){
  9. int i;
  10. for(i = 1; i <= N; i++){
  11. par[i] = i;
  12. rela[i] = 0;
  13. }
  14. }
  15. int find(int x){
  16. if(par[x] == x)
  17. return x;
  18. else{
  19. int temp = par[x];
  20. par[x] = find(par[x]);
  21. rela[x] = (rela[temp] + rela[x]) % 2;
  22. // rela[x] =(rela[temp] ^ rela[x]);
  23. return par[x];
  24. }
  25. }
  26. void unit(int x, int y){
  27. int fx = find(x);
  28. int fy = find(y);
  29. if(fx == fy) return;
  30. else{
  31. par[fy] = fx;
  32. rela[fy] = (rela[x] + 1 -rela[y]) % 2;
  33. //rela[y] = !(rela[x] ^ rela[y]);
  34. }
  35. }
  36. void sol(int x, int y){
  37. if(find(x)== find(y) && rela[x] == rela[y])
  38. printf("In the same gang.\n");
  39. else if(find(y) == find(x) && rela[x] != rela[y])
  40. printf("In different gangs.\n");
  41. else
  42. printf("Not sure yet.\n");
  43. return;
  44. }
  45. int main(){
  46. ios_base::sync_with_stdio(false);
  47. int t, i, n, x, y;
  48. char ch;
  49. scanf("%d",&t);
  50. while(t--){
  51. scanf("%d %d", &n, &m);
  52. init();
  53. for(i = 1; i <= m; i++){
  54. getchar();
  55. scanf("%c %d %d", &ch, &x, &y);
  56. if(ch == 'A')
  57. sol(x, y);
  58. else
  59. unit(x, y);
  60. }
  61. }
  62. return 0;
  63. }
  • 网上还有一种很不可思议的解法,我自己也搞不懂为什么会这样,直接上代码了:
  1. #include <cstdio>
  2. #include <iostream>
  3. using namespace std;
  4. int f[200001],n,m,x,y,cas;
  5. char c;
  6. int find(int x) {
  7. if (x!=f[x]) f[x] = find(f[x]);
  8. return f[x];
  9. }
  10. void Union(int x,int y) {
  11. int px = find(x);
  12. int py = find(y);
  13. if (px != py) f[px] = py;
  14. }
  15. int main() {
  16. scanf("%d",&cas);
  17. while (cas--) {
  18. scanf("%d%d",&n,&m);
  19. for (int i=1;i<=2*n;i++) f[i] = i;
  20. for (int i=1;i<=m;i++) {
  21. scanf("%c%c %d %d",&c,&c,&x,&y);
  22. if (c=='D') {
  23. Union(x,y+n);
  24. Union(y,x+n);
  25. }
  26. else {
  27. if (find(x)==find(y)) printf("In the same gang.\n");
  28. else if (find(x)==find(y+n)||find(y)==find(x+n))
  29. printf("In different gangs.\n");
  30. else printf("Not sure yet.\n");
  31. }
  32. }
  33. }
  34. return 0;
  35. }

POJ 1182

  • 题目大意:(直接上题吧)
    动物王国中有三类动物A,B,C,这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A吃B, B吃C,C吃A。
    现有N个动物,以1-N编号。每个动物都是A,B,C中的一种,但是我们并不知道它到底是哪一种。
    有人用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述:
    第一种说法是"1 X Y",表示X和Y是同类。
    第二种说法是"2 X Y",表示X吃Y。
    此人对N个动物,用上述两种说法,一句接一句地说出K句话,这K句话有的是真的,有的是假的。当一句话满足下列三条之一时,这句话就是假话,否则就是真话。
    1) 当前的话与前面的某些真的话冲突,就是假话;
    2) 当前的话中X或Y比N大,就是假话;
    3) 当前的话表示X吃X,就是假话。
    你的任务是根据给定的N(1 <= N <= 50,000)和K句话(0 <= K <= 100,000),输出假话的总数。

Input
第一行是两个整数N和K,以一个空格分隔。
以下K行每行是三个正整数 D,X,Y,两数之间用一个空格隔开,其中D表示说法的种类。
若D=1,则表示X和Y是同类。
若D=2,则表示X吃Y。

Output
只有一个整数,表示假话的数目。

Sample Input
100 7
1 101 1
2 1 2
2 2 3
2 3 3
1 1 3
2 3 1
1 5 5

Sample Output
3

  • 解题思路:活用rank数组,rank[i] = 0 表示 i 与par[i] 是同类,rank[i] = 1 表示 i 吃par[i] , rank[i] = 2 表示par[i] 吃 i ;
  1. //代码示例:
  2. #include<cstdio>
  3. #define N 50005
  4. using namespace std;
  5. int par[N], rela[N]; // rela[a] == 0 表示 a 与 par[a] 同类
  6. int n, k, a, b; // rela[a] == 1 表示 a 吃 par[a]
  7. // rela[a] == 2 表示 a 被 par[a] 吃
  8. void init(){ // *******************************************************************
  9. int i; // 若 rela[a] == 0,rela[par[a]] == 0 -> rela[a] == 0;
  10. for(i = 1; i <= n; i++){ // 若 rela[a] == 0, rela[par[a]] == 1 -> rela[a] == 1;
  11. par[i] = i; // 若 rela[a] == 0, rela[par[a]] == 2 -> rela[a] == 2;
  12. rela[i] = 0; // 若 rela[a] == 1, rela[par[a]] == 0 -> rela[a] == 1;
  13. } // 若 rela[a] == 1, rela[par[a]] == 2 -> rela[a] == 0;
  14. } // 若 rela[a] == 2, rela[par[a]] == 0 -> rela[a] == 2;
  15. // 若 rela[a] == 2, rela[par[a]] == 1 -> rela[a] == 0;
  16. int find(int x){ // 若 rela[a] == 2, rela[par[a]] == 2 -> rela[a] == 1;
  17. int y;
  18. if(par[x] == x) // 综合所有情况,可以得出结论 rela[a] = (rela[a] + rela[par[a]]) % 3;
  19. return x;
  20. y = par[x]; // ******************************************************************************
  21. par[x] = find(y);
  22. rela[x] = (rela[x] + rela[y]) % 3;
  23. return par[x]; // 若 d == 1, 若 rela[a] == 0, rela[b] == 0 时,rela[a] == 0;
  24. } // (同类) rela[b] == 1 时,rela[a] == 1;
  25. // rela[b] == 2 时,rela[a] == 2;
  26. void unit(int x, int y, int d){ // 此处的 d 传入的实参为 d - 1; // 若 rela[b] == 0, rela[a] == 0 时,rela[a] == 0;
  27. int fx = find(x); // rela[a] == 1 时,rela[a] == 1;
  28. int fy = find(y); // rela[a] == 2 时,rela[a] == 2;
  29. if(fx == fy) // 若 d == 2, 若 rela[a] == 0, rela[b] == 0 时,rela[a] == 1;
  30. return; // (a 吃 b) rela[b] == 1 时,rela[a] == 2;
  31. else{ // rela[b] == 2 时,rela[a] == 0;
  32. par[fx] = fy; // 若 rela[b] == 0, rela[a] == 0 时,rela[a] == 1;
  33. rela[fx] = (rela[y] - rela[x] + d + 3) % 3; // (注意,此时的a是原a的根节点) rela[a] == 1 时,rela[a] == 0;
  34. } // rela[a] == 2 时,rela[a] == 2;
  35. return; // 综合所有情况,可以得出结论 rela[a] = (rela[b] - rela[a] + d - 1 + 3) % 3;
  36. }
  37. // ***********************************************************************************
  38. int main(){
  39. int i, sum = 0, d, fx, fy;
  40. scanf("%d %d",&n,&k);
  41. init();
  42. for(i = 1; i <= k; i++){
  43. scanf("%d %d %d",&d,&a,&b);
  44. if(a > n || b > n ||(d == 2 && a == b))
  45. sum++; // 真话的条件: 当d == 1(a 与 b 同类)
  46. else{ // a 与 par[a] 同类,即 rela[a] == 0 时,rela[b] == 0;
  47. fx = find(a); // a 吃 par[a], 即 rela[a] == 1 时,rela[b] == 1;
  48. fy = find(b); // a 被 par[a]吃, 即 rela[a] == 2 时,rela[b] == 2;
  49. if(fx == fy && ((rela[a] - rela[b] + 3) % 3 != d - 1)) // 当 d == 2(a 吃 b)
  50. sum++; // a 与 par[a] 同类,即 rela[a] == 0 时,rela[b] == 2;
  51. else unit(a, b, d - 1); // a 吃 par[a], 即 rela[a] == 1 时,rela[b] == 0;
  52. } // a 被 par[a]吃, 即 rela[a] == 2 时,rela[b] == 1;
  53. }
  54. printf("%d\n",sum);
  55. return 0;
  56. }
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