空间

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一直搞不太明白各种空间，乱七八糟的，这段时间搞论文，用到了核方法，主要是再生希尔伯特空间，虽然不搞清楚直接用也可以，但是还是想着弄清楚。

其实相关的空间很早以前就接触过，只不过一直没有系统地整理过，我记忆中知道的空间有线性空间、内积空间、函数空间、度量空间、赋范线性空间、希尔伯特（Hilbert）空间、再生希尔伯特空间（Reproducing Hilbert）空间，还有一个纯粹只是听过巴拿赫（Banach）空间，与这些空间相关的又有运算的定义及其封闭性、距离的定义、范数的定义等等。空间通常会具备一些概念和性质，这些暂时不系统讨论，文中需要用到的时会有些基本的说明。

首先，最基础也是知道的最多的就是线性空间，线性空间在其定义中需要满足8个条件，但是个人认为线性空间最引人注意的就是其定义的加法操作和数乘操作。之所以这么说，是因为很多空间都是基于线性空间再加上特有的操作，如内积空间就是在线性空间的基础上加入内积操作。

1. 线性空间的定义
   设$X$是一个非空集合，$F$是一个数域（如实数域、复数域等），满足以下条件：
   
   • 关于加法成为交换群（阿贝尔群），加法操作"+"的定义为：对任意的$x,y \in X$，总存在一个确定的$u\in X$与之对应，记为$u=x+y$，称为$x$与$y$的和。由于是阿尔贝群，所以必然满足交换律（这也是阿贝尔群称为交换群的原因）、结合律、有单位元、有逆元这四个特性，具体来说:
     1) 交换律：$x+y = y+x$
     2) 结合律：$(x+y)+z=x+(y+z)$
     3) 单位元：在$X$中存在唯一的元素$\theta$，使对任何$x\in X$，恒有$x+\theta=x$，称$\theta$为$X$中的零元素
     4) 逆元： 对$X$中每个元素$x$，存在唯一元素$x^{'} \in X$，使$x+x^{'}=\theta$，称$x^{'}$为$x$的负元素，记为$-x$
   • 数乘操作，对于$X$中每个元素$x\in X$和对于数域$F$中任意元素$a$，存在一个确定的元素$u\in X$与之对应，记为$u=ax$，称为$a$与$x$的数乘（数积）；数乘操作也需满足以下条件($a,b,1\in F, x,y \in X$)：
     1) $1x=x$
     2) $a(bx)=(ab)x$
     3) $(a+b)x=ax+bx$
     4) $a(x+y)=ax+ay$

则称$X$为数域$F$上的一个线性空间（向量空间），其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X是实（复）线性空间。

除了线性空间，还有一个基础性的空间——度量空间