树的直径与重心（Jan. 22th, 2019）

模型 未完成

树的直径

定义：树上的最长简单路。
说明：因为树上两点间简单路唯一，所以记树上$\forall u_1,u_2$两点间简单路为$(u_1,u_2)$。
求法：$2$次$dfs$，第一次$dfs(1,0)$找出离根最远的点，记为$root$；第二次$dfs(root,0)$找出离$root$最远的点，这两点就是直径的端点[1]。
性质：
1. 对于树的直径$(u_1,u_2)$，$u_1,u_2$都是叶子结点（广义上的叶子结点是度为$1$的结点，即对于$\forall$广义叶子结点$u$，除非$u$外$\forall$树上结点作为根节点，都有点$u$为狭义叶子结点）[2]。
2. 对于树上任一结点，与其距离最远的结点一定在直径端点上[3]。
3. 对于直径为$(x_1,y_1)$的树$T_1$和直径为$(x_2,y_2)$的树$T_2$，两树合并后的直径$(\Delta x,\Delta y)\in \{(x,y)|x,y\in \{x_1,x_2,y_1,y_2\}\}$[4]。
4. 若一棵树存在多条直径，那么这些直径交于一点且交点是这些直径的中点[5]。
5. 对于一棵树，如果在一个点的上接一个叶子节点，那么最多会改变直径端点集中的一个端点[6]。

代码：

// La Pluie
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=4e4+5;
struct edge{
    int v,w,next;
} e[N<<1];
int n,m,head[N],root,ans,k=1;
void adde(int u,int v,int w){
    e[k]=(edge){v,w,head[u]};
    head[u]=k++;
}
void dfs(int u,int f,int s){
    if(s>ans) root=u,ans=s;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        int v=e[i].v,w=e[i].w;
        if(v==f) continue;
        dfs(v,u,s+w);
    }
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;char c;
        scanf("\n%d %d %d %c",&u,&v,&w,&c);
        adde(u,v,w);adde(v,u,w);
    }
    dfs(1,0,0);dfs(root,0,0);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

树的重心

定义：树上的一个点，去掉后能使得到的森林中结点数最多的树结点数最少。
求法：记以$u$为根的子树中结点数为$size[u]$（不包含$u$），则$son=max(size[v])$。统计最小的$max(son,n-size[u]-1)$，将$u$加入答案数组（注意：树的重心一般不止一个）。
代码：