【Luogu3381】【模板】缩点

解题报告

题目描述

给定一个n个点m条边有向图，每个点有一个权值，求一条路径，使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。
允许多次经过一条边或者一个点，但是，重复经过的点，权值只计算一次。

输入输出格式

输入格式：

第一行，n,m
第二行，n个整数，依次代表点权
第三至m+2行，每行两个整数u,v，表示u->v有一条有向边

输出格式：

共一行，最大的点权之和。

样例输入

2 2
1 1
1 2
2 1

样例输出

2

数据范围

$n<=10^4$,$m<=10^5$,$点权<=1000$

题解

算法

正如题目名称所说，这道题需要使用缩点的技巧，那么这是为什么呢？
我们可以把一个强连通分量近似看作一个环，由于这道题中边权只能取1次，每个点和每条边可以经过多次，所以一个强连通分量中的点一定可以全部取到。并且强连通分量中各点的出边可以看做是同一点的出边。于是我们可以高兴地说：

这道题中一个强连通分量相当于一个点，我们可以缩点了！

缩点以后图就变成了DAG（有向无环图），对于有向无环图，注定是要与拓扑排序为伴的。DP转移方程如下：(dp[v]表示走到v点的最大路径长度，a[v]表示v这个强连通分量中所有点的点权之和）

转移的条件是存在边(u,v)。用拓扑排序转移DP即可（避免后效性，保证处理v的转移时u的转移已经处理）。

易错点（其实就是我错的）

1、第37行：if (vis[v])low[u] = min(low[u], dfn[v]);
2、

for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (!dfn[i])tarjan(i);

3、 第84行：addedge1(color[i],color[v]);

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 10007;
const int maxm = 100007;
int n, m;
int c[maxn], a[maxn];
int edgenum, head[maxn], Next[maxm], vet[maxm];
int edgenum1, head1[maxn], Next1[maxm], vet1[maxm];
int dfn[maxn], low[maxn], stamp;
int stack[maxn], top, color[maxn], num;    
int init[maxn];
bool vis[maxn];
void addedge(int u, int v){
    ++edgenum;
    vet[edgenum] = v;
    Next[edgenum] = head[u];
    head[u] = edgenum;
}
void addedge1(int u, int v){
    ++edgenum1;
    vet1[edgenum1] = v;
    Next1[edgenum1] = head1[u];
    head1[u] = edgenum1;
    ++init[v];
}
void tarjan(int u){
    dfn[u] = low[u] = ++stamp;
    stack[++top] = u; vis[u] = true;
    for (int e = head[u]; e; e = Next[e]){
        int v = vet[e];
        if (!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        }else if (vis[v])low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
    if (dfn[u] == low[u]){
        color[u] = ++num; vis[u] = false;
        while (stack[top] != u) vis[stack[top]] = false, color[stack[top--]] = num;
        --top;
    }
}
void tp(){
    int head = 0, tail = -1, que[maxn], dp[maxn];
    for (int i = 1; i <= num; ++i) {
        if (init[i] == 0){
            que[++tail] = i;
        }
        dp[i] = a[i];
    }
    while (head <= tail){
        int u = que[head]; ++head;
        for (int e = head1[u]; e; e = Next1[e]){
            int v = vet1[e];
            --init[v];
            if (init[v] == 0) que[++tail] = v;
            dp[v] = max(dp[v], dp[u] + a[v]);
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= num; ++i)
        if (dp[i] > ans) ans = dp[i];
    printf("%d\n", ans);
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &c[i]);
    for (int i = 1; i <= m; ++i){
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        addedge(u,v);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (!dfn[i])tarjan(i);
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        for (int e = head[i]; e; e = Next[e]){
            int v = vet[e];
            if (color[i]!=color[v]){
                addedge1(color[i],color[v]);
            }
        }
        a[color[i]] += c[i];
    }
    tp();
    return 0;
}