Link-Cut Tree

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首先明白这个神奇的动态树支持的操作(貌似这个顺序不对)
常见问题形势——

 维护两点的连通 
 维护两点路径权值的和，最大值，最小值，自定义运算值……
 维护LCA，直径，重心，自定义点与点的关系……

烦人的动态操作——

连接两个点(先前是不连通的)
把某个点变成某个点的父亲(先前是不连通的)
断开两个点的连接(先前是联通的)
修改点权，边权等等……

它已$deep$为关键字(这是很致命的操作)
首先$LCT$是用$Splay$维护原树上链的信息，在同一条链上的用$Splay$连接，不同的$Splay$用虚边连接这是一个很蛋疼的性质，因而会出现如下一些情况

x是y的父亲，也就是fa[y]=x，但是x并没有y这个儿子，也就是并没有tr[x].ch[0]=y或是tr[x].ch[1]=y
在Splay时可能会将虚边修改为实边

然后还有虚边是怎么连的呢？

称有两棵Splay树A,B，其中B树的根节点是x，x在原树中的父亲是y且y处于A树中，那么则将x向y连一条虚边，我们称为“将辅助树中的根节点连一条虚边指向它在原树中得父亲”

给大家举一个栗子(已"1"为根)

1-2,2-4,2-5,3-6,3-7

那么在LCT中它们则是这么连的(手玩一下大概就懂了)

2-4，2-1，6-3(实边)
2-5，1-6，3-7(虚边)

然后考虑具体模板和操作

首先是Splay中也有的

模板一:Rotate,旋转

这是你$Splay$中写的

void Rotate(int x)
{
    int y=tr[x].fa;
    int z=tr[y].fa;
    int k=tr[y].ch[1]==x;
    tr[z].ch[tr[z].ch[1]==y]=x; tr[x].fa=z;
    tr[y].ch[k]=tr[x].ch[k^1];  tr[tr[x].ch[k^1]].fa=y;
    tr[x].ch[k^1]=y;    tr[y].fa=x;
}

这是你$LCT$中写的

void Rotate(int x)
{
    int y=tr[x].fa;
    int z=tr[y].fa;
    int k=tr[y].ch[1]==x;
    if(!Isroot(y))tr[z].ch[tr[z].ch[1]==y]=x;    tr[x].fa=z;
    tr[y].ch[k]=tr[x].ch[k^1];    tr[tr[x].ch[k^1]].fa=y;
    tr[x].ch[k^1]=y;    tr[y].fa=x;
}

所以，用事实说话，其实唯一差距就是加入一句if(!Isroot(y))的判断，也就是如果y是所处$Splay$中根的话，就不能将z的儿子修改为x，为什么呢？

在之前介绍优(dan)良(teng)性质的时候就介绍了z并不一定有y这个儿子

模板二:Splay

这是你$Splay$中写的

    while(tr[x].fa!=goal)
    {
        int y=tr[x].fa,z=tr[y].fa;
        if(z!=goal)
            (tr[z].ch[0]==y)^(tr[y].ch[0]==x)?Rotate(x):Rotate(y);
        Rotate(x);
    }
    if(!goal)root=x;

这是你$LCT$中写的

    //Part 1
    zhan[++top]=x;
    for(int p=x;!Isroot(p);p=tr[p].fa)
        zhan[++top]=tr[p].fa;
    while(top)Pushdown(zhan[top--]);
    //Part 2
    while(!Isroot(x))
    {
        int y=tr[x].fa,z=tr[y].fa;
        if(!Isroot(y))
            (tr[y].ch[0]==x)^(tr[z].ch[0]==y)?Rotate(x):Rotate(y);
        Rotate(x);
    }

咱们首先看Part 2，$Splay$中说的是z!=goal也就是z不是根的父亲，$LCT$中是!Isroot(y)也就是y并不是根，所以本质上一样的
然后Part 1存在的意义是用来翻转标记，由于$reverse$标记需要从上往下$pushdown$，这在之后的$reverse$会提到

特殊模板

模板三：$Isroot$

    return tr[tr[x].fa].ch[0]!=x&&tr[tr[x].fa].ch[1]!=x;

如果x的父亲的两个儿子都不是x的话，就说明x的父亲并没有这个儿子，也就说明x是所处Splay中的根(优良性质)

模板四:$Access$

    for(int y=0;x;y=x,x=tr[x].fa)
    {
        Splay(x);
        tr[x].ch[1]=y;
        Pushup(x);
    }

这一部分是把x到原树上的跟节点的路径抠到同一棵$Splay$中，其余原本的点则断掉，然后具体原理是怎么抠的呢？

具体先把当前的x旋转到该棵Splay中，然后把x的右儿子置为x的假儿子(就是由于优良性质导致的x是y的父亲，但是x并没有y这个儿子)，注意原本的x和y是用虚边连接的!

模板五:$Makeroot$

void Makeroot(int x)
{
    Access(x);
    Splay(x);
    Reverse(x);
}

这一部分是把x点放到原树的根节点上去，所以不难想到就是$Access$+$Splay$+$Reverse$，由于这一部分是更改了树的根节点，也就是树的结构的，所以一定要记得$Reverse$

模板六:$Findroot$

int Findroot(int x)
{
    Access(x);
    Splay(x);
    while(tr[x].ch[0])x=tr[x].ch[0];
    return x;
}

这一部分是找到x所在的联通块中的根(能维护连通性)，但是这一部分并没有改变树的结构!所以千万不需要$Reverse$，然后要找到原联通块的根，就只需要一直跳左儿子就可以了。

因为己经保证Splay已经保证以深度为关键字，所以深度最小的那个点，就是联通块的根节点，至于Findroot后的LCT树只是将树形变了一下！原树的结构是没有改变的！

模板七:$Split$

void Split(int x,int y)
{
    Makeroot(x);
    Access(y);
    Splay(y);
}

这一部分是将LCT树中的x到y的路径给抠出来。所以不难想到是$Makeroot$+$Access$+$Splay$(这个自己yy一下就好了)

一些打不好会很致命的模板

模板八:Link

void Link(int x,int y)
{
    Makeroot(x);
    if(Findroot(y)!=x)tr[x].fa=y;
}

这一部分就是动态维护树的结构了，在两点之间连边。自己yy一下，不难想到是$Makeroot$+if(Findroot(y)!=x)，所以如果条件满足的话，就连边就好了!
但是这也是最容易出错的，因为if(Findroot(x)!=Findroot(y))是不够好的

模板八:Cut

void Cut(int x,int y)
{
    Makeroot(x);
    if(Findroot(y)!=x||tr[x].ch[1]||tr[x].fa!=y)return;
    tr[y].ch[0]=tr[x].fa=0;
    Pushup(y);
}

这就不用说了吧，将x与y之间的连边断掉(一定要两点在原树中直接有一条边相连)
具体细节也超多的!

Update:5.15

然后有关一些标记下放的问题

翻转标记（Reverse）

void Reverse(int x)
{
    swap(tr[x].ch[0],tr[x].ch[1]);
    tr[x].rev^=1;
}

下放标记（Pushdown）

void Pushdown(int x)
{
    if(tr[x].rev)
    {
        if(tr[x].ch[0])
            Reverse(tr[x].ch[0]);
        if(tr[x].ch[1])
            Reverse(tr[x].ch[1]);
        tr[x].rev=0;
    }
}

然后放一个---[国家集训队]Tree II
这是我有史一以来打过的最长的下放

void pushdown(int x)
{
    if(tr[x].mul!=1)
    {
        ll t=tr[x].mul;
        tr[x].v=tr[x].v*t%mod;
        if(ls)
            tr[ls].sum=tr[ls].sum*t%mod,
            tr[ls].add=tr[ls].add*t%mod,
            tr[ls].mul=tr[ls].mul*t%mod;
        if(rs)
            tr[rs].sum=tr[rs].sum*t%mod,
            tr[rs].add=tr[rs].add*t%mod,
            tr[rs].mul=tr[rs].mul*t%mod;
        tr[x].mul=1;
    }
    if(tr[x].add)
    {
        ll t=tr[x].add;
        tr[x].v=(tr[x].v+t)%mod;
        if(ls)
            tr[ls].sum=(tr[ls].sum+t*tr[ls].sz%mod)%mod,
            tr[ls].add=(tr[ls].add+t)%mod;
        if(rs)
            tr[rs].sum=(tr[rs].sum+t*tr[rs].sz%mod)%mod,
            tr[rs].add=(tr[rs].add+t)%mod;
        tr[x].add=0;
    }
    if(tr[x].rev)
    {
        if(ls)
            Reverse(ls);
        if(rs)
            Reverse(rs);
        tr[x].rev=0;
    }
}

然后至于能维护子树信息的骚操作，就留个坑以后再补吧!