@355073677 2016-06-17T10:35:15.000000Z 字数 4486 阅读 3060

用轨道能量分析Kirkwood Gap的缝宽

计算物理

姓名：陈锋
学号：2013301020145
班级：物理学弘毅班

摘要

本文基于笔者的第十二次作业：The Kirkwood Gap，延续作业中讨论Kirkwood Gap的缝宽的方法——通过分析小行星的轨道能量的变化来找出Kirkwood Gap。作者在此文章中对相关的方法作出了更正并且进行更加深入的讨论。
关键词： The Kirkwood Gap、缝宽、轨道能量

背景介绍

Kirkwood Gap（柯克伍德空隙）是分布在小行星主带之内的空隙，半长轴如下图所见，是位在与木星产生轨道共振的地点上。举例说，只有极少数的小行星在半径为2.5AU的轨道上，相当于轨道周期3.95年，是木星轨道周期的三分之一（因此称为1：3轨道共振）。其它轨道共振的位置都在周期与木星轨道周期成简单数值比的位置上，這些微弱的共振只会导致小行星的离散。
这些空隙是丹尼尔·柯克伍德在1857年首先注意到的，他也正确的解释了空隙是来自于木星的轨道共振。
figure_1

图1：小行星主带上的Kirkwood Gaps,标出的分别为1:3共振（2.5AU）、2:5共振（2.82AU）、3:7共振（2.95AU）和1:2共振（3.27AU）。

小行星的轨道能量由其动能和引力势能两项构成。因此，当小行星的轨道恰好在可以发生轨道共振的轨道时，其轨道能量就会有较大幅度的波动。作者正是要通过这种轨道能量的波动来寻找Kirkwood Gap的有效宽度。

小行星的运动方程

考虑到木星对小行星的引力作用，根据牛顿第二定律，小行星的运动学方程为：

$\begin{equation} \vec{a} = -\frac{GM_s}{r_{as}^3}\vec{r_{as}} - \frac{GM_j}{r_{aj}^3}\vec{r_{aj}} \end{equation}$
其中

$r_{as}$ 为小行星到太阳的距离，

$r_{aj}$ 为小行星到木星的距离。由于木星的质量远远小于太阳的质量，所以第二项相当于一个微扰。而在忽略木星的影响的情况下，小行星的运动可以近似看成是圆轨道，因而我在计算小行星初始位置与初始速度的时候有以下关系式：

$\begin{equation} v_0 = \sqrt{\frac{GM_s}{r_0}} \end{equation}$
这将会在改变小行星初始位置的时候使用。

figure_2

图2：左图为没有木星的时候，半长轴为3.27AU的小行星与太阳之间距离的分布，中间为半长轴为3.10AU并且考虑到木星影响时候的情况（没有轨道共振），右图是发生1:2轨道共振的情况。

轨道共振

轨道共振是天体物理中的一种現象，是当在轨道上的天体与周期上有简单（小数值）的整数比時，定期施加的引力影响到对方所产生的效应。轨道共振的物理原理在概念上类似于推动儿童荡的秋千，轨道和摆动的秋千之间有着一个自然频率，其它机制和“推”所做的动作周期性的重复施加，产生累积性的影响。轨道共振大大的增加了相互之间引力影响的机构，即它们能够改变或限制对方的轨道。在多数的情況下，这导致“不稳定”的互动，在其中的两者互相交换动能和转移轨道，直到共振不再存在。
Kirkwood Gap主要是木星与太阳对小行星主带上的小行星的引力作用导致轨道共振而产生的。
如图2所示，当小行星发生轨道共振的时候，其运动的轨道发生强烈的波动。因此，我利用小行星的轨道能量来分析这种波动，由此来找出Kirkwood Gap以及其有效的缝宽。

轨道能量

首先我们写出小行星运动的哈密顿量（只考虑太阳和木星的引力作用）：

$\begin{equation} H = \frac{p^2}{2m} - \frac{GM_sM_a}{r_{as}} - \frac{GM_jM_a}{r_{aj}} \end{equation}$
这里我只取前两项作为小行星的轨道能量，这也与我们平时考虑绕一颗大质量恒星转动的行星时候的轨道能量形式一致。因为木星的质量（~

$10^{27}$ kg）远小于太阳的质量（~

$10^{30}$ kg），因此第三项对能量的影响很小。所以我在分析轨道能量的时候不考虑第三项的贡献。
因此，轨道能量

$E_0$ :

$\begin{equation} E_0 = \frac{p^2}{2m} - \frac{GM_sM_a}{r_{as}} \end{equation}$
在圆轨道的近似下，我们可以把轨道能量

$E_0$ 的表达式化简为：

$\begin{equation} E_0 = - \frac{1}{2}\frac{GM_sM_a}{r_{as}} \end{equation}$
如果小行星是处在稳定的轨道，其轨道能量应该是一个固定的值。由于木星的出现，小行星的运动受到扰动，其轨道能量一定会有扰动，而发生轨道共振的时候，这种扰动会达到一个极大值。
因为当轨道共振发生的时候，小行星与太阳之间的距离的波动远远大于没有发生轨道共振的情况（如图2所示），即相当于小行星在不断地改变自己的运动轨道。在越靠近共振轨道时，小行星越难保持原来的轨道运行，因此轨道能量波动的幅度与波动的周期都比远离共振轨道的情况要大。

figure_3

图3：能量为负意味着小行星运动的轨道是圆轨道或者是椭圆轨道。左图是没有发生轨道共振的情况，而右图则是发生1：2轨道共振的情况。两图都是模拟运行了400yr的结果。

figure_4

图4：从图3的结果中挑选出极大值的数据，可见当轨道共振发生的时候，轨道能量波动的周期远远大于没有发生轨道共振的时候。

由图可见，当小行星发生轨道共振的时候，轨道能量会发生较大的波动。特别地，在1:2轨道共振的时候，轨道能量还会有一种周期性，我将通过分析这种周期性来找出1:2轨道共振的Kirkwood Gap的宽度。

1:2轨道共振与相应的Kirkwood Gap

现在我来考虑1：2轨道共振的情况，所谓的1：2共振就是指小行星的轨道周期刚好是木星轨道周期的一半。该处拥有非常明显的轨道共振，同时是Griqua家族小行星的主要来源地。该位置的参数为：

物体	轨道半径（AU）	初始速度（AU/yr）
小行星	3.276	3.471

同时，因为在计算小行星的速度与位置的时候，并不需要用到小行星的质量，而小行星对木星的引力效应相对于太阳对木星的影响是可以完全忽略的，因而我在程序中取小行星的质量为1kg。另外程序中取太阳质量为 $2.0\times10^{30}$ kg，木星质量为 $1.9\times10^{27}$ kg，时间间隔为0.001yr。

figure_5

图5：3.276AU及其附近的小行星的运动轨迹。图中为模拟运行200年的结果。

正如如图3所示，但小行星的初始位置越靠近共振轨道位置的时候，轨道能量波动的周期逐渐变大。因此，我把理论1：2共振位置附近的轨道能量波动周期找出来，如下图所示：

figure_6

图6：3.276AU附近的轨道共振情况。图中的横坐标是小行星与太阳的初始距离，而纵坐标是轨道能量波动的周期。

可见实际的轨道共振距离要比理论值的严格1：2共振位置3.276AU要稍大一些。其原因可以分析如下：尽管在1/2周期的位置，小行星运动的周期与木星运动周期匹配的较好，但是当r增加时，小行星离木星更近，因而每次摄动更强，综合考虑这两方面的因素，才能得到实际的共振峰位置。如上图所示，1：2轨道共振处的缝宽约为0.115AU。

figure_7

图7：左图为理论1:2轨道共振处（3.276AU）的小行星运动轨迹，右图为数值模拟得到共振最强烈处（3.29AU）的小行星运动轨迹。可见理论轨道共振处的小行星轨道偏离程度确实没有模拟结果处的偏离程度高。（图中为模拟运行200yr的结果）。

其他位置的Kirkwood Gap

重复上面讨论的方法，下面我们来讨论其他位置的Kirkwood Gap的情况。首先我们来看3：7理论轨道共振处的情况。

figure_8

图8：左图为3.00AU处（即3：7轨道共振的理论共振处）的小行星的运动轨迹，右图为3.08AU处小行星的运动轨迹。此时，小行星并没有1：2轨道共振那样明显的偏离轨道现象。

同样地，我把不同位置处的轨道能量振动的周期找出，如下图所示：

figure_9

图9：3.00AU附近的轨道共振情况。图中的横坐标是小行星与太阳的初始距离，而纵坐标是轨道能量波动的周期。

可见在3：7处的轨道共振情况与1：2处截然不同，这里并没有明显的轨道共振峰，但是轨道能量振动的周期在这里发生了突变。在这个陡坡的两侧，轨道能量振动的周期都是处于一个相对稳定的状态。（同时我们也可以从图5中看出，3：7处的轨道共振远比1：2处的轨道共振要稳定。这也是因为这里离木星较远，木星引力的影响更小所导致的。）因此，位于此处的小行星更趋向于运动到周边两个更为稳定的运动状态，这就是这里产生了空隙的原因。图9表明在3：7处的轨道共振的缝宽约为0.01AU。
2：5处理论轨道共振处的情况如下：

figure_10

图10：这是2.85AU处小行星的运动情况。左图为模拟运行200yr小行星的运动轨迹，右图为模拟运行400yr小行星与太阳距离的分布。

上图表明，在2：5处跟3：7处的轨道共振的情况类似，小行星的轨道依然没有像1：2处那样存在着巨大的轨道偏离。即使是模拟运行了200年，小行星依然基本保持了原来的类圆轨道。因此，我们可以相信在2：5处轨道共振产生空隙的原因跟3：7处产生空隙的原因是一致的。

结论

本文讨论了木星对小行星带主带的引力影响问题，当木星的轨道周期与小行星的轨道周期有着简单的整数比的时候，会导致小行星的轨道共振，最终产生了Kirkwood Gaps，即在小行星带上有些位置只存在着少量的小行星。正是由于这种共振现象的存在，使得小行星运动的轨迹与原轨迹发生了偏移。因而，我通过分析小行星的轨道能量，比较不同初始位置导致轨道能量随着时间的变化情况，给出了1：2附近轨道共振与3：7附近轨道共振的结果，并且对这两处轨道共振表现出的差异进行了比较和分析。
另外，长时间模拟的结果表明，虽然这些轨道共振的地方是不稳定点，但小行星并不会离开空隙很远的地方。因而单靠木星的引力作用并不足以解释为何小行星带上出现了空隙。

参考文献

Wikipedia contributors. "Kirkwood gap." Wikipedia, The Free Encyclopedia. Wikipedia, The Free Encyclopedia, 28 Feb. 2016. Web. 14 May. 2016.
Wikipedia contributors. "Orbital resonance." Wikipedia, The Free Encyclopedia. Wikipedia, The Free Encyclopedia, 4 Jun. 2016. Web. 11 Jun. 2016.
Giodano, N.J., Nakanishi, H. Computational Physics. Tsinghua University Press, December 2007.
陈锋，Exercise 12: Chapter 4 Problem 4.18: The Kirkwood Gap, https://www.zybuluo.com/355073677/note/377276, May 14, 2016

程序代码

Final Project