坡度坡向计算原理

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在地形分析中，比较重要的两个参数就是坡度（slope）和坡向（aspect），作为地形特征分析和可视化的基本要素，坡度和坡向在流域单元、景观单元和地貌测量等研究中十分重要。现在坡度坡向的来源主要就是DEM（栅格）和TIN（矢量）。

1.基本概念

坡度：是地表位置上高度变化率的量度，坡度可以表达为百分数或者度数。其中百分数坡度等于垂直距离 和水平距离 之比乘以100，度数坡度是垂直距离 与水平距离 之比的反正切。

坡向：是斜坡方向的度量。坡向的量纲是度，从正北0°开始，顺时针移动，回到正北以360°结束。通常在用坡向进行分析之前，需要对坡向进行转换分类，分为四个方向或者八个方向，这也就把坡向数据转换为了类别数据。
将坡向量度转换为线性量度的常用方法：求取坡向的正弦或余弦值，值域是-1~1。

2.DEM生成坡度坡向

方向变化率：

• $dz/dx = ((c+2f+i)-(a+2d+g)) / (8 * x\_cellsize)$
• $dz/dy = ((g+2h+i)-(a+2b+c)) / (8 * y\_cellsize)$

2.1坡度

$$slope\_radians = ATAN(\sqrt{(dz/dx)^2+(dz/dy)^2})$$
$$slope\_degrees = ATAN(\sqrt{(dz/dx)^2+(dz/dy)^2}) * 57.29578 \quad \text{（弧度与度之间的转换系数）}$$

2.1坡向

$$aspect = 57.29578 * atan2(dz/dy, -dz/dx)$$
其中，
$$atan2(y,x) = \begin{cases} arctan\frac{y}{x}, & \text{x>0} \\[2ex] arctan\frac{y}{x} + \pi, &\text{y≥0, x<0} \\[2ex] arctan\frac{y}{x} - \pi, &\text{y<0, x<0} \\[2ex] + \frac{\pi}{2}, &\text{y>0, x=0} \\[2ex] - \frac{\pi}{2}, &\text{y<0, x=0} \\[2ex] - undefined, &\text{y=0, x=0} \end{cases}$$

将坡度值转换为罗盘方向值（0~360）：

if aspect < 0:
    cell = 90.0 - aspect
else if aspect > 90.0:
    cell = 360.0 - aspect + 90.0
else
    cell = 90.0 - aspect

示例：

3.TIN生成坡度坡向

TIN是由一个个的三角形构成的三角网，通过TIN来生成坡度和坡向，那么就是对每一个三角形标准矢量的倾向和倾量来计算其坡度和坡向。矢量三角形标准矢量是垂直于三角形面的有向直线，记标准矢量为$(n_x, n_y, n_z)$。

3.1坡度计算：

$$slope = \sqrt{n_x^2 + n_y^2} / n_z$$

3.2坡向计算：

$$aspect = arctan(n_y / n_x) \quad \text{弧度}$$

示例：
记三角形的三个顶点分别为$A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_12), C(x_3, y_3, z_3)$，则三角形$ABC$标准矢量就是向量$AB[(x_2 - x_1), (y_2 - y_1), (z_2 - z_1)]$和$AC[(x_3 - x_1), (y_3 - y_1), (z_3 - z_1)]$的向量积。则标准向量的三个分量分别是：

• $n_x = (y_2 - y_1)(z_3 - z_1) - (y_3 - y_1)(z_2 - z_1)$
• $n_y = (z_2 - z_1)(x_3 - x_1) - (z_3 - z_1)(x_2 - x_1)$
• $n_z = (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1)$

4.影响坡度坡向量测的因素

1. DEM的分辨率
2. DEM的质量
3. 坡度坡向的计算方法
4. 局部地形的影响，陡坡地区坡度估算误差较大，平坦地区坡向估算误差较大