如何计算投资收益率

某些人对绩效评估和分解不屑一顾，认为没必要那么复杂，不就比比谁赚的钱多就行了吗？问题没有那么简单。
首先，直观地说，一个人用100万本金赚到了10万，跟一个人只用10万本金赚到10万，显然后者的表现更好。所以第一个结论：在进行绩效评估的时候，不能光看收益额，而要看收益率：相对于其本金的收益。
那么，收益率可以被简单理解为收益除以本金吗？也不行，这里面的东西远比想象中复杂。简单地说，如何计算收益率，依赖于你评估的角度。不同的角度得出的结论可能截然相反。
下面先给出一个这样的例子。
假设有甲、乙两个投资人，分别投资于两只基金$A$和$B$，这两只基金都投资于中国$A$股股市。为了简单起见，我们假设投资为两年期限，恰好为中国$A$股市场的2007年到2008年。
甲在2007年投资了100万到A，然后A这一年赚了$120\%$；甲一看赚了钱，马上追加了$200$万，结果2008年这只基金亏损$50\%$。显然，甲损失了$100+200-(240+200)*50\%=80$万，平均投入资金为$200$万/年。
乙同样在2007年投资了100万到$B$，在这一年赚了$100\%$，但在年末他撤回了$50$万的本金。在第二年亏损了$60\%$。那么乙在这两年赚了$(50+150*40%)-100=10$万。乙的平均投入成本为$75$万每年。
乙用不到一半的成本获得了更高的收益，而甲花了很多钱，最后亏损不少。从这个角度上来说，乙的赚钱能力更强一些。
由于投资人的资金实际都是由两只基金的基金经理来操作，那么能否说第二位投资经理要操作的比第一位投资经理好呢？显然不能，第一位投资经理无论在2007年还是2008年收益率都要比第二位投资经理收益率更高。
所谓问题归结到：投资者的收益如何计算？基金经理的收益如何计算？

金钱加权法（Money Weighted）

金钱加权法本质上就是内部收益率法。将初始投入视为现金流入（大于$0$），期末资产视为现金流出（小于$0$），那么金钱加权收益率即使得现金流的现值等于$0$的折现率。我们使用下述公式：
$\sum_{i=1}^T f_{t_i}(1+r)^{-t_i}=0$
其中$f_{t_i}$为时间点$t_i$上的现金流，$r$为内部收益率。
在金钱加权法中，钱在不同时候收益率是一样的。并且它只对期间整体进行定义，分期的收益率和整体的收益率并无直接的关系。
上述的定义较为复杂，掩盖了金钱加权法的一些本质。事实上，金钱加权收益率近似等于收益额除以平均占用资金。这里平均占用资金是指各期占用资金的算术平均值。这种近似收益率也被称为Modified Diez Return。

Modified Dietz Method

假设现金流为$(f_{t_i}, \;i=0,1\cdots, T)$，其中$f_0$为期初投资额，期末投资余额为$-f_{t_T}$，那么金钱加权收益率$r$为下述方程的解：
$\sum_i f_{t_i} (1+r)^{-t_i} = 0$
注意对$r\sim 0, x\sim 0$有$((1+r)^x \sim 1+ rx)$。上面等式可写成
$\sum_if_{t_i} (1+(t_T-t_i)r) = 0$
解出$r$：
$\begin{array}{rcl}r &=& \frac{-\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\sum_{i=0}^T f_{t_i} (t_T-t_i)}\\&=&\frac{-\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\sum_{i=0}^{T-1} (t_{i+1}-t_{i})\sum_{j=0}^{i}f_{t_j}}\end{array}$
此处分子$-\sum f_i$为投资盈利额，分母为平均占用资金（因为在时间$(t_i)$到$(t_{i+1})$期间，投入资金恰好为$(\sum_{j=0}^i f_{t_j})$）。

时间加权法（Time Weighted）

将投资区间分成若干段，每段之间没有现金进出，这样每一段都可以用简单收益率法计算其收益率。
$\text{时间加权收益率 = （1 + 各段收益率）的连乘 - 1}$。

实际中使用的时间加权法
由于时间加权法要求在每个现金流时点都需要投资组合的精确估值，对于某些投资组合而言，这一点比较困难。那么在实际使用中，通常在固定的期限内，比如每个月，使用金钱加权法，计算这段期限内的收益率，然后再将各个期间的收益率连乘得到整个期间的收益率。

比较

时间加权法收益率可以理解为在各个时点上的瞬时收益率的累计，而金钱加权收益率可以理解为各个时点上的瞬时收益率，再根据当时投入的资本进行加权的收益率。
从这一点上看就很容易理解在什么时候该用什么收益率。
对于投资经理来说，每个时点上有多少资本根本不是他所能掌控的，所以对投资经理，只能使用时间加权收益率。
而对于投资者而言，他决定了每个时间点上的资本数量，所以对于他的评价必须使用金钱加权收益率。
这样最开始的例子中，基金A、B和投资人甲、乙的收益（Performance Measure）评估结果如下：

时间加权：
- 基金A：$10\%$
- 基金B：$-20\%$
金钱加权：
- 投资人甲：$-40\%$
- 投资人乙：$13.3\%$