行列式

定义

定义函数集合

$$V=\{f:f是矩阵M_n(K)上的数量函数\}$$
$$V_1=\{f:f\in V，且满足列线性性\}$$
$$V_2=\{f:f\in V_1,且满足列反对称性\}$$
$$V_3=\{f:f\in V_2,且满足规范性\}$$
容易验证，$V,V_1,V_2$关于加法和数乘运算构成函数空间。

性质

性质1：$V$是K上的$n^2$元函数空间，所以有$dim(V)=\infty$

性质2：$dim(V_1)=n^n$,其一组基底是 $f_{i_1i_2\cdots i_n}(\varepsilon_{j_1}，\varepsilon_{j_2},\cdots,\varepsilon_{j_n})=\delta_{i_1j_1}\delta_{i_2j_2}\cdots\delta_{i_nj_n}$

性质3：$dim(V_2)=1，V_2=span(det(\cdot)),其中det(\cdot)$为行列式函数。

性质4：$V_3=\{det(\cdot)\}$

证明

性质2的证明：

定义$n^n$维空间$L=\{(c_{i_1i_2\cdots i_n}):1\leq i_1,i_2,\cdots,i_n \leq n \}$

定义映射空间$V_1$到$L$的线性映射

$$H(f)=(c_{i_1i_2,\cdots ,i_n})\ \ \ ,\ \ \ \ \ c_{i_1i_2\cdots i_n}=f(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n})$$
下面我们证明$H(f)$是$V_1$到$L$一一映射，从而有 $$dim(V_1)=dim(L)=n^n$$

1.H是单射

若$f，g \in V_1且H(f)=H(g)=(c_{i_1i_2\cdots i_n})$，则有

$$f(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n}) =g(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n}) =c_{i_1i_2\cdots i_n}$$

又

$$f(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = f(\sum_{i=1}^{n}a_{i1}\varepsilon_i,\sum_{i=1}^n a_{i2}\varepsilon_i,\cdots,\sum_{i=1}^n a_{in}\varepsilon_i) =\sum_{1\leq i_1,i_2,\cdots,i_n\leq n} a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n} f(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n})$$

$$g(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) = g(\sum_{i=1}^{n}a_{i1}\varepsilon_i,\sum_{i=1}^n a_{i2}\varepsilon_i,\cdots,\sum_{i=1}^n a_{in}\varepsilon_i) =\sum_{1\leq i_1,i_2,\cdots,i_n\leq n} a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}g(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n})$$

所以有

$$f=g$$

2.H是满射

同时任意给定$(c_{i_1i_2\cdots i_n})\in L$,定义函数

$$f(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=\sum_{1\leq i_1,i_2,\cdots,i_n\leq n} a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}c_{i_1i_2\cdots i_n}$$
可以验证 $f \in V1$，此时有 $$H(f)=(c_{i_1i_2\cdots i_n})$$ 所以$H$是满射。

根据同态映射$H$我们不难找到$V_2$的一组基底

性质3的证明

若 $f\in V_2$,由列反对称性，有

$$f(\varepsilon_{i_1}，\varepsilon_{i_2}，\cdots，\varepsilon_{i_n})= \begin{cases}0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 存在s,t,有i_s=i_t\\ (-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}f(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)\ \ \ \ i_1,i_2,\cdots ,i_n两两不相等 \end{cases}$$

其中$\tau(i_1i_2\cdots i_n)$为排列$i_1.i_2,\cdots,i_n$的逆序数。

所以我们有

$$f(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n两两不相等}(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}f(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)$$

从而有

$$f(A)=f(E)\cdot det(A)$$

容易验证具有该表达式的函数 $f$ 属于$V_2$

性质4的证明

若$f\in V_3$,则有

$$f(A)=f(E)\cdot det(A)=det(A)$$